数值积分是数学上重要的课题之一，是数值分析中重要的内容之一，也是应用数学研究的重点。随着计算机的出现，它被系统的研究。近几十年来，对于数值积分问题的研究已经成为一个很活跃的研究领域。现在，数值积分在计算机图形学，积分方程，工程计算，金融数学等应用科学领域都有着相当重要的应用，所以研究数值积分问题有很重要的意义。研究的方法有插值方法，抽样方法等。众所周知，计算积分可以借助于原函数和查找积分表，但是，用这些方法只能解决很狭隘的一类积分，在它的范围外通常采用各种近似计算的方法。在近似计算过程中，肯定会产生误差，我们必须想办法使得产生的误差尽可能的小。因此，一个好的数值求积公式应该满足：计算简单、误差小、代数精度高。 本文中，首先，我们通过构造函数并运用罗必达法则探讨了数值积分中的矩形公式、梯形公式和抛物线公式的渐近性质。结果表明，当积分区间的长度趋于零时，我们不但可以确定求积公式余项中的中介点的位置，还可以得到与之相应的修正公式，而且通过数值试验，我们发现，经过修正后的求积公式具有较高的代数精度：接着，我们主要通过构造含参数λ的分段函数pι(t)并运用分部积分的方法得到了矩形公式、梯形公式和抛物线公式的统一推广，并且结合一个实例，说明推广后的公式的误差比文献[18][19]小：最后，我们给出了带Hilbert核奇异积分的几种数值积分公式，证明了它们的一致收敛性，并把它们应用于常系数的带Hilbert核奇异积分方程，获得了方程的逼近解，在对输入函数的限制条件最宽松的情况下，证明了解的存在唯一性及收敛性。