【摘 要】
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本文主要研究各向异性椭圆方程弱解的Liouville定理及其部分正则性理论,还研究了各向异性Liouville方程极值解的存在性及正则性等问题.第一章,简单介绍了研究问题的背景,意义以及本文的主要结果.同时也简单回忆了本文所需的一些基本知识.第二章,在全空间上研究如下各向异性方程-Qu=f（u）,x ∈RN,其中f（u）=eu,up且p＞3,-u-p且p＞1/3.算子Q通常被称为Finsler拉普
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本文主要研究各向异性椭圆方程弱解的Liouville定理及其部分正则性理论,还研究了各向异性Liouville方程极值解的存在性及正则性等问题.第一章,简单介绍了研究问题的背景,意义以及本文的主要结果.同时也简单回忆了本文所需的一些基本知识.第二章,在全空间上研究如下各向异性方程-Qu=f（u）,x ∈RN,其中f（u）=eu,up且p＞3,-u-p且p＞1/3.算子Q通常被称为Finsler拉普拉斯算子或者各向异性拉普拉斯算子,其定义为其中Fξi-（?）F/（?）ξi,F:=RN→[0,∞)为凸函数且F∈C2（RN\{0}）并且满足一些其它的确切条件.主要用Moser迭代理论考虑该方程稳定弱解的Liouville定理.若f（u）=eu,得到了当维数N＜10时,方程不存在稳定弱解.对于f（u）=up其中p＞3以及f（u）=-u-p其中p＞1/3的情形,考虑其正的稳定弱解的Liouville定理,分别得到当维数（?）以及（?）时方程不存在正的稳定弱解.特别地,还考虑了当f（u）=eu,up且p＞3时方程有限Morse指标解的Liouville定理.得到了当f（u）=eu,3 ≤ N≤ 9时方程不存在有限Morse指标解,而当N=2时给出了有限Morse指标解的一个具体例子.当f（u）=up且p＞3时,若3≤N＜2（p+1）/p-1时方程不存在正的有限Morse指标解,而当p=N+2/N-2时也给出了正的有限Morse指标解的一个具体例子.第三章,研究有界区域上的各向异性Liouville方程-Qu = eu,x ∈Ω（?）RN,其中N≥2,以及各向异性Lane-Emden方程-Qu-up,x ∈ Ω（?）RN,其中p≥N+2/N-2,N≥ 3.讨论了这两种方程弱解的部分正则性理论.对第一个方程,得到了其稳定弱解奇异点集的Hausdorff维数不超过N-10.这一结论也是对第四章中研究方程极值解的性质的补充.对第二个方程,得到了其正的弱解的部分正则性结果,得到该类解奇异点集的Hausdorff维数的上界为N-2p+1/p-1.第四章,研究如下各向异性Dirichlet边界问题其中λ＞0为参数,Ω为RN（N≥2）中的有界区域.得到了当λ大于Finsler拉普拉斯算子所对应的第一特征值λ1时,方程不存在解,λ＜λ1时,存在极小解.进一步证明了该方程极值解的存在性,并且得到了当维数N ≤9时该解是光滑的.
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