本文主要研究了如下几类问题： 1．线性方程组的约束解与最大秩解及其应用 对于一般线性矩阵方程组，给出了一种求解的新方法-基方法，这种方法可以适用任意有限维空间的线性方程，特别是对于线性约束方程的求解问题提供了一种行之有效的方法，如(反)对称解、(反)Hermite矩阵解、循环矩阵解等等。最后在线性矩阵方程解的结构理论的基础上，给出了线性方程的可逆(最大秩)解的求解方法及其应用。 2．矩阵多项式方程的解及其应用 在线性方程可逆解的基础上，研究了多年来一直未解决的矩阵多项式方程求解问题。给出了实(复)数域上矩阵多项式方程的解及其可对角化解的求解步骤。利用这种方法还可以解决许多类似非线性方程问题。 3．四元数多项式 本文提出了不可约四元数多项式的概念，得到了四元数多项式的整除性质、因式分解、带余除法、根的结构性质等理论。并在矩阵多项式方程的可对角化解的基础上，根据四元数的复表示理论，建立了四元数多项式与复数域上多项式的直接关系，给出了四元数多项式方程的解，以及相应的求解方法步骤。 4．矩阵函数方程的解 本文讨论了矩阵函数方程f(X)=A在实数域和复数域上有解的充要条件，并由此给出了求矩阵函数方程f(X)=A解的方法步骤。 5．可逆系统的典范分解及其应用 线性系统的解耦问题是控制系统中倍受人们关注的问题。本文利用初等变换给出了一般多输入多输出的可逆线性系统(C，A，B)一种新的分解形式-典范分解，利用这个分解形式，我们可以直接得到可逆系统的三角解耦问题的解，并且这种分解形式是还有进一步的应用价值。