在微分几何中,欧氏空间和闵可夫斯基空间中的曲线理论是主要研究领域之一。在曲线理论中,最令人感兴趣的是渐开线与渐屈线、Bertrand曲线偶、螺旋线和斜螺旋线等曲线,以及与某些特定曲线相关的曲线。在这些曲线中,最受关注的是渐开线与渐屈线、Bertrand曲线偶和Mannheim伴线等。渐开线与渐屈线是古典微分几何中最有趣、最吸引人的曲线,也是欧几里得空间和闵可夫斯基空间中的重要概念。齿轮的设计理念正是应用了渐开线的概念。本文研究了某些空间的渐开线与渐屈线曲线偶,主要包括以下几个问题:(1)在古典微分几何中,四维欧几里得空间中的渐开线与渐屈线理论是主要研究领域之一。以往的研究在四维欧几里得空间中研究了渐屈线,但没有考虑曲线的特殊性质,这是该研究领域的一项空白。本文引入了四维欧几里得空间中广义渐开线和渐开线曲线偶的一些新的概念。例如,在曲线的任意一点上,由T,B1张成的平面称为曲线的(0,2)-切平面,而由N,B3张成的平面称为(1,3)-法平面等。作为例子,文中研究了四维欧几里得空间中的一对渐开线和渐屈线。利用新引入的概念,我们获得了显著的结果,能为将来的研究提供有效的帮助。(2)大量的文献研究了对闵可夫斯基空间中的渐屈线,但却缺少有效的方法用于研究曲线的特性。基于此点,我们推广了四维闵可夫斯基空间中一类特殊的渐屈线和渐开线曲线偶。一些新的研究方法也被引入进来。我们研究了与(1,3)-法平面(由向量场的主法线和第二副法线张成)的某些简单特性相关的(1,3)-渐屈线,以及由其切线和第一副法线张成(0,2)-渐屈线。利用此方法,我们得到了曲线具有广义渐屈线和渐开线的充要条件。此外,还详细讨论了零Cartan曲线。利用新引入的广义渐屈线和渐开线的概念,能加深对于四维闵可夫斯基空间中渐屈线的理解,对今后的研究有很大的帮助。(3)在微分几何中,曲线论有许多重要的结论。除了几何学,在其它不同的科学分支中,曲线论都得到了广泛的应用。在本文中,我们定义了闵可夫斯基空间E1n中的一条零Cartan曲线的k阶渐开线,其中n>3,1<k<n-1。研究表明,如果一个零Cartan螺旋线具有一阶或二阶的零Cartan渐开线,那么它就是Bertrand零Cartan曲线,并且它的渐开线就是其Bertrand伴线。研究还表明,E13中的所有零Cartan曲线中,只有零Cartan三次曲线具有两簇1阶的渐开线,并且其中之一位于B-scroll上。本文还给出了闵可夫斯基空间中的零Cartan曲线的1阶渐开线和2阶渐开线之间的关系。作为应用,研究表明依据零Betchov-DaRios涡旋线方程,E13中的零Cartan曲线的一阶渐开线可以生成类时的Hasimoto曲面。