摘要：对数学历史文化的体验能提升数学教师的学科知识水平，帮助他们体验数学知识的人文背景，增加对数学知识以及之间关联的认知和掌握，感受数学思想与方法的应用价值，从而更好地设计和实施教学。梳理“椭圆”的历史文化，可以丰富数学的经验知识，还原知识的获得过程，沟通知识之间的关联，体验巧妙的数学方法，形成结构完备、内涵丰富、“知情意”有机融合的椭圆文化图式。
　　关键词：椭圆 经验知识 获得过程 知识关联 数学方法
　　历史是时间的累积，文化是历史的沉淀。历史文化体现出来的是人类的爱好、想法以及作为。对数学知识的认识不能仅仅是概念、定理的堆砌，也不能仅仅是解题、证明的应用，而应当是浸润着历史文化的结晶、散发着人文精神的载体，是承载着人类智慧和追求的“文物”。数学的历史文化是数学不可分割的部分，可以提升我们对数学知识的理解。对数学历史文化的梳理能提升数学教师的学科知识水平，帮助他们体验数学知识的人文背景，增加对数学知识以及之间关联的认知和掌握，感受数学思想与方法的应用价值，从而更好地设计和实施教学，给学生带去更多的智慧与快乐。
　　下面以“椭圆”知识为例，梳理历史文化，形成结构完备、内涵丰富（不只是概念定义、标准方程及解题应用）、“知情意”有机融合的椭圆文化图式。
　　一、丰富数学的经验知识
　　经验知识是研究学习的起点。客观知识要变为个体知识，首要需要获得丰富的经验知识。历史文化中，人类对椭圆的经验知识相当丰富。古希腊人有直观的椭圆经验——截圆锥得椭圆，椭圆知识由此丰富。伽利略认为，行星依椭圆轨道运行，行星的椭圆运动模型很好地诠释了天体运动规律。又如，人类把可塑的圆进行适当的压缩，就能得到椭圆。事实上，生活中也大量存在椭圆的痕迹：斜射阳光下球影的边界呈现椭圆形状，圆柱、圆台或圆锥形灯罩罩着的点光源光束射在墙上的边界可能呈现椭圆形状，圆柱斜截面的边界呈现椭圆形状，装着有色液体的圆柱水瓶倾斜时水面呈现椭圆形状。
　　二、还原知识的获得过程
　　知识要接地气、有人气，其价值才会容易被感知。在数学知识的学习过程中展现数学家思维的故事，是饶有趣味的，也是十分美妙的。提到某个数学知识，与其相关的不同国籍、不同时代的数学家以及相应的发明、发现、获得知识过程中的点滴故事（包括经历的艰难困苦）就应该发生联结，被联想到。
　　从“椭圆是一种圆锥曲线”这一陈述性知识中，可以联想到古希腊数学家对椭圆及圆锥的斜截面所做的深入研究。如，欧几里得发现，不只是圆锥，圆柱的斜截面也是椭圆；稍后的阿波罗尼斯发现，对于顶角为直角的圆锥，当平面与圆锥母线从顶点指向底面的方向所成的角θ为钝角、直角、锐角时，平面截圆锥得到椭圆、抛物线和双曲线（如图1）；阿波罗尼斯还发现，椭圆的焦半径之和为定值。公元前的数学家们已有如此发现，令人肃然起敬。
　　数学家们并不满足于用立体的圆锥获得（定义）平面的椭圆这种方式。16世纪意大利数学家蒙特进一步利用拉线作图作出椭圆，提出概念。如图2，固定一条定长的细绳的两端点A、B，细绳上动点P的轨迹就是椭圆。蒙特由此称定点A、B为椭圆的焦点，将椭圆定义为到两焦点的距离之和为定长的点的轨迹。蒙特天才的发现、独到的想法，令人拍案叫绝。
　　椭圆的获得（定义）过程（方式）无不体现着人类对客观事实的观察认识，叙述、展现着知识的意义与价值。不难体会，事实性知识不是词典的条目，更不是天外来客，它有着丰富的文化内涵，来自人类的数学活动。
　　三、沟通知识之间的关联
　　正如人的意义是通过一定的社会关系体现的，知识的意义也要在关联中才能被充分认识、深入解读。数学史上有很多经典的案例简洁明了地阐述了知识点之间的各种关系，胜过千言万语。
　　丹德林双球是沟通椭圆的两种获得（定义）过程（方式）之间关系的经典模型，可以帮助我们充分认识、深入解读椭圆，并且体验到数学家高超的智慧。1822年，比利时数学家丹德林通过圆锥内部、斜截面两侧的与圆锥及斜截面都相切的两个球（如图3），来沟通椭圆的两种获得（定义）过程（方式）之间的关系。设两球与圆锥的切线分别为圆O₁、圆O₂，与斜截面的切点分别为E、F，在椭圆上任取一点A，连接AE、AF；过点A作圆锥的母线，与两球分别切于点B、C。可知AB=AF，AC=AE，可得AF+AE=AB+AC=BC。而BC為圆台的母线长，为定值。所以在平面内，到两个定点F₁、F₂的距离之和等于常数（大于|F₁F₂|）的点P的轨迹是椭圆。
　　椭圆的截线定义与轨迹定义是相互独立的，联结两者的桥梁就是丹德林双球。要在纯粹几何中认识椭圆的本质，截线定义是不可替代的；要在解析几何中得出椭圆方程，轨迹定义是不可替代的。而联结两种定义时，丹德林双球同样是不可替代的，它把两者之间的鸿沟填平了，并且直接在圆锥上得到了椭圆的焦半径。
　　四、体验巧妙的数学方法
　　数学与其说是知识，倒不如说是思想方法。知识只是思想方法的载体，思想方法才是数学的精髓。