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【摘 要】几何直观，可以助力问题解决。以“喝牛奶问题”为例，可以采取以下策略进行相关教学探索：在反馈前测中，提升学生检验反思的能力；在聚焦困难中，体会“画图”策略解决问题的优越性；在变式练习中，借助直观得出结果，借助直观发现本质；在陌生问题中，主动运用“画图”策略解决将来问题。
【关键词】问题解决；几何直观；检验反思
【教学目标】
1.借助图形，理解[12]的[12]是[14]，并掌握异分母分数加减法解决问题。
2.在解决问题的过程中，体会“图”在理解问题、分析问题、解决问题时的优越性，培养几何直观的能力。
3.能根据问题信息，判断结论的合理性，提升反思能力。
【教学过程】
一、呈现前测，反思结论合理性
师课件出示材料一：
前测问题：一杯纯牛奶，小宝喝了半杯后，觉得有些凉，就兑满了热水。他又喝了半杯，就出去玩了。一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？
前测结果：
纯牛奶 水
（1）[34]杯 [14]杯 21人
（2）[12]杯 [12]杯 9人
（3）1杯 [12]杯 3人
（4）[34]杯 [12]杯 2人
（5）[12]杯 [14]杯 2人
（6）1杯 [14]杯 1人
（7）1杯 1杯 1人
（8） 未作答 1人
師：请同学们相互讨论交流，这些结果中不太合理的有哪些？并说说原因。
小结：在完成解决问题时，我们可以回过头来，根据信息反思自己的结果是否正确。
【设计意图】教师呈现前测，让“回顾与反思”环节前置，引导学生在“这些结果中不太合理的有哪些”的思考中进行自我检查，自我思辨，努力培养学生检验反思的意识和能力。
二、聚焦困难，分享解决策略
1.困难表达。
师：从同学们的解答情况看，这个问题还是有点难的。难在哪里？
生：难在第二次喝的是水和牛奶的混合物，不知道牛奶是多少，水是多少。
【设计意图】教师组织学生互动交流的主要目的是进一步暴露学生的思维障碍点，为下一步研究确定方向。
2.策略分享，感受几何直观的作用。
师：我们来看看同学们是如何解决这个困难的。
（1）语言表达
生：一杯纯牛奶，先喝半杯，都是纯牛奶。然后兑满了热水，就有一半牛奶一半热水，他喝的时候是热水加牛奶，不可能牛奶多一些，或者热水多一些。喝的时候是一半一半，热水一半，牛奶一半，那么就喝了一半热水中的一半，剩下牛奶的一半。一共可以分成4份，第二次牛奶喝了1份，水喝了1份，就是[14]杯牛奶，[14]杯水。牛奶一共喝了[34]杯，水喝了[14]杯。
师：听了这样清楚的讲解，明白的同学请举手。（学生举手者寥寥无几）
（2）几何直观
师：同样是将水和牛奶分开画。虽然画法不同，但所表达的意思是相同的。
3.回顾难点，小结方法。
用画图的方法帮助我们把“混合”这样的生活问题，通过数学表达变得容易一些。
【设计意图】学生解决该问题的表征方式不外乎语言描述、算式表达、几何直观。通过“语言表达”与“几何直观”对比，感受 “图”更容易帮助理解抽象的数学问题。同时，不同的画法，作用不同：画法一——建立意识，几何直观首先表现为一种意识，即面对数学问题能想到用画图来帮助思考；画法二、三——掌握方法，几何直观其次表现为掌握一定直观方法，能画出图来。
三、变式练习，紧扣问题本质
1.呈现变式，布置任务。
师呈现材料二：一杯纯牛奶，小宝喝了半杯后，觉得有些凉，就兑了一些热水。他又喝了一半，就出去玩了。小宝一共喝了多少杯纯牛奶？
学生发现不同，并表示不能解决问题，需要一个具体的数量，比如说，兑[14]杯、[16]杯、[25]杯······
布置任务：请同学们拿出练习纸，需要知道“一些”是多少的同学，在（ ）中填入需兑的水量，并解决问题。
2.尝试解决，交流反馈。
学生根据“图”发现，并猜想“不论加入多少水，纯牛奶都喝了[34]杯”。再借助“图”解释无论水加多少，第二次喝一半的时候，喝掉的是水的一半，牛奶的一半。水的一半是多少不知道，但牛奶的一半就是[14]杯。[12 14=34]（杯）。（教师课件辅助演示）
3.环节小结。
图可以更好地帮助我们聚焦问题的关键，不被无关的信息干扰。
【设计意图】本环节，学生主动尝试运用策略，在经历“借助直观得出结果，借助直观发现本质”的过程中，再次体会“画图”策略在解决问题中的优势。
四、运用策略，主动解决问题
1.师：同学们，这次小宝不兑水喝了，来看看他又是怎么喝的。
师出示材料三：
小宝第一次喝了这杯牛奶的[14]，第二次喝了剩下的一半，小宝一共喝了多少杯牛奶？
2.学生猜测结果——[34]杯，教师组织学生探究。
3.否认[34]杯，聚焦“剩下的一半”。
师：同学们通过画图的方法，主要解决了“又喝了剩下的一半”这个问题，也就是“[34]杯的[12]是多少”。实际上，这个问题是我们六年级上册“分数乘分数”的内容，但我们通过理解分数的意义，采用“画图”的方法也是能够解决的。
【设计意图】随着学习的推进，学生对借助“几何直观”解决问题的优势的感受越来越深，“画图”的经验积累也逐渐丰富。所以，对知识点的序列，“[34]杯的[12]是多少”虽未学习，但学生基于分数的意义，通过画图的方法能将问题解决，凸显的是方法策略的经验积累。
五、课堂小结（略）
【教学反思】
思考一：如何发展“几何直观”能力？
教学策略：精心选材，多次感受。
本节课，每个材料都有各自承载的环节目标，所有材料又共同承载本节课的课时目标——感受“画图”策略的优越性，发展“几何直观”能力。
材料一——方法共享。通过“语言表达”与“几何直观”对比，感受 “图”更容易帮助理解抽象的数学问题。在不同的“画图”方法中，寻找共性，体会“画图”策略的优势。
材料二——尝试运用。对于干扰条件——“一些热水”，学生采用假设法，尝试运用“画图”法，借助直观，发现、解释数学本质。
材料三——主动运用。“[34]杯的[12]是多少”。看似一个“超纲”问题，通过策略渗透与方法习得，学生在遇到陌生问题时，能够主动运用习得的策略，成功解决。
当然，方法的习得、能力的培养，不是一蹴而就的，是一个长期目标，教师要在日常教学中，努力寻找捕捉“几何直观”能力培养的契机，提升学生解决问题的能力。
思考二：一节课中，解决问题各能力培养如何取舍？
教学策略：有取有舍，有主有次。
人教版教材将解决问题分为三个步骤——“阅读与理解”“分析与解答”“回顾与反思”，每个环节都有各自细化的能力，教学中，我们不能“胡子眉毛一把抓”，每节课要做到“有取有舍，有主有次”。比如，在本节课中，以“画图”策略为主，以“回顾与反思”为辅。解决问题的特殊策略中，重“画图”策略，回顾与反思中，重“结果是否合理正确”“不同问题的解决有什么共同的地方”。“有取有舍，有主有次”，学生的学习才会更有目标性与方向性，才更利于解决问题各能力的有序发展。
（浙江省杭州采荷第一小学教育集团 310000）
【关键词】问题解决；几何直观；检验反思
【教学目标】
1.借助图形，理解[12]的[12]是[14]，并掌握异分母分数加减法解决问题。
2.在解决问题的过程中，体会“图”在理解问题、分析问题、解决问题时的优越性，培养几何直观的能力。
3.能根据问题信息，判断结论的合理性，提升反思能力。
【教学过程】
一、呈现前测，反思结论合理性
师课件出示材料一：
前测问题：一杯纯牛奶，小宝喝了半杯后，觉得有些凉，就兑满了热水。他又喝了半杯，就出去玩了。一共喝了多少杯纯牛奶？多少杯水？
前测结果：
纯牛奶 水
（1）[34]杯 [14]杯 21人
（2）[12]杯 [12]杯 9人
（3）1杯 [12]杯 3人
（4）[34]杯 [12]杯 2人
（5）[12]杯 [14]杯 2人
（6）1杯 [14]杯 1人
（7）1杯 1杯 1人
（8） 未作答 1人
師：请同学们相互讨论交流，这些结果中不太合理的有哪些？并说说原因。
小结：在完成解决问题时，我们可以回过头来，根据信息反思自己的结果是否正确。
【设计意图】教师呈现前测，让“回顾与反思”环节前置，引导学生在“这些结果中不太合理的有哪些”的思考中进行自我检查，自我思辨，努力培养学生检验反思的意识和能力。
二、聚焦困难，分享解决策略
1.困难表达。
师：从同学们的解答情况看，这个问题还是有点难的。难在哪里？
生：难在第二次喝的是水和牛奶的混合物，不知道牛奶是多少，水是多少。
【设计意图】教师组织学生互动交流的主要目的是进一步暴露学生的思维障碍点，为下一步研究确定方向。
2.策略分享，感受几何直观的作用。
师：我们来看看同学们是如何解决这个困难的。
（1）语言表达
生：一杯纯牛奶，先喝半杯，都是纯牛奶。然后兑满了热水，就有一半牛奶一半热水，他喝的时候是热水加牛奶，不可能牛奶多一些，或者热水多一些。喝的时候是一半一半，热水一半，牛奶一半，那么就喝了一半热水中的一半，剩下牛奶的一半。一共可以分成4份，第二次牛奶喝了1份，水喝了1份，就是[14]杯牛奶，[14]杯水。牛奶一共喝了[34]杯，水喝了[14]杯。
师：听了这样清楚的讲解，明白的同学请举手。（学生举手者寥寥无几）
（2）几何直观
师：同样是将水和牛奶分开画。虽然画法不同，但所表达的意思是相同的。
3.回顾难点，小结方法。
用画图的方法帮助我们把“混合”这样的生活问题，通过数学表达变得容易一些。
【设计意图】学生解决该问题的表征方式不外乎语言描述、算式表达、几何直观。通过“语言表达”与“几何直观”对比，感受 “图”更容易帮助理解抽象的数学问题。同时，不同的画法，作用不同：画法一——建立意识，几何直观首先表现为一种意识，即面对数学问题能想到用画图来帮助思考；画法二、三——掌握方法，几何直观其次表现为掌握一定直观方法，能画出图来。
三、变式练习，紧扣问题本质
1.呈现变式，布置任务。
师呈现材料二：一杯纯牛奶，小宝喝了半杯后，觉得有些凉，就兑了一些热水。他又喝了一半，就出去玩了。小宝一共喝了多少杯纯牛奶？
学生发现不同，并表示不能解决问题，需要一个具体的数量，比如说，兑[14]杯、[16]杯、[25]杯······
布置任务：请同学们拿出练习纸，需要知道“一些”是多少的同学，在（ ）中填入需兑的水量，并解决问题。
2.尝试解决，交流反馈。
学生根据“图”发现，并猜想“不论加入多少水，纯牛奶都喝了[34]杯”。再借助“图”解释无论水加多少，第二次喝一半的时候，喝掉的是水的一半，牛奶的一半。水的一半是多少不知道，但牛奶的一半就是[14]杯。[12 14=34]（杯）。（教师课件辅助演示）
3.环节小结。
图可以更好地帮助我们聚焦问题的关键，不被无关的信息干扰。
【设计意图】本环节，学生主动尝试运用策略，在经历“借助直观得出结果，借助直观发现本质”的过程中，再次体会“画图”策略在解决问题中的优势。
四、运用策略，主动解决问题
1.师：同学们，这次小宝不兑水喝了，来看看他又是怎么喝的。
师出示材料三：
小宝第一次喝了这杯牛奶的[14]，第二次喝了剩下的一半，小宝一共喝了多少杯牛奶？
2.学生猜测结果——[34]杯，教师组织学生探究。
3.否认[34]杯，聚焦“剩下的一半”。
师：同学们通过画图的方法，主要解决了“又喝了剩下的一半”这个问题，也就是“[34]杯的[12]是多少”。实际上，这个问题是我们六年级上册“分数乘分数”的内容，但我们通过理解分数的意义，采用“画图”的方法也是能够解决的。
【设计意图】随着学习的推进，学生对借助“几何直观”解决问题的优势的感受越来越深，“画图”的经验积累也逐渐丰富。所以，对知识点的序列，“[34]杯的[12]是多少”虽未学习，但学生基于分数的意义，通过画图的方法能将问题解决，凸显的是方法策略的经验积累。
五、课堂小结（略）
【教学反思】
思考一：如何发展“几何直观”能力？
教学策略：精心选材，多次感受。
本节课，每个材料都有各自承载的环节目标，所有材料又共同承载本节课的课时目标——感受“画图”策略的优越性，发展“几何直观”能力。
材料一——方法共享。通过“语言表达”与“几何直观”对比，感受 “图”更容易帮助理解抽象的数学问题。在不同的“画图”方法中，寻找共性，体会“画图”策略的优势。
材料二——尝试运用。对于干扰条件——“一些热水”，学生采用假设法，尝试运用“画图”法，借助直观，发现、解释数学本质。
材料三——主动运用。“[34]杯的[12]是多少”。看似一个“超纲”问题，通过策略渗透与方法习得，学生在遇到陌生问题时，能够主动运用习得的策略，成功解决。
当然，方法的习得、能力的培养，不是一蹴而就的，是一个长期目标，教师要在日常教学中，努力寻找捕捉“几何直观”能力培养的契机，提升学生解决问题的能力。
思考二：一节课中，解决问题各能力培养如何取舍？
教学策略：有取有舍，有主有次。
人教版教材将解决问题分为三个步骤——“阅读与理解”“分析与解答”“回顾与反思”，每个环节都有各自细化的能力，教学中，我们不能“胡子眉毛一把抓”，每节课要做到“有取有舍，有主有次”。比如，在本节课中，以“画图”策略为主，以“回顾与反思”为辅。解决问题的特殊策略中，重“画图”策略，回顾与反思中，重“结果是否合理正确”“不同问题的解决有什么共同的地方”。“有取有舍，有主有次”，学生的学习才会更有目标性与方向性，才更利于解决问题各能力的有序发展。
（浙江省杭州采荷第一小学教育集团 310000）