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曲线运动是高中物理常见的运动模型，曲线运动和其它运动过程的结合更是常见常考的题型.
图1
例1
如图1所示，竖直的半圆形轨道与水平面相切，轨道半径为R=0.2 m，质量m=200 g的小球以某一速度正对半圆形轨道运动，A、B、C三点分别为圆道最低点、与圆心O等高点、最高点.小球过这三点的速度分别为
vA=5 m/s，vB=4 m/s，vC=3 m/s，
求：（g取10 m/s2）
（1）小球经过这三个位置时对轨道的压力.
（2）小球从C点飞出落到水平桌面上，其着地点与A点相距多少？
解析：设小球经过这三个位置时对轨道的压力
分别为FA，FB，FC.由牛顿第二定律可知
FA-mg=mv2A/R FA=27 N
FB=mv2B/R FB=16 N
FC+mg=mv2C/R FC=7 N
小球从C点飞到桌面上做平抛运动，设着地点与A点相距为x，所以
2R=gt2/2，t=2R/g，所以x=vCt=2vCR/g
=0.85 m.
在这个题中学生反映出来的最大的问题是
FA的求解.学生的解答普遍是FA=mg.显而易见学生把小球在A点的位置理解为直线的末端，把在A点的运动理解为直线运动，竖直方向就是平衡态了.
在这个问题中首先是学生审题不仔细，题干中确切指出A点为圆轨道的最低点.其次，也凸显出运动的突变问题.小球在A点之前是直线运动，在A点之后是圆周运动，这样A点就成了两种运动的公共点，突变的临界点.物体在相同的位置，但是确有不同的运动方式，所以物体的动力学关系也不同.
一、由直线运动到圆周运动的突变
图2
例2 如图2，车厢壁上用长为L的细线
悬挂质量均为m的小球A、B，小球和车厢一起以
速度v匀速运动，某时刻车厢突然停止，则停止
后瞬间两线上的拉力之比为多少？
解析：车厢突然停止瞬间，球A保持
静止，而球B由于惯性做圆周运动，在最低点发生了运动的突变.
FA=mg，FB=mg+mv2L，
FAFB
=gLv2+gL.
图3
例3 如图3所示，长为L、轻软且不会伸缩的细线一端固定于O点，另一端拴住质量为m的小球.把小球拉到悬点上方细线与水平方向夹角为θ的位置自由释放，使小球在竖直面内运动，则小球运动到最低点时的速度为多少？
解析： 由题意小球在初始运动阶段细绳是松弛的，所以小球做自由落体运动，到达细线与悬点下方夹角的位置时细
绳刚好伸直，之后小球绕O点做圆周运动，
运动发生了突变.在细绳伸直的瞬间小球
的速度由原来的竖直向下突变到圆周的切
线方向，所以整个过程中机械能不守恒
2mgLsinθ=12mv21，
v1′=v1cosθ
2mgL（1-sinθ）=12mv22-
12mv1′2
所以v2=2gL（1-sin3θ）.
二、由直线运动到平抛运动的突变
例4 如图4所示，一高度为h=0.2 m的水平面在 A点处与一倾角θ=30°的斜面连接，一小球以
v0=5 m/s的速度在水平面上向右运动.求小球从A点运动到地面所需的时间（平面与斜面均光滑，g 取10 m/s2）.
解析： 由题意小球在A点前匀速
直线运动，在A点之后突变为平抛运动，
并不是沿着斜面下滑.
设落地时间为t： h=gt2/2，t=0.2 s，
水平位移： x=v0t=1 m
斜面水平投影距离为： s=h/tan30°=0.35m 所以小球没有与斜面碰撞而直接落地 t=0.2 s.
图4 图5
三、由圆周运动到平抛运动的突变
例5 如图5，轨道AB是竖直面内的1/4
圆周，在B点轨道的切线是水平的，一质
点自A点由静止开始下滑，不计摩擦和空气阻力，
在质点刚要到达B点时的速度大小为
2gR，则
质点刚刚到达B点时和刚离开B点时加速度大小
分别为多少？
解析：由题意质点在B点的运动形式由圆周运动突变到平抛运动.
质点刚到达B点是圆周运动的末位置， a1=v2/R=2g，
而刚离开B点是平抛运动上的初位置，a2=g.
四、由圆周运动到圆周运动的突变
图6
例6 如图6，轻绳一端系小球，另一端固定于O点，在O点正下方的P点有一颗钉子，将悬线拉紧与竖直方向成一角度θ，然后由静止释放小球，当悬线碰到钉子时，下列说法正确的是：（ ）
（A） 小球的瞬时速度突然变大
（B） 小球的加速度突然变大
（C） 小球的角速度突然变大
（D） 悬线所受的拉力突然变大
解析： 小球到达最低点前后的瞬间，
运动状态由半径较大的圆周运动突变为
半径较小的圆周运动.由于运动方向没有
变化，所以小球速度大小没有变化.
由F-mg=mv2/R可知悬线拉力变大，
故加速度也突然变大.由v=ωR可知角速度突然变大.综上所述，应选（B）（C）（D）.
五、由平抛运动到圆周运动的突变
图7
例7 如图7，长为L、轻软且不会伸缩的细线一端固定于O点，另一端拴住质量为m的小球.现将小球从O点位置以水平速度抛出，经过一段时间后，细线刚好绷紧且与水平方向夹角为θ，随后小球瞬时速度沿切线方向的分量变成零，而沿垂直于细线方向的速度没有突变，并以这个速度为初速度绕O点向下摆动.求：
（1）小球水平抛出时的速度的大小；
（2）小球摆动到最低点时，细线对小球的拉力大小T.
解析： 绳子松弛时，物体只在重力作用下做平抛运动；在细线伸直之后突变为圆周运动 ，并且由于运动方向的变化而导致速度大小的改变.
由题意，小球的水平、竖直方向位移分别为
x=Lcosθ，h=Lsinθ，
又h=gt2/2，所以
t=2Lsinθ/g.
小球平抛运动初速度v0=x/t=cosθgL/2sinθ.
细线绷紧之前的瞬间，小球平抛运动速度的
竖直分量为
vy=gt=2gLsinθ.
v0和vy在垂直虚线方向上速度分量之和为： v1=vycosθ-
v0sinθ=cosθgLsinθ/2
即细线绷紧后小球的速度
由机械能守恒可求得小球摆动到最低点的速度v2：
mgL（1-sinθ）=12
mv22-12mv21
所以v22=gL（2+sinθcos2θ2
-2sinθ）.
在最低点T-mg=mv22/L，
所以T=mg（3+sinθcos2θ2
-2sinθ）.
综上可见，在运动的突变过程中，物体的位置还来不及变化，但是描述运动的物理量如速度，加速度，能量及动力学关系，功能关系等可能要发生变化，这不易捕捉的瞬间变化往往容易被忽视.
图1
例1
如图1所示，竖直的半圆形轨道与水平面相切，轨道半径为R=0.2 m，质量m=200 g的小球以某一速度正对半圆形轨道运动，A、B、C三点分别为圆道最低点、与圆心O等高点、最高点.小球过这三点的速度分别为
vA=5 m/s，vB=4 m/s，vC=3 m/s，
求：（g取10 m/s2）
（1）小球经过这三个位置时对轨道的压力.
（2）小球从C点飞出落到水平桌面上，其着地点与A点相距多少？
解析：设小球经过这三个位置时对轨道的压力
分别为FA，FB，FC.由牛顿第二定律可知
FA-mg=mv2A/R FA=27 N
FB=mv2B/R FB=16 N
FC+mg=mv2C/R FC=7 N
小球从C点飞到桌面上做平抛运动，设着地点与A点相距为x，所以
2R=gt2/2，t=2R/g，所以x=vCt=2vCR/g
=0.85 m.
在这个题中学生反映出来的最大的问题是
FA的求解.学生的解答普遍是FA=mg.显而易见学生把小球在A点的位置理解为直线的末端，把在A点的运动理解为直线运动，竖直方向就是平衡态了.
在这个问题中首先是学生审题不仔细，题干中确切指出A点为圆轨道的最低点.其次，也凸显出运动的突变问题.小球在A点之前是直线运动，在A点之后是圆周运动，这样A点就成了两种运动的公共点，突变的临界点.物体在相同的位置，但是确有不同的运动方式，所以物体的动力学关系也不同.
一、由直线运动到圆周运动的突变
图2
例2 如图2，车厢壁上用长为L的细线
悬挂质量均为m的小球A、B，小球和车厢一起以
速度v匀速运动，某时刻车厢突然停止，则停止
后瞬间两线上的拉力之比为多少？
解析：车厢突然停止瞬间，球A保持
静止，而球B由于惯性做圆周运动，在最低点发生了运动的突变.
FA=mg，FB=mg+mv2L，
FAFB
=gLv2+gL.
图3
例3 如图3所示，长为L、轻软且不会伸缩的细线一端固定于O点，另一端拴住质量为m的小球.把小球拉到悬点上方细线与水平方向夹角为θ的位置自由释放，使小球在竖直面内运动，则小球运动到最低点时的速度为多少？
解析： 由题意小球在初始运动阶段细绳是松弛的，所以小球做自由落体运动，到达细线与悬点下方夹角的位置时细
绳刚好伸直，之后小球绕O点做圆周运动，
运动发生了突变.在细绳伸直的瞬间小球
的速度由原来的竖直向下突变到圆周的切
线方向，所以整个过程中机械能不守恒
2mgLsinθ=12mv21，
v1′=v1cosθ
2mgL（1-sinθ）=12mv22-
12mv1′2
所以v2=2gL（1-sin3θ）.
二、由直线运动到平抛运动的突变
例4 如图4所示，一高度为h=0.2 m的水平面在 A点处与一倾角θ=30°的斜面连接，一小球以
v0=5 m/s的速度在水平面上向右运动.求小球从A点运动到地面所需的时间（平面与斜面均光滑，g 取10 m/s2）.
解析： 由题意小球在A点前匀速
直线运动，在A点之后突变为平抛运动，
并不是沿着斜面下滑.
设落地时间为t： h=gt2/2，t=0.2 s，
水平位移： x=v0t=1 m
斜面水平投影距离为： s=h/tan30°=0.35m
图4 图5
三、由圆周运动到平抛运动的突变
例5 如图5，轨道AB是竖直面内的1/4
圆周，在B点轨道的切线是水平的，一质
点自A点由静止开始下滑，不计摩擦和空气阻力，
在质点刚要到达B点时的速度大小为
2gR，则
质点刚刚到达B点时和刚离开B点时加速度大小
分别为多少？
解析：由题意质点在B点的运动形式由圆周运动突变到平抛运动.
质点刚到达B点是圆周运动的末位置， a1=v2/R=2g，
而刚离开B点是平抛运动上的初位置，a2=g.
四、由圆周运动到圆周运动的突变
图6
例6 如图6，轻绳一端系小球，另一端固定于O点，在O点正下方的P点有一颗钉子，将悬线拉紧与竖直方向成一角度θ，然后由静止释放小球，当悬线碰到钉子时，下列说法正确的是：（ ）
（A） 小球的瞬时速度突然变大
（B） 小球的加速度突然变大
（C） 小球的角速度突然变大
（D） 悬线所受的拉力突然变大
解析： 小球到达最低点前后的瞬间，
运动状态由半径较大的圆周运动突变为
半径较小的圆周运动.由于运动方向没有
变化，所以小球速度大小没有变化.
由F-mg=mv2/R可知悬线拉力变大，
故加速度也突然变大.由v=ωR可知角速度突然变大.综上所述，应选（B）（C）（D）.
五、由平抛运动到圆周运动的突变
图7
例7 如图7，长为L、轻软且不会伸缩的细线一端固定于O点，另一端拴住质量为m的小球.现将小球从O点位置以水平速度抛出，经过一段时间后，细线刚好绷紧且与水平方向夹角为θ，随后小球瞬时速度沿切线方向的分量变成零，而沿垂直于细线方向的速度没有突变，并以这个速度为初速度绕O点向下摆动.求：
（1）小球水平抛出时的速度的大小；
（2）小球摆动到最低点时，细线对小球的拉力大小T.
解析： 绳子松弛时，物体只在重力作用下做平抛运动；在细线伸直之后突变为圆周运动 ，并且由于运动方向的变化而导致速度大小的改变.
由题意，小球的水平、竖直方向位移分别为
x=Lcosθ，h=Lsinθ，
又h=gt2/2，所以
t=2Lsinθ/g.
小球平抛运动初速度v0=x/t=cosθgL/2sinθ.
细线绷紧之前的瞬间，小球平抛运动速度的
竖直分量为
vy=gt=2gLsinθ.
v0和vy在垂直虚线方向上速度分量之和为： v1=vycosθ-
v0sinθ=cosθgLsinθ/2
即细线绷紧后小球的速度
由机械能守恒可求得小球摆动到最低点的速度v2：
mgL（1-sinθ）=12
mv22-12mv21
所以v22=gL（2+sinθcos2θ2
-2sinθ）.
在最低点T-mg=mv22/L，
所以T=mg（3+sinθcos2θ2
-2sinθ）.
综上可见，在运动的突变过程中，物体的位置还来不及变化，但是描述运动的物理量如速度，加速度，能量及动力学关系，功能关系等可能要发生变化，这不易捕捉的瞬间变化往往容易被忽视.