类型一 利用迭加法求数列通项
　　例1 已知数列{an}满足
　　a1=33，an+1-an=2n，则
　　ann的最小值为.
　　解析：an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=2[1+2+…（n-1）]+33=33+n2-n，
　　所以ann
　　=33n+n-1.
　　设f （x）=33x+x-1，令
　　f ′（x）=
　　-33x2+1，则
　　f （x）在
　　（33，+∞）上是单调递增，在
　　（0，33）上是递减的.
　　因为n∈N+，所以当n=5或6时 有最小值.
　　又因为a55
　　=535
　　，a66
　　=212，而535
　　>212
　　，
　　所以ann的最小值为
　　a66=212.
　　小结：形如an+1-an=f （n）类型
　　①当f （n）为n的函数时（如例1）求通项是采用迭加法.
　　②当f （n）为常数时，即
　　an+1-an=d，此时数列{an}为等差数列，
　　an=a1+（n-1）d.
　　类型二 利用迭乘法求数列通项
　　例2 在数列{an}中，
　　a1=1，
　　（n+1）·an+1=n·an，求an的表达式.
　　解：由
　　已知得an+1an
　　=nn+1.
　　ana1=
　　a2a1·
　　a3
　　a2·a4a3·
　　…·anan-1
　　=12·23
　　·34·…·n-1n=
　　1n，
　　所以an=1n.
　　小结：形如an+1=f （n）·an类型
　　① 当f （n）为n的函数时（如例2）求通项是采用迭乘法.
　　② 当f （n）为常数时，即
　　an+1an=q（q≠0），此时数列{an}为等比数列，
　　an=a1qn-1.
　　类型三 利用an与Sn的关系求数列通项
　　若已知数列的前n项和 Sn，求数列{an}的通项an，可用公式
　　an=
　　S1（n=1），
　　Sn-Sn-1（n≥2）
　　求解.
　　例3
　　（2012年江西理16题）已知数列{an}的前n项和
　　Sn=-12n2+kn（其中k∈N*），且
　　Sn的最大值为8.
　　（1）确定常数k，求an；（2）略
　　解：因为
　　Sn=-12n2+kn=-12
　　（n-k）2+12k2，
　　所以当n=k∈N*时，Sn取最大值，即
　　8=Sk=-12
　　k2+k2=12k2，
　　故k2=16.又k∈N*，则k=4，
　　即Sn=-12n2+4n.
　　当n=1时，a1=S1=72 ；
　　当n≥2时， an=Sn-Sn-1=
　　92-n，
　　因为n=1适合n≥2的情况，则
　　an=92-n.
　　小结：利用an与Sn的关系求数列通项时，注意要先分n=1和
　　n≥2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一.
　　类型四 引入参数构造新数列求数列通项
　　1.形如：an+1=kan+d（k≠1，k≠0，d≠0）类型求数列通项
　　例4 （根据2014新课标卷二Ⅱ17题改编）：已知数
　　{an}的递推关系为
　　an+1=2an+1
　　且a1=1，求通项an.
　　解：因为an+1=2an+1
　　（an+1+λ）=2（an+λ），所以λ=1.
　　所以an+1+1=2（an+1）.令bn=an+1，
　　则数列{bn}是公比为2的等比数列，
　　所以bn=b1qn-1，即
　　an+1=（a1+1）qn-1=2n.所以an=2n-1.
　　2.形如
　　an+1=kan+qn（k≠0且k≠1；q≠0，且q≠1）类型求数列通项
　　例5 （2012年广东理19）设数列{an}的前n项和为Sn，满足
　　2Sn=an+1-2n+1+1，n∈N*， 且
　　a1，a2+5，a3成等差数列.
　　（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）略.
　　解：（1）在
　　2Sn=an+1-2n+1+1中，
　　令n=1得：2S1=a2-22+1a2=2a1+3. ①
　　令n=2 得：2S2=a3-23+1a3=2（a1+a2）+7. ②
　　又因为a1，a2+5，a3成等差数列，则2（a2+5）=a1+a3 ③
　　解①②③得，
　　a1=1，a2=5，a3=19.
　　故a1=1.
　　（2）由2Sn=an+1-2n+1+1. ①
　　令n-1代替n得：n≥2时，2
　　Sn-1=an-2n+1. ②
　　①-②得：n≥2时， an+1=3an+2n对n∈N*成立， 　　所以an+1+2n+1=3（an+2n）.
　　令bn=an+2n，故上式化为
　　bn+1=3bn（n≥2），
　　所以数列{bn}是以b2=a2+22=9为首相，公比为3的等比数列.
　　故bn=b2×3n-2=3n（n≥2），
　　所以an+2n=3n，所以an=3n-2n（n≥2），
　　又a1=1也满足an=3n-2n，
　　故an=3n-2n.
　　类型五 取倒数法求数列通项
　　例6 数列{an}满足
　　a1=1，an+1=anan+1，求
　　an.
　　解：因为an+1=an
　　an+1，
　　所以1an+1=
　　an+1an=
　　1an+1.
　　设bn=1an，则
　　bn+1=bn+1.
　　故{bn}是以
　　b1=1a1=1为首项，1为公差的等差数列.
　　所以bn=1（n-1）=n，所以an=1bn
　　=1n.
　　小结：数列递推关系形如
　　an+1=ranpan+q（p、q、r是不为0的常数）时，一般采用取倒数法求通项公式.
　　注：取倒数求通项的题型还有以下变形.
　　例7 数列{an}满足
　　a1=2，
　　an+1·an+3·an+1=an，求an.
　　解：
　　an+1·an+3·an+1=an等式两边同时除以
　　an+1·an得
　　1+31an
　　=1an+1.令 bn=
　　1an
　　，则 1+3·bn=bn+1.
　　参考例4，易得bn=3n-1
　　-12，
　　故an=1bn
　　=22×3n-1
　　-1.
　　例8 （2014年安徽（文）18题改编） 数列
　　{an}满足
　　a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N*），
　　求数列{an}的通项公式.
　　解：因为nan+1=（n+1）an+n（n+1），两边同时除以
　　n（n+1）变形为
　　an+1n+1
　　=ann
　　+1.
　　所以{ann}为等差数列，
　　a11=1为首项，1为公差，
　　ann
　　=n，an=n2.
　　类型六 取对数法求数列通项
　　例9 数列{an}满足
　　an>0，且a1=3，an+1=a2n，求
　　an.
　　解： 因为an>0，所以an+1=a2n
　　两边取以10为底的对数得： lgan+1=2lgan.
　　令bn=lgan，则
　　bn+1=2bn，
　　数列{bn}是以lg3为首项，2为公比的等比数列，
　　所以bn=lg3·2n-1.
　　故
　　an=10bn
　　=（10lg3）2n-1
　　=32n-1，
　　即 an=32n-1.
　　小结：数列递推关系形如
　　an+1=parn（p、r为常数，且p>0，an>0）时，求通项公式一般采用两边取对数法.
　　类型七 解方程法求数列通项
　　例10 已知：函数f （x）=log2x-logx2 （0　　f （2an）=2n，求an.
　　解：由f （2an）=2n可得
　　log22an -log2an2=2n，
　　an-1an=2n，
　　a2n-2nan-1=0.
　　由求根公式得，an=n±n2+1 .
　　因函数f （x）的定义域为0　　所以0<2an<1，所以an<0.
　　故an=n-n2+1.