类比是科学研究中常用的一种思维方法，是根据两个或两类对象在某些方面相同或相似，从而推出它们在其他方面也相同或相似，像这样的推理称为类比推理.尽管类比推理是一种合情推理，即推理的结果不一定正确，但这种推理具有一定的创造性，广泛运用.本文根据圆的性质类比得到椭圆相关性质，以此激发学生在数学学习中善于发现和类比的意识.
　　性质1：若圆的半径为a，则圆的面积为πa2类比
　　若椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，则椭圆的面积为 πab.
　　类比思路：椭圆可以看成沿竖直方向进行等比例压缩变换，则水平方向长度不变，竖直方向由a变为b，故猜想椭圆的面积为πab.
　　性质2：若圆方程x2+y2=r2，在圆上有一点p（x0，y0），则圆在p处的切线方程为 x0x+y0y=r2
　　类比若椭圆的标准方程为x2a2+
　　y2b2=1（a>b>0），在椭圆有一点p（x0，y0），则椭圆在p处的切线方程为
　　x0xa2+y0yb2=1.
　　证明思路：设椭圆在p处的切线方程为y-y0=k（x-x0），联立椭圆方程
　　x2a2+y2b2=1（a>b>0）
　　，消去y得到关于x的一元二次方程，因为直线与椭圆相切，所以方程只有一个解，即Δ=0，得到斜率k的值，化简切线方程得椭圆在p处的切线方程为x0xa2+y0yb2=1.
　　性质3：圆上一点P，异于P点的两点A、B，且AB是圆的一条直径，则
　　kPA·kPB=-1
　　类比
　　椭圆
　　x2a2+y2b2=1 （a>b>0） 上一点P，异于P点的两点A、B，且A、B坐标分别是（-a，0），（a，0），则
　　kPA·kPB为定值-b2a2.
　　证明：设p（x0，y0），则kPA·kPB=y0x0+a
　　·y0x0-a=
　　y20x20-a2
　　=-b2a2，同理若A、B是椭圆短轴上的两个顶点（0，-b），（0，b），则
　　kPA·kPB=-b2a2
　　，所以kPA·kPB为一定值
　　-b2a2.
　　这一性质在高中阶段的习题中也会有所体现，如下面问题：焦点在x轴上的椭圆的离心率为3/2，上顶点A（0，1），下顶点为B，已知定直线l：y=2若点P是椭圆上异于A、B的任意一点，连结AP并延长交直线l于点M，连结PB并延长交直线l于点N.
　　求MN的最小值.
　　图1
　　解：（1）由题可知
　　ca=
　　32，b=1，得
　　a=2，
　　椭圆方程为
　　x2/4+y2=1，设
　　p（x0，y0），因为kPA·kPB=-14，不妨设PA的斜率为k，则PB直线的斜率为-14k，PA直线方程为y=kx+1，令y=2，得x=1k所以得
　　M（1k，2）；PB直线方程y=-14kx
　　-1，令y=2，得x=-12k所以得N（-12k，2），得
　　MN=|1k+12k|≥43，当且仅当
　　1/k=12即k=±3/6时取得等号，
　　所以MN的最小值为
　　43.
　　性质4： A，B是圆O：x2+y2=r2上两点，且OA⊥OB，则Rt△OAB斜边AB上的高为定值
　　22
　　r类比A，B
　　是椭圆
　　x2a2
　　+y2b2=1
　　上两点，且OA⊥OB，则Rt△OAB斜边AB上的高为定值aba2+b2.
　　证明：（1）当OA，OB中一条直线的斜率不存在时，则显然AB上的高为定值
　　aba2+b2.
　　（2）当OA，OB的斜率都存在时，设OA的斜率为k，则OB 的斜率为-1/k，则AB上的高h=
　　OA·OBOA2+OB2，则
　　1h
　　=OA2+OB2
　　OA·OB，
　　1h2
　　=OA2+OB2
　　OA2·OB2
　　=1OA2
　　+1OB2
　　，设OA的直线方程y=kx则
　　OB的直线方程为
　　y=-1kx，
　　y=kx
　　x2a2
　　+y2b2=1
　　x2=a2b2
　　b2+a2k2，
　　y2=k2a2b2
　　b2+a2k2，
　　则
　　OA2=
　　（1+k2）a2b2
　　b2+a2k2，同理
　　OB2=
　　（1+k2）a2b2
　　k2b2+a2，
　　1h2
　　=1OA2
　　+1OB2
　　=（k2+1）（a2+b2）
　　（k2+1）a2b2
　　，所以h2=a2b2a2+b2，即Rt△OAB斜边AB上的高为定值aba2+b2.
　　以上是由圆类比得到椭圆的4个性质， 类比思想是高中教学中一种重要的思想，它具有一定的创造性，能帮助学生发现问题和提出问题，在解决问题时可以使得问题简单化.