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【摘要】函数知识是数学知识的基础，函数的思想和方法是人类认识客观世界的一种重要的思想和方法，函数概念是学生学习函数知识和其它数学知识的基础.但是，在高一学生学习函数概念的过程中，绝大多数学生却存在函数概念理解上和运用上的学习障碍。学生的学习过程实际上就是认识结构不断更新和发展的过程。研究以学生为基础，从学生的学习心理结构出发，详尽分析了产生函数概念学习障碍的原因，而后实施教学策略上的应对。
【关键词】函数；概念；学习障碍；直观教学
函数概念是中学阶段第一次用“数学关系概念定义法”给出的概念，它揭示函数概念本质的方法与之前的数学概念的方法是不一样的，如何理解函数概念之中蕴涵的数学关系是学生建构函数概念的基础，建构函数概念的基础是变量和对应.然而，“变量”，“对应”等词汇，教材并没有给出比较明确具体的定义，这就造成了学生在认知结构上相关知识节点的缺失，导致了学生对于函数概念理解上的障碍。另外，函数概念的表达形式不唯一（前面也谈到有七种之多），每一种表征形式又都可以独立地表示函数概念高一年段是学生一生中思维发展的关键时期和转折时期。在这个阶段，学生的抽象思维从经验型占主导逐步向理论型占主导转变，并且迅速进入理论型发展的关键时期。在这个时期，学生的思维最为活跃，有着明显的个人意识和独立意识，他们独立处理这是一个与其它数学概念不同的地方，有时还需要同时考虑函数概念的几种表示形式，协调好各种表示形式之间的关系，并根据需要在各种表示形式之间进行转换，这也会导致函数概念理解上的障碍。
另外，在函数概念的教学中，要求学生能进行数形结合的思维运算，进行符号语言与图形语言之间的灵活转换。在学生的认知结构中，数与形基本上是割裂的。这就要求学生的思维能在静止与运动、离散与连续之间进行转化。但学生的思维水平还处于很不成熟的阶段，他们看问题往往是局部的、静止的、割裂的，还不善于把抽象的概念事例联系起来，还不能用辩证思维的思想来理解函数概念。这与函数概念的运动、变化、联系的特点是不相适应的，这又是造成函数概念学习困难的一个重要原因。
如案例，在讲解函数概念所揭示的对应关系必须是“一一对应”或者“多对一”时，我采用了射击手打靶的例子进行比喻，可以是一个人打一次靶，也可以几个人打一次靶，不能一个人同时打出几个靶来，这样就很好的帮助学生理解了“一一对应”和“多对一”的对应关系。借助军训演习中的实例，进行函数概念的直观教学，既起到了化抽象为直观的教学效果，又使得课堂教学变得生动有趣，有效的促使学生实现函数概念过程的内化。
通过函数的表征形式的教学，可以帮助学生实现对于函数概念本质的理解，在所执教的实验班级特意加强了对于函数表征形式的教学，具体实施分两个阶段进行。
第二阶段，引导学生用不同的表达形式去表示相同的函数。
传统的教学方法，不太关注同一函数不同的表达形式联系教学，这就导致学生在理解函数概念时，往往会用单一函数的表征形式来代替某一类型函数，导致学生无法理解函数的本质。在实验班级的教学中，进行函数关系式的教学时，不拘泥于教材形式，从发展学生的能力入手，让学生体会用多种表征形式去表示同一个函数，教学效果明显。
我们知道，数学概念具有过程和对象的双重属性，所以它既是逻辑分析的对象，概念的教学过程应该又是具有实现背景和丰富寓意的建构过程，展示数学概念的生成过程尤为重要.无需赘言，在现行新课标教材（以人民教育出版社出版的实验教材为例）的编排上，教材内容就充分体现了函数概念具有过程与对象的双重性的这种特点。
笔者在教学中利用计算机辅助教学，很好的达到直观教学的目的。如案例，在函数概念教学中，利用几何画板，就可以帮助学生理解函数的概念，还可以达到如下三种目的：
（1）可以帮助学生理解“对应”与“变化”.复制用word或excel制作的表格，打开“图标”菜单/绘制点/选择粘贴数据，就可以绘制与表中数据对应的点（几个特殊的点），然后再用折线连接这些点.这就可以很好的体现函数值与自变量对应的过程。还可以从整体上直观的认识“函数的变化有一定的趋势”，从而加深学生对于函数关系（对应）及函数变化规律的理解，也为函数单调性等其他函数的性质的学习做了铺垫。
（2）展示轨迹的形成过程。例如，利用几何画板画出函数y=x2+2x的图像。借助坐标轴上的动点A及根据函数关系式绘制函数图像上的一个动点B，通过移动点A来体现关联点B的运动，而后利用轨迹跟踪，很快的画出函数的图象。
（3）利用几何画板的轨迹跟踪功能，可以直观体现函数关系中的因变量与自变量间的对应关系，还可以体现表达式、图像、函数性质间的依赖关系。又如，利用几何画板画出带参数的函数y=ax2+bx+c的图象（以a>0为例），以线段a、b、c的长度值代替函数中各项的系数。通过改变线段的长度，通过动态图像来研究系数a、b、c对于二次函数图象的影响。
有意识培养学生的理论型的抽象思维，充分利用与函数概念相关联的数学概念和数学符号，进行逻辑直观方式的教学，极大帮助了学生对于函数概念本质的理解，促进实验班级的学生对于函数概念的知识建构。如案例，在实验班级实施函数概念教学时，我关注函数概念的结构，从结构入手，利用概念逻辑上的直观进行教学改革实验。首先，抓住函数概念定义中的几个关键词，如“非空数集”、“确定的对应法则f”、“任意一个数x”、“唯一确定的数f（x）”、“f：A→B”。其次，从函数概念定义的结构上进行分析，定义包括三个部分：定义域、值域以及对应法则，分析了这三个部分的特征，建立起与初中的函数概念（“变量说”）之间的联系。定义域A是自变量x的集合，值域B是函数值y的集合，它们都是非空数集；对应法则f不但是确定的，而且它能使A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素（唯一的象）与之对应。通过对结构的剖析，使学生明确两个函数，当且仅当定义域、值域、对应法则完全相同时（或者只需要定义域与对应法则完全相同时），这两个函数相同，与究竟用什么字母表示完全无关。
如案例，请解答如下一组求函数的定义域的题目：
1、已知函数f（x+1）的定义域[a，b]，求函数f（x+1）的定义域；
2、己知函数f（x+1）的定义域为[a，b]，求函数f（x）的定义域；
3、已知函数f（x+1）的定义域为[a，b]，求函数f（x-1）的定义域。
简析，此类问题是关于抽象函数的定义域的问题，要想顺利求出本题组的答案，学生必须弄清楚f（x+1）、f（x-1）、f（x）之间的逻辑关系，明白在三个函数中自变量分别是什么？本题组的解答，有助于学生逻辑思维的培养。导致函数概念概念学习障碍的原因，既有函数概念本身的因素，例如函数概念具有高度的抽象性等：也有当前教育评价制度的不完善导致教师和学生急功近利的思想，严重影响了教师的教学方式和学生的学习方式，等等。
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：高等教育出版社，2003.1-1
[2] 郑毓信、梁贯成.认知科学建构主义与数学教育[M].上海：上海教育出版社，2002.12～76
[3] 王新民.数学知识探源[M].北京：现代出版社，2000
[4] 张顺燕.数学的源与流[M].北京：高等教育出版社，2000
【关键词】函数；概念；学习障碍；直观教学
函数概念是中学阶段第一次用“数学关系概念定义法”给出的概念，它揭示函数概念本质的方法与之前的数学概念的方法是不一样的，如何理解函数概念之中蕴涵的数学关系是学生建构函数概念的基础，建构函数概念的基础是变量和对应.然而，“变量”，“对应”等词汇，教材并没有给出比较明确具体的定义，这就造成了学生在认知结构上相关知识节点的缺失，导致了学生对于函数概念理解上的障碍。另外，函数概念的表达形式不唯一（前面也谈到有七种之多），每一种表征形式又都可以独立地表示函数概念高一年段是学生一生中思维发展的关键时期和转折时期。在这个阶段，学生的抽象思维从经验型占主导逐步向理论型占主导转变，并且迅速进入理论型发展的关键时期。在这个时期，学生的思维最为活跃，有着明显的个人意识和独立意识，他们独立处理这是一个与其它数学概念不同的地方，有时还需要同时考虑函数概念的几种表示形式，协调好各种表示形式之间的关系，并根据需要在各种表示形式之间进行转换，这也会导致函数概念理解上的障碍。
另外，在函数概念的教学中，要求学生能进行数形结合的思维运算，进行符号语言与图形语言之间的灵活转换。在学生的认知结构中，数与形基本上是割裂的。这就要求学生的思维能在静止与运动、离散与连续之间进行转化。但学生的思维水平还处于很不成熟的阶段，他们看问题往往是局部的、静止的、割裂的，还不善于把抽象的概念事例联系起来，还不能用辩证思维的思想来理解函数概念。这与函数概念的运动、变化、联系的特点是不相适应的，这又是造成函数概念学习困难的一个重要原因。
如案例，在讲解函数概念所揭示的对应关系必须是“一一对应”或者“多对一”时，我采用了射击手打靶的例子进行比喻，可以是一个人打一次靶，也可以几个人打一次靶，不能一个人同时打出几个靶来，这样就很好的帮助学生理解了“一一对应”和“多对一”的对应关系。借助军训演习中的实例，进行函数概念的直观教学，既起到了化抽象为直观的教学效果，又使得课堂教学变得生动有趣，有效的促使学生实现函数概念过程的内化。
通过函数的表征形式的教学，可以帮助学生实现对于函数概念本质的理解，在所执教的实验班级特意加强了对于函数表征形式的教学，具体实施分两个阶段进行。
第二阶段，引导学生用不同的表达形式去表示相同的函数。
传统的教学方法，不太关注同一函数不同的表达形式联系教学，这就导致学生在理解函数概念时，往往会用单一函数的表征形式来代替某一类型函数，导致学生无法理解函数的本质。在实验班级的教学中，进行函数关系式的教学时，不拘泥于教材形式，从发展学生的能力入手，让学生体会用多种表征形式去表示同一个函数，教学效果明显。
我们知道，数学概念具有过程和对象的双重属性，所以它既是逻辑分析的对象，概念的教学过程应该又是具有实现背景和丰富寓意的建构过程，展示数学概念的生成过程尤为重要.无需赘言，在现行新课标教材（以人民教育出版社出版的实验教材为例）的编排上，教材内容就充分体现了函数概念具有过程与对象的双重性的这种特点。
笔者在教学中利用计算机辅助教学，很好的达到直观教学的目的。如案例，在函数概念教学中，利用几何画板，就可以帮助学生理解函数的概念，还可以达到如下三种目的：
（1）可以帮助学生理解“对应”与“变化”.复制用word或excel制作的表格，打开“图标”菜单/绘制点/选择粘贴数据，就可以绘制与表中数据对应的点（几个特殊的点），然后再用折线连接这些点.这就可以很好的体现函数值与自变量对应的过程。还可以从整体上直观的认识“函数的变化有一定的趋势”，从而加深学生对于函数关系（对应）及函数变化规律的理解，也为函数单调性等其他函数的性质的学习做了铺垫。
（2）展示轨迹的形成过程。例如，利用几何画板画出函数y=x2+2x的图像。借助坐标轴上的动点A及根据函数关系式绘制函数图像上的一个动点B，通过移动点A来体现关联点B的运动，而后利用轨迹跟踪，很快的画出函数的图象。
（3）利用几何画板的轨迹跟踪功能，可以直观体现函数关系中的因变量与自变量间的对应关系，还可以体现表达式、图像、函数性质间的依赖关系。又如，利用几何画板画出带参数的函数y=ax2+bx+c的图象（以a>0为例），以线段a、b、c的长度值代替函数中各项的系数。通过改变线段的长度，通过动态图像来研究系数a、b、c对于二次函数图象的影响。
有意识培养学生的理论型的抽象思维，充分利用与函数概念相关联的数学概念和数学符号，进行逻辑直观方式的教学，极大帮助了学生对于函数概念本质的理解，促进实验班级的学生对于函数概念的知识建构。如案例，在实验班级实施函数概念教学时，我关注函数概念的结构，从结构入手，利用概念逻辑上的直观进行教学改革实验。首先，抓住函数概念定义中的几个关键词，如“非空数集”、“确定的对应法则f”、“任意一个数x”、“唯一确定的数f（x）”、“f：A→B”。其次，从函数概念定义的结构上进行分析，定义包括三个部分：定义域、值域以及对应法则，分析了这三个部分的特征，建立起与初中的函数概念（“变量说”）之间的联系。定义域A是自变量x的集合，值域B是函数值y的集合，它们都是非空数集；对应法则f不但是确定的，而且它能使A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素（唯一的象）与之对应。通过对结构的剖析，使学生明确两个函数，当且仅当定义域、值域、对应法则完全相同时（或者只需要定义域与对应法则完全相同时），这两个函数相同，与究竟用什么字母表示完全无关。
如案例，请解答如下一组求函数的定义域的题目：
1、已知函数f（x+1）的定义域[a，b]，求函数f（x+1）的定义域；
2、己知函数f（x+1）的定义域为[a，b]，求函数f（x）的定义域；
3、已知函数f（x+1）的定义域为[a，b]，求函数f（x-1）的定义域。
简析，此类问题是关于抽象函数的定义域的问题，要想顺利求出本题组的答案，学生必须弄清楚f（x+1）、f（x-1）、f（x）之间的逻辑关系，明白在三个函数中自变量分别是什么？本题组的解答，有助于学生逻辑思维的培养。导致函数概念概念学习障碍的原因，既有函数概念本身的因素，例如函数概念具有高度的抽象性等：也有当前教育评价制度的不完善导致教师和学生急功近利的思想，严重影响了教师的教学方式和学生的学习方式，等等。
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：高等教育出版社，2003.1-1
[2] 郑毓信、梁贯成.认知科学建构主义与数学教育[M].上海：上海教育出版社，2002.12～76
[3] 王新民.数学知识探源[M].北京：现代出版社，2000
[4] 张顺燕.数学的源与流[M].北京：高等教育出版社，2000