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在一些教科书与资料中,经常看到下列一个问题:在池塘边看到从池塘底部上升的气泡,上升过程中,为什么体积会越来越大?
对于这个问题,教科书与资料都认为,气泡在上升过程中,封在气泡中气体的质量没变,离池塘的水面越来越近,深度越来越浅,水对气泡的压强也越来越小,所以气泡的体积会越来越大。
深度减小,压强减小,气泡的体积是会变大。但这一过程中,气泡体积的变化,是不是我们肉眼能够观察到的呢?下面我们来看一个具体事例。
设大气压为p0,直径为d1的气泡在水下的深度为h(设为状态Ⅰ,压强为p1,体积为V2),上升到水面直径增加到d2(设为状态Ⅱ,压强为p2,体积为V2)。假设温度没有变化,由此我们可以分别求出状态Ⅰ气泡内气体的压强与体积
p1=p0+ρ水gh
V1= πd13 6
同样可得气泡在状态Ⅱ的压强与体积
p2=p0
V2= πd23 6
根据等温变化的理想气态方程,可得
p1V1=p2V2
即(p0+ρ水gh)× πd13 6 =p0× πd23 6
化简可求出d2
d2= 3 p0+ρ水gh p0 ×d1
设气泡在水下的深度h=1m,气泡的直径d1=1cm=10-2m,取p0=1.013×105pa,ρ水=1.0×103 kg/m3,g=9.8N/kg。并代入上式,可得
d2= 3 11013×105+104 11013×105 ×d1=103d1=103cm
计算可知,当直径为1cm的气泡从水下1m深处上升到水面时,直径只增加了0.03cm。这一微小的变化,我们用肉眼是无法观察到的。既然气泡在水中上升的过程中,体积的变化无法观察,为什么实际当中我们又看到了气泡的体积在明显变大呢?下面我们首先用实验来解释气泡变大的原因。
如图1所示,在量筒内装满水,并插入一根两端开口的玻璃管,用打气球向玻璃管的一端打气,使其在量筒底部产生气泡。我们分别在量筒侧面的中点A与量筒的正上方B点,观察气泡在上升过程中的体积变化。结果发现在A点观察并没发现气泡体积的变化,而在B点发现气泡明显迅速地变大。我们还把能上浮的小木块压入水底后,使其上升,用同样的方法,观察到了同样的结果。A点与B点观察气泡上升的不同之处无非是,A点观察的视角基本没有变化,B点观察的视角在不断增大。通过实验由此我们可以看出,池塘边观察到气泡上升,体积增大,主要不是气泡体积的变大的缘故,而是视角不断增大的缘故。下面我们再从理论上来探讨观察气泡视角变化的大小。
为了探讨方便,我们假设在气泡的正上方距水面的距离为s处进行观察,气泡A点的光线传播到水面的M点折射后,并沿MF方向传播到人眼的F处(如图2所示)。这时入射角i=∠AMC ,折射角r=∠EMF=∠MFN,也等于视角的一半。从图2中可以看出
tan i= AC MC = D 2 -CB h
tan r= MN FN = CB s
由于气泡的半径相对于人观察气泡的距离非常小,因此i、r也就很小,可以近似地认为tan i≈sin i ,tan r≈sin r 。根 据光的折射定律与水的折射率n=1.33,可得
sin r sin i = tan r tan i =133
即 CB s × h D 2 -CB =133
取s=10cm=0.1m,再把气泡在水下的深度h=1m,气泡的直径d1=1cm=10-2m代入上式,解得CB=5×10-4m。
r=arcsin CB s =arcsin 5×10-4 01 =0029°
又因为图2具有对称性,可求出在F点观察气泡的视角
α=2r=0058°
当气泡上升到水面(指气泡在水下正与水面相切),参照图2可知,这时h= D 2 ,因此,同理可解出这时的CB=0.0052m。设这时的折射角为r'
r'=arcsin 0052 01 =0298°
设在F点观察气泡的视角为 α'α'=2r'=0596°
计算结果表明,直径是1cm的气泡,在水中上升1m,在距水面的气泡正上方处观察,视角增加了10多倍。不难想象,当我们在水面外气泡的斜上方,观察气泡的上升,视角也会不断增大,看到气泡的体积也会越来越大。
对于这个问题,教科书与资料都认为,气泡在上升过程中,封在气泡中气体的质量没变,离池塘的水面越来越近,深度越来越浅,水对气泡的压强也越来越小,所以气泡的体积会越来越大。
深度减小,压强减小,气泡的体积是会变大。但这一过程中,气泡体积的变化,是不是我们肉眼能够观察到的呢?下面我们来看一个具体事例。
设大气压为p0,直径为d1的气泡在水下的深度为h(设为状态Ⅰ,压强为p1,体积为V2),上升到水面直径增加到d2(设为状态Ⅱ,压强为p2,体积为V2)。假设温度没有变化,由此我们可以分别求出状态Ⅰ气泡内气体的压强与体积
p1=p0+ρ水gh
V1= πd13 6
同样可得气泡在状态Ⅱ的压强与体积
p2=p0
V2= πd23 6
根据等温变化的理想气态方程,可得
p1V1=p2V2
即(p0+ρ水gh)× πd13 6 =p0× πd23 6
化简可求出d2
d2= 3 p0+ρ水gh p0 ×d1
设气泡在水下的深度h=1m,气泡的直径d1=1cm=10-2m,取p0=1.013×105pa,ρ水=1.0×103 kg/m3,g=9.8N/kg。并代入上式,可得
d2= 3 11013×105+104 11013×105 ×d1=103d1=103cm
计算可知,当直径为1cm的气泡从水下1m深处上升到水面时,直径只增加了0.03cm。这一微小的变化,我们用肉眼是无法观察到的。既然气泡在水中上升的过程中,体积的变化无法观察,为什么实际当中我们又看到了气泡的体积在明显变大呢?下面我们首先用实验来解释气泡变大的原因。
如图1所示,在量筒内装满水,并插入一根两端开口的玻璃管,用打气球向玻璃管的一端打气,使其在量筒底部产生气泡。我们分别在量筒侧面的中点A与量筒的正上方B点,观察气泡在上升过程中的体积变化。结果发现在A点观察并没发现气泡体积的变化,而在B点发现气泡明显迅速地变大。我们还把能上浮的小木块压入水底后,使其上升,用同样的方法,观察到了同样的结果。A点与B点观察气泡上升的不同之处无非是,A点观察的视角基本没有变化,B点观察的视角在不断增大。通过实验由此我们可以看出,池塘边观察到气泡上升,体积增大,主要不是气泡体积的变大的缘故,而是视角不断增大的缘故。下面我们再从理论上来探讨观察气泡视角变化的大小。
为了探讨方便,我们假设在气泡的正上方距水面的距离为s处进行观察,气泡A点的光线传播到水面的M点折射后,并沿MF方向传播到人眼的F处(如图2所示)。这时入射角i=∠AMC ,折射角r=∠EMF=∠MFN,也等于视角的一半。从图2中可以看出
tan i= AC MC = D 2 -CB h
tan r= MN FN = CB s
由于气泡的半径相对于人观察气泡的距离非常小,因此i、r也就很小,可以近似地认为tan i≈sin i ,tan r≈sin r 。根 据光的折射定律与水的折射率n=1.33,可得
sin r sin i = tan r tan i =133
即 CB s × h D 2 -CB =133
取s=10cm=0.1m,再把气泡在水下的深度h=1m,气泡的直径d1=1cm=10-2m代入上式,解得CB=5×10-4m。
r=arcsin CB s =arcsin 5×10-4 01 =0029°
又因为图2具有对称性,可求出在F点观察气泡的视角
α=2r=0058°
当气泡上升到水面(指气泡在水下正与水面相切),参照图2可知,这时h= D 2 ,因此,同理可解出这时的CB=0.0052m。设这时的折射角为r'
r'=arcsin 0052 01 =0298°
设在F点观察气泡的视角为 α'α'=2r'=0596°
计算结果表明,直径是1cm的气泡,在水中上升1m,在距水面的气泡正上方处观察,视角增加了10多倍。不难想象,当我们在水面外气泡的斜上方,观察气泡的上升,视角也会不断增大,看到气泡的体积也会越来越大。