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数学教学的根本目的是发展学生的数学思维能力.而例、习题变式教学是数学教师在课堂上常用手段，也是一种行之有效的教学方法.通过变式训练，可以展现知识发生、发展、形成的完整认知过程.为学生提供一个求异、思变的空间，让学生把学到的概念、公式、定理、法则灵活应用到各种情景中去，既能培养学生灵活善变的思维品质，又能提高学生研究、探索问题的能力，积累有效地数学解题活动经验.课本例习题是经过专家精心遴选，反复斟酌敲定的，是教材的一个有机组成部分，它对帮助学生理解基础知识，形成基本技能，完善认知结构，培养和提高思维能力等各方面都起着重要的作用.因此抓住课本的典型问题进行深入的挖掘其潜在的价值，多角度、深层次变式拓展，能够调动学生学习的积极性，激发学生的探究热情，培养学生在不同条件和情景中迁移、发散知识的思维智能.使学生看清知识发生、发展过程，数学问题结构的演变过程，解决问题的思维过程，从而达到举一反三，触类旁通的功效. 本文以义务教育课程标准教科书（江苏科学技术出版社）八年级数学上册（2013版）第2章《轴对称》第64页一道例题为案例阐释如下：
图1题目：如图1，已知AE∥BC，AE平分∠DAC.求证：AB=AC．
一、巧妙设问，引导学生探究解题思路
本例是等腰三角形判定一节的一个例题，设计的目的是引导学生能够运用等腰三角形的判定定理——“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对应的边也相等. ” 来证明.因此可以设计如下问题引导学生探索.
师：（1）通过直观的观察或结合题目的提供的信息你希望说明那两个角相等？
生1：从图形上看只有∠B与∠C才可能相等.
生2：老师我觉得如果图形画的不准确，从图形看有时会产生错觉，不如从结论上看，因为结论是求证的AB=AC，所以一定是说明∠B=∠C.
师：这两位同学从两个视角给我们提供证明AB=AC的突破口.事实上第一个同学的思路对于比较标准的图形还是较为方便的，可以捷足先登，迅速突破.而对于第二个同学的视角采用的逆向思维分析的方法，这种方法是“执果索因法”.它是从要证明结论成立，逐步寻求推证过程中，使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
师：如何说明∠B=∠C呢？题目有关于角相等的条件吗？如果有，你可以通过哪些定理来沟通他们之间的关系？
生3：从条件“AE平分∠DAC”可知∠1=∠2，如果我们能找到∠B、∠C与∠1、∠2的关系根据等量代换便可以获解.
生4：从题目平行的条件，根据平行线的性质容易知道：∠B=∠1，∠C=∠2.
师：至此，我们经过分析与探索，问题的证明思路已浮出水面，请同学们检索各自的思维探索过程，谁能够用逻辑推理的方式表述出完整的证明过程？
生5：（学生口述，老师板书）
证明：因为AE平分∠DAC， 所以∠1=∠2.
又 因为AE∥BC，所以∠1=∠B，∠2=∠C.
所以∠B=∠C， 所以AB=AC．
师：反思证明过程你能知道本题考查了哪些知识点吗？
生6：此题考查了角平分线的性质、平行线的性质和在一个三角形中等角对等边的应用.
二、增加命题的条件，变换图形结构拓展命题的内涵与外延，完善丰富学生认知能力
变式教学是学生获取数学知识本质，数学思想方法和解题思维能力的有效途径.在学生获得某种基本的证法后，教师应该通过变式，改变问题中的条件，转换探求的结论，变化问题的形式或图形的形状位置等多种途径，指导学生从不同的方向、不同的角度、不同的层次去思考问题.
1.审视条件与结论，引导学生适当交换命题的条件与结论构造出如下的2个逆命题.
（1）如图1，已知在△ABC中，AB=AC，AE平分∠DAC. 求证：AE∥BC．
（2）如图1，已知在△ABC中，AE∥BC， AB=AC. 求证：AE平分∠DAC．
有些命题的条件与结论不只一个，当我们分清命题的条件与结论之后，适当交换命题的条件与结论可以构造出原命题的逆命题，其逆命题常常不是唯一的，而且逆命题的正确与否，需要我们探索与研究来判断其正确性.同学们你能给出上述两个命题的证明吗？
2.保持原命题的逆命题（1）的条件不变，再引其一个底角的平分线，探究图形的相关性质可以改编成2011山东临沂的一道中考试题.
如图2，△ABC中，AB＝AC，AD、CD分别是△ABC两个外角的平分线．（1）求证：AC＝AD；（2）若∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形.
图2（1）证明：因为AB＝AC，所以∠B＝∠BCA，所以∠FAC＝∠B＋∠BCA＝2∠B，因为AD平分∠FAC，所以∠FAD＝∠B，所以AD∥BC， 所以∠D＝∠DCE，因为CD平分∠ACE，所以∠ACD＝∠DCE，所以∠D＝∠ACD， 所以AC＝AD.
（2）证明：因为∠B＝60°，所以∠ACB＝60°，∠FAC＝∠ACE＝120°，所以∠DCE＝∠B＝60°，所以DC∥AB,因为AD∥BC，所以四边形ABCD为平行四边形，又由（1）知AC＝AD，所以AB＝AD，所以四边形ABCD是菱形．
3.保持原命题的逆命题（1）的条件不变，再过顶点A作底边BC上的高，探究图形的相关性质可以改编成2011淄博市的一道中考试题
图3如图3，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，求证：四边形ADCE为矩形.
解析：思路1：由逆命题的结论可知：AN//BC，又AD⊥BC，所以AD⊥AN，又CE⊥AN，所以∠ADC=∠DAE=∠AEC=90°.
根据有3个角是直角的四边形是矩形，所以四边形ADCE为矩形.
思路2：由于条件中给出的是四边形ADCE，观察图形我们可以发现四边形中已有2个直角即∠ADC=∠AEC=90°，因而只需再说明有一个直角即可，因为AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形的“三线合一”的性质可知∠BAD=∠CAD ，又AN是△ABC外角∠CAM的平分线，所以∠MAE=∠CAE，所以∠CAD+∠CAE=12 （∠BAD+∠CAD+∠MAE+∠CAE）=12×180°=90°，即∠DAE=90°，根据判定“3个角是直角的四边形是矩形”获证.
三、将证明题改编以尺规作图为载体的先操作实践，后猜想说理的开放性问题
与2013年山西省一道中考题不谋而合
如图4（1），在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点.
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图4(2)中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）.
①作∠DAC的平分线AM.②连结BE并延长交AM于点F.
（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由.
解析：（1）作一个角的平分线是根据“SSS”作出两个全等的三角形，根据“对应角相等”来说明是角平分线的.（作图过程见图4（2）.
图4（2）观察图4（2），直观地可以猜想AF∥BC且AF=BC.
理由如下：因为AB=AC,所以∠ABC=∠C.
根据“三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和”.
可知∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C.
由作图可知：∠DAC=2∠FAC.
所以∠C=∠FAC.所以AF∥BC.
又因为E是AC的中点，所以AE=CE，又对顶角相等，所以∠AEF=∠CEB，所以△AEF≌△CEB，所以AF=BC.
评注：本题以“角平分线的作图”为载体，创设了一个融“实践操作——猜想证明”于一体的综合实践环境，让学生在操作的过程中感悟知识的形成过程，探究猜想问题的结论，并学会进行有条理的表达和推理.考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定.
四、在二（3）案例的基础上，让矩形ADCE动起来，探究与△ABC重叠的面积与运动时间之间的函数关系，又可改编成2010年烟台市的一道中考试题
如图5(1)，△ABC中AB=AC,BC=6,点D位于BC中点，连结AD，AD=4,AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.
（1）试判断四边形ADCE的形状并说明理由.
（2）将四边形ADCE沿CB以每秒1个单位长度的速度向左平移，设移动时间为t（0≤t≤6）秒，平移后的四边形A′D′C′E′与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数表达式，并写出相应的t的取值范围.
解析：（1）略.（2）首先搞清平移过程中矩形ADCE与△ABC重叠部分的图形存在的可能的形状.经过画图尝试，结合推理我们不难发现当矩形的边CE运动到AD位置之前（0≤t＜3）重叠的图形都是五边形；当矩形的边CE平移到AD位置左边（3≤t≤6）时重叠的图形为三角形.所以共有两种不同情况：
①当0≤t＜3时，重叠部分为五边形，如图5（2）.设C′E′与AC交于点P，A′D′与AB交于点Q，因为A′E′∥BC，所以△CC′P∽△CDA∽△AE′P∽△AA′Q，
所以E′PAE′=A′QA′A=ADDC=43.
因为A′E′=3，AE′=3-t，AA′=t，
所以E′P=43AE′=43(3-t),A′Q=43A′A=43t.
所以S=S矩形A′D′C′E′-S△AA′Q-S△AE′P=3×4-12A′A•A′Q-12AE′•E′P=12-12t•43t-12(3-t)•43(3-t)=-43t2+4t+6.
图5 ②当3≤t≤6时，重叠部分为三角形,如图6(3).
设AB与C′E′交于点R.
因为C′E′∥AD，所以△BC′R∽△BDA.
所以C′RBC′=ADBD=43.
因为BC′=6-t，所以C′R=43BC′=43(6-t),
所以S=S△BC′R=12BC′•C′R=12×43(6-t)×(6-t)=23(6-t)2
所以S=-43t2+4t+6(0≤t<3)
23(6-t)2(3≤t≤6)
综上可以看出：变式教学是对数学中的问题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式,以暴露问题的本质特征,揭示不同知识点间的内在联系的一种教学设计方法.本文以一道课本例题为背景，通过解题思路的分析，命题的改编与拓展，图形结构的丰富与完善，引导学生思维拾级而踏上数学的探究之路，欣赏了数学无限美景风光. 促进了学生良好的解题思维品质养成，能够激发学生的好奇心和求知欲，唤醒学生认知的内驱力.使学生在课堂变式教学的环境下强化了学生的空间想象、合情推理（所谓合情推理就是根据已有的知识和经验，在某种情景中经历观察、实验、猜想等数学活动，推出可能性结论的推理）、逻辑思维能力、分析和解决问题的能力.同时可以发现许多的中考试题都是以课本例习题为“背景”经过命题专家的巧妙构思编拟而成的，它们源于课本，活于课本，高于课本.这就启发我们平时的解题过程中，要立足于课本，在学好基础知识，掌握基本技能和方法的基础上，抓住问题的本质，充分发挥教学的智慧，最大限度的创造性的开发教材资源. 让学生能从不同角度，不同层次，重新认识已有问题，提高学生参与、创新和解决问题的能力. 提升学生数学思维水平.
图1题目：如图1，已知AE∥BC，AE平分∠DAC.求证：AB=AC．
一、巧妙设问，引导学生探究解题思路
本例是等腰三角形判定一节的一个例题，设计的目的是引导学生能够运用等腰三角形的判定定理——“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对应的边也相等. ” 来证明.因此可以设计如下问题引导学生探索.
师：（1）通过直观的观察或结合题目的提供的信息你希望说明那两个角相等？
生1：从图形上看只有∠B与∠C才可能相等.
生2：老师我觉得如果图形画的不准确，从图形看有时会产生错觉，不如从结论上看，因为结论是求证的AB=AC，所以一定是说明∠B=∠C.
师：这两位同学从两个视角给我们提供证明AB=AC的突破口.事实上第一个同学的思路对于比较标准的图形还是较为方便的，可以捷足先登，迅速突破.而对于第二个同学的视角采用的逆向思维分析的方法，这种方法是“执果索因法”.它是从要证明结论成立，逐步寻求推证过程中，使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
师：如何说明∠B=∠C呢？题目有关于角相等的条件吗？如果有，你可以通过哪些定理来沟通他们之间的关系？
生3：从条件“AE平分∠DAC”可知∠1=∠2，如果我们能找到∠B、∠C与∠1、∠2的关系根据等量代换便可以获解.
生4：从题目平行的条件，根据平行线的性质容易知道：∠B=∠1，∠C=∠2.
师：至此，我们经过分析与探索，问题的证明思路已浮出水面，请同学们检索各自的思维探索过程，谁能够用逻辑推理的方式表述出完整的证明过程？
生5：（学生口述，老师板书）
证明：因为AE平分∠DAC， 所以∠1=∠2.
又 因为AE∥BC，所以∠1=∠B，∠2=∠C.
所以∠B=∠C， 所以AB=AC．
师：反思证明过程你能知道本题考查了哪些知识点吗？
生6：此题考查了角平分线的性质、平行线的性质和在一个三角形中等角对等边的应用.
二、增加命题的条件，变换图形结构拓展命题的内涵与外延，完善丰富学生认知能力
变式教学是学生获取数学知识本质，数学思想方法和解题思维能力的有效途径.在学生获得某种基本的证法后，教师应该通过变式，改变问题中的条件，转换探求的结论，变化问题的形式或图形的形状位置等多种途径，指导学生从不同的方向、不同的角度、不同的层次去思考问题.
1.审视条件与结论，引导学生适当交换命题的条件与结论构造出如下的2个逆命题.
（1）如图1，已知在△ABC中，AB=AC，AE平分∠DAC. 求证：AE∥BC．
（2）如图1，已知在△ABC中，AE∥BC， AB=AC. 求证：AE平分∠DAC．
有些命题的条件与结论不只一个，当我们分清命题的条件与结论之后，适当交换命题的条件与结论可以构造出原命题的逆命题，其逆命题常常不是唯一的，而且逆命题的正确与否，需要我们探索与研究来判断其正确性.同学们你能给出上述两个命题的证明吗？
2.保持原命题的逆命题（1）的条件不变，再引其一个底角的平分线，探究图形的相关性质可以改编成2011山东临沂的一道中考试题.
如图2，△ABC中，AB＝AC，AD、CD分别是△ABC两个外角的平分线．（1）求证：AC＝AD；（2）若∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形.
图2（1）证明：因为AB＝AC，所以∠B＝∠BCA，所以∠FAC＝∠B＋∠BCA＝2∠B，因为AD平分∠FAC，所以∠FAD＝∠B，所以AD∥BC， 所以∠D＝∠DCE，因为CD平分∠ACE，所以∠ACD＝∠DCE，所以∠D＝∠ACD， 所以AC＝AD.
（2）证明：因为∠B＝60°，所以∠ACB＝60°，∠FAC＝∠ACE＝120°，所以∠DCE＝∠B＝60°，所以DC∥AB,因为AD∥BC，所以四边形ABCD为平行四边形，又由（1）知AC＝AD，所以AB＝AD，所以四边形ABCD是菱形．
3.保持原命题的逆命题（1）的条件不变，再过顶点A作底边BC上的高，探究图形的相关性质可以改编成2011淄博市的一道中考试题
图3如图3，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，求证：四边形ADCE为矩形.
解析：思路1：由逆命题的结论可知：AN//BC，又AD⊥BC，所以AD⊥AN，又CE⊥AN，所以∠ADC=∠DAE=∠AEC=90°.
根据有3个角是直角的四边形是矩形，所以四边形ADCE为矩形.
思路2：由于条件中给出的是四边形ADCE，观察图形我们可以发现四边形中已有2个直角即∠ADC=∠AEC=90°，因而只需再说明有一个直角即可，因为AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形的“三线合一”的性质可知∠BAD=∠CAD ，又AN是△ABC外角∠CAM的平分线，所以∠MAE=∠CAE，所以∠CAD+∠CAE=12 （∠BAD+∠CAD+∠MAE+∠CAE）=12×180°=90°，即∠DAE=90°，根据判定“3个角是直角的四边形是矩形”获证.
三、将证明题改编以尺规作图为载体的先操作实践，后猜想说理的开放性问题
与2013年山西省一道中考题不谋而合
如图4（1），在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点.
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图4(2)中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）.
①作∠DAC的平分线AM.②连结BE并延长交AM于点F.
（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由.
解析：（1）作一个角的平分线是根据“SSS”作出两个全等的三角形，根据“对应角相等”来说明是角平分线的.（作图过程见图4（2）.
图4（2）观察图4（2），直观地可以猜想AF∥BC且AF=BC.
理由如下：因为AB=AC,所以∠ABC=∠C.
根据“三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和”.
可知∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C.
由作图可知：∠DAC=2∠FAC.
所以∠C=∠FAC.所以AF∥BC.
又因为E是AC的中点，所以AE=CE，又对顶角相等，所以∠AEF=∠CEB，所以△AEF≌△CEB，所以AF=BC.
评注：本题以“角平分线的作图”为载体，创设了一个融“实践操作——猜想证明”于一体的综合实践环境，让学生在操作的过程中感悟知识的形成过程，探究猜想问题的结论，并学会进行有条理的表达和推理.考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定.
四、在二（3）案例的基础上，让矩形ADCE动起来，探究与△ABC重叠的面积与运动时间之间的函数关系，又可改编成2010年烟台市的一道中考试题
如图5(1)，△ABC中AB=AC,BC=6,点D位于BC中点，连结AD，AD=4,AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.
（1）试判断四边形ADCE的形状并说明理由.
（2）将四边形ADCE沿CB以每秒1个单位长度的速度向左平移，设移动时间为t（0≤t≤6）秒，平移后的四边形A′D′C′E′与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数表达式，并写出相应的t的取值范围.
解析：（1）略.（2）首先搞清平移过程中矩形ADCE与△ABC重叠部分的图形存在的可能的形状.经过画图尝试，结合推理我们不难发现当矩形的边CE运动到AD位置之前（0≤t＜3）重叠的图形都是五边形；当矩形的边CE平移到AD位置左边（3≤t≤6）时重叠的图形为三角形.所以共有两种不同情况：
①当0≤t＜3时，重叠部分为五边形，如图5（2）.设C′E′与AC交于点P，A′D′与AB交于点Q，因为A′E′∥BC，所以△CC′P∽△CDA∽△AE′P∽△AA′Q，
所以E′PAE′=A′QA′A=ADDC=43.
因为A′E′=3，AE′=3-t，AA′=t，
所以E′P=43AE′=43(3-t),A′Q=43A′A=43t.
所以S=S矩形A′D′C′E′-S△AA′Q-S△AE′P=3×4-12A′A•A′Q-12AE′•E′P=12-12t•43t-12(3-t)•43(3-t)=-43t2+4t+6.
图5 ②当3≤t≤6时，重叠部分为三角形,如图6(3).
设AB与C′E′交于点R.
因为C′E′∥AD，所以△BC′R∽△BDA.
所以C′RBC′=ADBD=43.
因为BC′=6-t，所以C′R=43BC′=43(6-t),
所以S=S△BC′R=12BC′•C′R=12×43(6-t)×(6-t)=23(6-t)2
所以S=-43t2+4t+6(0≤t<3)
23(6-t)2(3≤t≤6)
综上可以看出：变式教学是对数学中的问题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式,以暴露问题的本质特征,揭示不同知识点间的内在联系的一种教学设计方法.本文以一道课本例题为背景，通过解题思路的分析，命题的改编与拓展，图形结构的丰富与完善，引导学生思维拾级而踏上数学的探究之路，欣赏了数学无限美景风光. 促进了学生良好的解题思维品质养成，能够激发学生的好奇心和求知欲，唤醒学生认知的内驱力.使学生在课堂变式教学的环境下强化了学生的空间想象、合情推理（所谓合情推理就是根据已有的知识和经验，在某种情景中经历观察、实验、猜想等数学活动，推出可能性结论的推理）、逻辑思维能力、分析和解决问题的能力.同时可以发现许多的中考试题都是以课本例习题为“背景”经过命题专家的巧妙构思编拟而成的，它们源于课本，活于课本，高于课本.这就启发我们平时的解题过程中，要立足于课本，在学好基础知识，掌握基本技能和方法的基础上，抓住问题的本质，充分发挥教学的智慧，最大限度的创造性的开发教材资源. 让学生能从不同角度，不同层次，重新认识已有问题，提高学生参与、创新和解决问题的能力. 提升学生数学思维水平.