论文部分内容阅读
课本习题是经过专家学者精心筛选后设置的，具有较强的示范性。在教学中教师要善于以这些习题为原型，引导学生进行适当引申、拓展和解题后的反思。这样不仅能充分发掘课本习题的潜在教学价值，而且对于提高学生学习积极性，培养探索性和创新精神大有帮助。本文仅就全日制普通高级中学教材第二册（上）第119页第七题加以引申、拓展，供读者参考。
原题：过抛物线y2=2Px(P＞0)的焦点的一条直线和抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1、y2，求证：y1y2=-P2。
由此结论发现y1y2是一个常数，此结论不难证明（略）。
1引申
1.1原题条件不变，结论变化
（1）x1x2是常数
分析：（如图1）
∵A、B两交点都在抛物线上
∴y12=2px1y22=2px2
∴x1x2=y122p·y222p=(y1y2)24p2=(-p2)24p2=p24
所以x1x2也是一个常数p24。
（2）1AF+1BF是否为常数？
分析：如图1，由抛物线定义得：
1AF+1BF=1x1+p2+1x2+p2=x1+x2+pp2(x1+x2+p)=2p所以，1AF+1BF是一个常数2p。
（3）若AFBF=λ（λ>0）,则AB=？
分析：如图1，设AF=d1，BF=d2，则
d1d2=λ
1d1+1d2=2p解之得d1=p(1+λ)2d2=p(1+λ)2p
∴AB=d1+d2=p(1+λ)2λ
（4）若直线OA交准线于点B1，则BB1是否与X轴平行？
分析：（如图1）∵直线OA的方程为y=y1x1x，准线方程为x=-p2，由两个方程联解得点：B1(-p2,-py12x1)
∴yB1=-py12x1=-py12×y212p=y2=yB
∴ BB1//X轴
（5）∠AOB能否为直角？锐角？钝角？
分析，如图1，若∠AOB=90°时，则KOA·KOB=-1
即：y1x1·y2x2=-1∴x1x2+y1y2=0∴p24-p2=0
∴P=0，这与P>0矛盾，∴∠AOB≠90°
∵直角梯形AA1B1B的中位线长等于12AB
∴以AB为直径的圆必与准线相切，而坐标原点O恒在该圆的内部
∴∠AOB只能是钝角。
（6）若设过焦点直线AB倾斜角为α,则AB以及△AOB的面积关于α分别有怎样的三角函数关系呢？
分析（如图1）：∵已知可得方程y2-2pk·y-p2=0
∴AB=x1+x2+p=y122p+y1222p+p=4p2k22p+2p22p+p=2p(cot2α+1)=2psin2α（当α=90°时也成立）
S△AOB=S△AOF+S△BOF=12·p2AFsinα+12·p2BFsinα
=p4sinα（AF+BF）=p4sinαAB=p4sinα·2psin2α=p22sinα
注：当α=90°时，AB取得最小值2P，S△AOB取得最小值p22
（7）AF的中点轨迹如何？AB的中点轨迹以如何？
分析：设AF的中点为M（x、y），则有：
x=x1+p22
y=y12x1=2x-p2
y1=2y①
∵A（x1、y1）是抛物线上的动点∴y12=2px1②
把①代入②中化简得AF中点M的轨迹方程为y2=p(x-p4)，再设AB的中点N（x，y），则y=y1+y22
∵y1+y2=2pk∴y=y1+y22=pk∵k=py
∵N（x，y）在直线AB上∴y=k(x-p2)=py(x-p2)
∴AB中点N的轨迹方程是y2=p(x-p2)
1.2条件与结论互换
（8）原题的逆命题是否成立？即若y1y2=-P2（或x1x2=P24），则直线AB是否过抛物线的焦点F（p2,0）呢？
分析：若AB垂直X轴，结论显然成立；若AB不垂直于X轴，设直线AB的斜截式方程y=kx+b(k≠0)，且A（x1,y1）、B（x2,y2）
由y=kx+by2=2px消去x得y2-2pky+2pbk=0
∵y1、y2是上述方程的实根∴y1y2=2pbk而y1y2=-P2
∴2pbk=-p2
∴b=-pk2∴直线AB的方程为y=k(x-p2)
∴直线AB过抛物线的焦点F(p2,0)。
2拓展
例1：在抛物线上有两点满足，求证：点A、B和抛物线的焦点三点共线。
证明：
∵AB=(x2-x1)2+(y2+y1)2=y1+y2+2
∴（x2-x1）2+(y2-y1)2=(y1+y2+2)2即x12+x22-2x1x2=4y1y2+4y1+4y2+4(1)
∵A(x1、y1)，B(x2、y2)都在抛物线上
∴x12=4y1, x22=4y2
即y1y2=x21x2216代入（1）式得：x12x22+8x1x2+16=0
∴(x1x2+4)2=0∴x1x2=-4∴A、B和抛物线焦点三点共线。
例2、设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点。点C在抛物线的准线上，证明直线AC经过原点O。
证明：（如图2）
∵抛物线的焦点F(p2,0)
∴过点F的直线AB的方程可设为x=my+p2代入抛物线方程得。
y2-2Pmy-P2=0，若A（x1，y1），B（x2，y2）.
则y1y2=-P2∴BC∥X轴，且点C在准线x=-p2上
∴点C坐标为（-p2,y2）∴kCO=2py1
∵y12=2px1∴2py1=y1x1∴kCO=kOA
∴直线AC经过原点O
由此可知，对于典型习题结论加以引申、拓展，不仅能收到举一反三触类旁通的功效，而且有利于激发学生的学习兴趣，培养思维的灵活性和深刻性。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
原题：过抛物线y2=2Px(P＞0)的焦点的一条直线和抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1、y2，求证：y1y2=-P2。
由此结论发现y1y2是一个常数，此结论不难证明（略）。
1引申
1.1原题条件不变，结论变化
（1）x1x2是常数
分析：（如图1）
∵A、B两交点都在抛物线上
∴y12=2px1y22=2px2
∴x1x2=y122p·y222p=(y1y2)24p2=(-p2)24p2=p24
所以x1x2也是一个常数p24。
（2）1AF+1BF是否为常数？
分析：如图1，由抛物线定义得：
1AF+1BF=1x1+p2+1x2+p2=x1+x2+pp2(x1+x2+p)=2p所以，1AF+1BF是一个常数2p。
（3）若AFBF=λ（λ>0）,则AB=？
分析：如图1，设AF=d1，BF=d2，则
d1d2=λ
1d1+1d2=2p解之得d1=p(1+λ)2d2=p(1+λ)2p
∴AB=d1+d2=p(1+λ)2λ
（4）若直线OA交准线于点B1，则BB1是否与X轴平行？
分析：（如图1）∵直线OA的方程为y=y1x1x，准线方程为x=-p2，由两个方程联解得点：B1(-p2,-py12x1)
∴yB1=-py12x1=-py12×y212p=y2=yB
∴ BB1//X轴
（5）∠AOB能否为直角？锐角？钝角？
分析，如图1，若∠AOB=90°时，则KOA·KOB=-1
即：y1x1·y2x2=-1∴x1x2+y1y2=0∴p24-p2=0
∴P=0，这与P>0矛盾，∴∠AOB≠90°
∵直角梯形AA1B1B的中位线长等于12AB
∴以AB为直径的圆必与准线相切，而坐标原点O恒在该圆的内部
∴∠AOB只能是钝角。
（6）若设过焦点直线AB倾斜角为α,则AB以及△AOB的面积关于α分别有怎样的三角函数关系呢？
分析（如图1）：∵已知可得方程y2-2pk·y-p2=0
∴AB=x1+x2+p=y122p+y1222p+p=4p2k22p+2p22p+p=2p(cot2α+1)=2psin2α（当α=90°时也成立）
S△AOB=S△AOF+S△BOF=12·p2AFsinα+12·p2BFsinα
=p4sinα（AF+BF）=p4sinαAB=p4sinα·2psin2α=p22sinα
注：当α=90°时，AB取得最小值2P，S△AOB取得最小值p22
（7）AF的中点轨迹如何？AB的中点轨迹以如何？
分析：设AF的中点为M（x、y），则有：
x=x1+p22
y=y12x1=2x-p2
y1=2y①
∵A（x1、y1）是抛物线上的动点∴y12=2px1②
把①代入②中化简得AF中点M的轨迹方程为y2=p(x-p4)，再设AB的中点N（x，y），则y=y1+y22
∵y1+y2=2pk∴y=y1+y22=pk∵k=py
∵N（x，y）在直线AB上∴y=k(x-p2)=py(x-p2)
∴AB中点N的轨迹方程是y2=p(x-p2)
1.2条件与结论互换
（8）原题的逆命题是否成立？即若y1y2=-P2（或x1x2=P24），则直线AB是否过抛物线的焦点F（p2,0）呢？
分析：若AB垂直X轴，结论显然成立；若AB不垂直于X轴，设直线AB的斜截式方程y=kx+b(k≠0)，且A（x1,y1）、B（x2,y2）
由y=kx+by2=2px消去x得y2-2pky+2pbk=0
∵y1、y2是上述方程的实根∴y1y2=2pbk而y1y2=-P2
∴2pbk=-p2
∴b=-pk2∴直线AB的方程为y=k(x-p2)
∴直线AB过抛物线的焦点F(p2,0)。
2拓展
例1：在抛物线上有两点满足，求证：点A、B和抛物线的焦点三点共线。
证明：
∵AB=(x2-x1)2+(y2+y1)2=y1+y2+2
∴（x2-x1）2+(y2-y1)2=(y1+y2+2)2即x12+x22-2x1x2=4y1y2+4y1+4y2+4(1)
∵A(x1、y1)，B(x2、y2)都在抛物线上
∴x12=4y1, x22=4y2
即y1y2=x21x2216代入（1）式得：x12x22+8x1x2+16=0
∴(x1x2+4)2=0∴x1x2=-4∴A、B和抛物线焦点三点共线。
例2、设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点。点C在抛物线的准线上，证明直线AC经过原点O。
证明：（如图2）
∵抛物线的焦点F(p2,0)
∴过点F的直线AB的方程可设为x=my+p2代入抛物线方程得。
y2-2Pmy-P2=0，若A（x1，y1），B（x2，y2）.
则y1y2=-P2∴BC∥X轴，且点C在准线x=-p2上
∴点C坐标为（-p2,y2）∴kCO=2py1
∵y12=2px1∴2py1=y1x1∴kCO=kOA
∴直线AC经过原点O
由此可知，对于典型习题结论加以引申、拓展，不仅能收到举一反三触类旁通的功效，而且有利于激发学生的学习兴趣，培养思维的灵活性和深刻性。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文