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[摘 要]“数学广角”是人教版教材在课程改革后新开设的板块，内容新颖有趣，多数是以高度还原的生活事例为情境，因此，操作性和实践性非常强，但也因为如此，其数学味较淡，综合实践的味道较浓。以“烙饼问题”为例，挖掘其背后蕴含的数学思想方法，从而提高“数学广角”教学的数学味。
[关键词]数学广角;烙饼问题;数学味
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）17-0025-02
学校开展了一次以四年级“烙饼问题”为主题的同课异构活动，并将对这一课程的不同施教观点、观念冲突诉诸文字，达到艺术争鸣的效果。虽说同课异构的主题是“数学广角”，谁料有四位教师不谋而合，都选择了烙饼问题来“开路”。虽说是同课异构，但大同小异，均设有创设情境、自主探究、合作交流、展示汇报等环节。
一、教学烙饼问题的基本流程
1.创设情境，谈话导入。四位教师的新课引入都是从拉家常开始。其中一位从早餐聊起，谈到当地的特色小吃，一步步将话题引到“烙饼问题”上，再通过展示课件（如图1），设计系列问题，慢慢转入正题。
“观察图1，你从中读取了哪些信息？‘每次最多只能烙2张饼’说明什么？有何深意？‘两面都要烙，每面3分钟’又隐含着什么信息？你能用肢体语言演示一下吗？”这位教师接连提问。
2.自主探究，学具辅助。对烙1张、2张、3张饼的过程进行操作演示，使学生直观感知。教师在课前准备了3张圆片充当烙饼，学生操作探究。思考烙熟1张、2张饼的最少用时，这对学生来说是小菜一碟，独自操作即可推出结论。本课的重点在于烙熟3张饼的用时探究。多数教师采用合作探究的方法，交流展示、归纳总结，得出最优方案。为凸显最优方案，有的教师将其命名为“交错烙法”。
3.归纳总结，问题解决。对烙饼张数分别为4、5、6时的烙法展开探究，以虚拟推导为主。随着饼的数量越增越多，操作法越来越力不从心，抽象的虚拟推导法就越来越受欢迎。最后，教师整理总结出烙饼张数与最少用时的统计表。
通过观察、分析统计表中的数据，总结出两个规律。（1）烙饼最少用时=烙饼张数×3（烙饼张数>1）。（2）最优化方案分为奇数和偶数两类来讨论。烙饼张数为奇数时，前面的每次烙熟2张饼，剩下3张饼时，采用“交错烙法”。烙饼张数为偶数时，就直接每次烙熟2张饼，直至烙完。规律（1）是从前后数据的相关性中直接推断出来的，或者说是凭借直觉和数感猜想出来的，没有经过严密的理论论证，这时需要教师帮助揭示其中的数学原理，这是从数学模型中总结出数学理论的关键一步，也是真正体现数学味和挖掘数学本质的破局之举。教师应该引导学生观察并推理出：无论是烙多少张饼，要使用时最少，就必须满足这样一条准则，那就是每次烙2个面，不让锅有空置的情况。如果烙偶数张饼，那么直接每次烙熟2张就可以达到这个效果;如果是烙奇数张饼，最后3张就要采用“交错烙法”。总面数=烙饼张数×2，又因为每次能够烙2个面，所以烙饼总次数=总面数÷2=烙饼张数×2÷2=烙饼张数。也就是说，有多少张饼就要烙多少次。再根据每面3分钟，得出结论：最少用时=烙饼张数×3（烙饼张数>1）。这样的分析与推导，不但将奇数张饼与偶数张饼的不同烙法化归一同，而且超越直观演示层面，直抵数学理论验证层级。
二、求取各方意见的最大公因数
本次研讨活动的一大亮点是邀請了语文教师来客串，顺应了课程改革中的“开放性”和“综合性”两大要求。跨学科的融合，文理兼容的教学理念，注定此次教研活动将不同凡响。
为何“数学广角”的教学内容数学味逐渐流失？在“烙饼问题”的试教中，语文教师和数学教师的差别主要体现在开头。语文教师舍弃创设情境这一环，取而代之的是阅读理解、识字断句、概括题目大意等考查语文素养的环节。大家认为，语文教师的教学体现了语文味，数学教师的教学则相形见绌，缺少数学味。何以至此？众人以为是执教教师曲解了教材编写意图。
尽管“数学广角”是以生活情境为题材和叙事背景，但其却蕴含着统筹方法、整体运算、不完全归纳法等数学思想方法的综合运用，这才是“数学广角”的数学成分。“烙饼问题”其实涉及运筹学中的对策论。对运筹学的解析是分三个阶段螺旋式上升的。小学阶段是设计在简单事例中，让学生在解决问题中慢慢领悟，高中阶段是通过线性规划来研究类似研发投资、产业利润等利益最大化问题来体现，真正对这一部分知识深入探究则要到大学以后。因此，小学阶段的“烙饼问题”的教学，重点应该是让学生学会在解决问题时讲对策、讲谋略。
制订对策时，有三要素：策划人、方案集和最优化方案。“策划人”是指对策中的决策者、掌权者。教学时，应该尽力让学生成为策划人。教师可以先列举规划旅游出行线路、快递员送快递等情境，说明制订对策可以提高效率、节省成本，然后抛出“烙饼问题”让学生自主决策，让学生成为策划人。如此导入比交谈吃什么早餐更有意义。“方案集”是指可供选择的对策的全集。“烙饼问题”首要任务是弄清有多少种烙法，也就是烙法的所有对策，这是决策的前提。没有全面弄清问题就直接拿出最优方案的做法是盲目冲动的。
以烙3张饼为例，可行方案有很多。如可以烙3次，每次烙1张，也可以烙2次，一次烙2张，另一次烙1张。即使用3张一起的“交错烙法”，也有8种不同的具体烙法。如此，不但让学生明白策略的多样性以及优化的必要性，而且呈现了对策的全集，彰显了运筹学的第二要素。“最优化方案”是指对各种决策进行考量权衡时，得出的盈亏值。在“烙饼问题”的教学中，对不同的对策方案进行量化评析，核算其盈亏值。以烙3张饼为例，教师可以提出条件，如限制用12或9分钟烙熟所有饼，让学生自行决策，并对决策方案做出盈亏分析。
三、怎样提高数学味
“烙饼问题”的教学过程中存在诸多非数学因素。如3张饼的“交错烙法”，一位教师先通过多媒体演示烙饼过程，然后让学生模仿操作。对部分还没有搞懂的学生，则通过传、帮、带的手段，画出烙饼的方法，确保全员理解。如此煞费苦心，是在进行卖饼的职业培训吗？又比如对烙6张饼的分组，一位教师执着于是分成（2，2，2）三组还是分成（3，3）两组，难道不同分组对最少用时有影响吗？
出现这些现象，还得从“数学广角”的目标定位找原因。人教版教材试图通过“数学广角”渗透基本的数学方法。因此，从日常生活事例中挖掘出数学思想方法是把握教学目标的关键，把握住这个关键，数学味自然就留住了。
在“烙饼问题”的探究中，要渗透运用标记符号的意识。以探究3张饼的烙法为例，为区分3张饼的正反面，有的教师涂色，有的贴标签，多数是用1正、1反等字符表示第1张饼的2个面，其他的以此类推。这些都有标记作用，但是却忽视了数学形式的要求。义教阶段主要是培养和塑造学生的字符代数意识，基于这一理念，给饼的各面标记一个专业的数学符号效果更妙。
先说3张饼，首先分别用a、b、c表示。其次，考虑到每张饼有2个面，分别用下标1、2进行区分。如此一来，3个饼的6个面就有6个字符组合，于是最优方案就是将这6个字符组合分成3组，每组2个元素，其中（[a1]，[a2]），（[b1]，[b2]），（[c1]，[c2]）不能编为一组。这样一来，问题就转化为一个组合问题，有8种组合法。
教师要培养学生的归纳能力。从特殊到一般的合情推理，从一般到特殊的演绎推理，反复训练，不断归纳。探究烙10张饼的最少用时，可以从烙1张、2张饼逐步递进，再从特殊的3张饼开始进行归纳并推广到一般情况，接着从奇数张到偶数张进行演绎推理，综合归纳，最后发现无论怎么烙饼，都是按照每次烙2面的规则进行。
总之，“数学广角”的教学对传统数学教学提出了挑战，同时又注入活力。让我们充分挖掘蕴含在生活情境中的深厚的数学思想方法，努力让“数学广角”更有数学味！
（责编 吴美玲）
[关键词]数学广角;烙饼问题;数学味
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）17-0025-02
学校开展了一次以四年级“烙饼问题”为主题的同课异构活动，并将对这一课程的不同施教观点、观念冲突诉诸文字，达到艺术争鸣的效果。虽说同课异构的主题是“数学广角”，谁料有四位教师不谋而合，都选择了烙饼问题来“开路”。虽说是同课异构，但大同小异，均设有创设情境、自主探究、合作交流、展示汇报等环节。
一、教学烙饼问题的基本流程
1.创设情境，谈话导入。四位教师的新课引入都是从拉家常开始。其中一位从早餐聊起，谈到当地的特色小吃，一步步将话题引到“烙饼问题”上，再通过展示课件（如图1），设计系列问题，慢慢转入正题。
“观察图1，你从中读取了哪些信息？‘每次最多只能烙2张饼’说明什么？有何深意？‘两面都要烙，每面3分钟’又隐含着什么信息？你能用肢体语言演示一下吗？”这位教师接连提问。
2.自主探究，学具辅助。对烙1张、2张、3张饼的过程进行操作演示，使学生直观感知。教师在课前准备了3张圆片充当烙饼，学生操作探究。思考烙熟1张、2张饼的最少用时，这对学生来说是小菜一碟，独自操作即可推出结论。本课的重点在于烙熟3张饼的用时探究。多数教师采用合作探究的方法，交流展示、归纳总结，得出最优方案。为凸显最优方案，有的教师将其命名为“交错烙法”。
3.归纳总结，问题解决。对烙饼张数分别为4、5、6时的烙法展开探究，以虚拟推导为主。随着饼的数量越增越多，操作法越来越力不从心，抽象的虚拟推导法就越来越受欢迎。最后，教师整理总结出烙饼张数与最少用时的统计表。
通过观察、分析统计表中的数据，总结出两个规律。（1）烙饼最少用时=烙饼张数×3（烙饼张数>1）。（2）最优化方案分为奇数和偶数两类来讨论。烙饼张数为奇数时，前面的每次烙熟2张饼，剩下3张饼时，采用“交错烙法”。烙饼张数为偶数时，就直接每次烙熟2张饼，直至烙完。规律（1）是从前后数据的相关性中直接推断出来的，或者说是凭借直觉和数感猜想出来的，没有经过严密的理论论证，这时需要教师帮助揭示其中的数学原理，这是从数学模型中总结出数学理论的关键一步，也是真正体现数学味和挖掘数学本质的破局之举。教师应该引导学生观察并推理出：无论是烙多少张饼，要使用时最少，就必须满足这样一条准则，那就是每次烙2个面，不让锅有空置的情况。如果烙偶数张饼，那么直接每次烙熟2张就可以达到这个效果;如果是烙奇数张饼，最后3张就要采用“交错烙法”。总面数=烙饼张数×2，又因为每次能够烙2个面，所以烙饼总次数=总面数÷2=烙饼张数×2÷2=烙饼张数。也就是说，有多少张饼就要烙多少次。再根据每面3分钟，得出结论：最少用时=烙饼张数×3（烙饼张数>1）。这样的分析与推导，不但将奇数张饼与偶数张饼的不同烙法化归一同，而且超越直观演示层面，直抵数学理论验证层级。
二、求取各方意见的最大公因数
本次研讨活动的一大亮点是邀請了语文教师来客串，顺应了课程改革中的“开放性”和“综合性”两大要求。跨学科的融合，文理兼容的教学理念，注定此次教研活动将不同凡响。
为何“数学广角”的教学内容数学味逐渐流失？在“烙饼问题”的试教中，语文教师和数学教师的差别主要体现在开头。语文教师舍弃创设情境这一环，取而代之的是阅读理解、识字断句、概括题目大意等考查语文素养的环节。大家认为，语文教师的教学体现了语文味，数学教师的教学则相形见绌，缺少数学味。何以至此？众人以为是执教教师曲解了教材编写意图。
尽管“数学广角”是以生活情境为题材和叙事背景，但其却蕴含着统筹方法、整体运算、不完全归纳法等数学思想方法的综合运用，这才是“数学广角”的数学成分。“烙饼问题”其实涉及运筹学中的对策论。对运筹学的解析是分三个阶段螺旋式上升的。小学阶段是设计在简单事例中，让学生在解决问题中慢慢领悟，高中阶段是通过线性规划来研究类似研发投资、产业利润等利益最大化问题来体现，真正对这一部分知识深入探究则要到大学以后。因此，小学阶段的“烙饼问题”的教学，重点应该是让学生学会在解决问题时讲对策、讲谋略。
制订对策时，有三要素：策划人、方案集和最优化方案。“策划人”是指对策中的决策者、掌权者。教学时，应该尽力让学生成为策划人。教师可以先列举规划旅游出行线路、快递员送快递等情境，说明制订对策可以提高效率、节省成本，然后抛出“烙饼问题”让学生自主决策，让学生成为策划人。如此导入比交谈吃什么早餐更有意义。“方案集”是指可供选择的对策的全集。“烙饼问题”首要任务是弄清有多少种烙法，也就是烙法的所有对策，这是决策的前提。没有全面弄清问题就直接拿出最优方案的做法是盲目冲动的。
以烙3张饼为例，可行方案有很多。如可以烙3次，每次烙1张，也可以烙2次，一次烙2张，另一次烙1张。即使用3张一起的“交错烙法”，也有8种不同的具体烙法。如此，不但让学生明白策略的多样性以及优化的必要性，而且呈现了对策的全集，彰显了运筹学的第二要素。“最优化方案”是指对各种决策进行考量权衡时，得出的盈亏值。在“烙饼问题”的教学中，对不同的对策方案进行量化评析，核算其盈亏值。以烙3张饼为例，教师可以提出条件，如限制用12或9分钟烙熟所有饼，让学生自行决策，并对决策方案做出盈亏分析。
三、怎样提高数学味
“烙饼问题”的教学过程中存在诸多非数学因素。如3张饼的“交错烙法”，一位教师先通过多媒体演示烙饼过程，然后让学生模仿操作。对部分还没有搞懂的学生，则通过传、帮、带的手段，画出烙饼的方法，确保全员理解。如此煞费苦心，是在进行卖饼的职业培训吗？又比如对烙6张饼的分组，一位教师执着于是分成（2，2，2）三组还是分成（3，3）两组，难道不同分组对最少用时有影响吗？
出现这些现象，还得从“数学广角”的目标定位找原因。人教版教材试图通过“数学广角”渗透基本的数学方法。因此，从日常生活事例中挖掘出数学思想方法是把握教学目标的关键，把握住这个关键，数学味自然就留住了。
在“烙饼问题”的探究中，要渗透运用标记符号的意识。以探究3张饼的烙法为例，为区分3张饼的正反面，有的教师涂色，有的贴标签，多数是用1正、1反等字符表示第1张饼的2个面，其他的以此类推。这些都有标记作用，但是却忽视了数学形式的要求。义教阶段主要是培养和塑造学生的字符代数意识，基于这一理念，给饼的各面标记一个专业的数学符号效果更妙。
先说3张饼，首先分别用a、b、c表示。其次，考虑到每张饼有2个面，分别用下标1、2进行区分。如此一来，3个饼的6个面就有6个字符组合，于是最优方案就是将这6个字符组合分成3组，每组2个元素，其中（[a1]，[a2]），（[b1]，[b2]），（[c1]，[c2]）不能编为一组。这样一来，问题就转化为一个组合问题，有8种组合法。
教师要培养学生的归纳能力。从特殊到一般的合情推理，从一般到特殊的演绎推理，反复训练，不断归纳。探究烙10张饼的最少用时，可以从烙1张、2张饼逐步递进，再从特殊的3张饼开始进行归纳并推广到一般情况，接着从奇数张到偶数张进行演绎推理，综合归纳，最后发现无论怎么烙饼，都是按照每次烙2面的规则进行。
总之，“数学广角”的教学对传统数学教学提出了挑战，同时又注入活力。让我们充分挖掘蕴含在生活情境中的深厚的数学思想方法，努力让“数学广角”更有数学味！
（责编 吴美玲）