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函数是中学数学的主线，也是整个高中数学的基础。 函数概念的产生，本身就标志着数学思想方法的重大转折——由常量数学到变量数学。而函数的应用，更使得数学的面貌从对象到理论、方法、结构都发生了根本的变化。函数概念是现代数学的中心问题，在整个数学领域占有非常重要的地位，同时它也是高中数学教学的重要内容，是普通高中学生学习的难点、教师教学的重点。本研究的目的在于分析出普通高中各年级学生对函数概念的理解程度，从而进一步探索出普通高中学生对函数概念理解程度的一般规律，期望能对函数概念的教与学提供借鉴。
1.函数概念的教学
在中学数学教学中，函数是最重要的概念之一，函数概念深刻反映了客观世界的运动变化与实际事物的量与量之间的依存关系，它告诉人们一切事物都在不断地变化着，而且相互联系、相互制约。因而函数概念是培养学生的辩证唯物主义观点、解决实际问题的有力工具。函数概念不仅与中学数学中的重要内容(如数、式、方程等)有密切联系，而且是近代数学的主要基础。由于函数思想充分体现了集合、对应、映射等基本数学思想，因而就使中学数学能接近数学科学的现代水平，进而使学生获得基本的深刻的有用的高等数学思想方法［１］。
关于函数与函数值函数的传统记号是f(x)或y=f(x)或f(x，y)=0，学生常常搞不清哪个是哪个的函数。如果设函数的集合为A，那么f(x)∈A所表示的是函数值属于A，这种表示就错了。同样y=f(x)∈A或f(x，y)=0∈A也是错的。我们所指的函数是f，记号f∈A才是正确的。函数f是指将f(x)指派给x，如lg是将lgx指派给x。
例1.f(x)=2x+1，求f(x-1)，f［f(x)］，并说明f(x)与f(x-1)是否为同一函数。
解：f(x-1)=2(x-1)+1=2x-1
f［f(x)］=2f(x)+1=2(2x+1)+1=4x+3
显然f(x)与f(x-1)不是同一函数，这里虽然定义域、值域都相同，但对于x来说，“对应法则”是完全不同的。
例2.已知y=f(x)的定义域为［0，1］的函数，求f(x-1)的定义域。
分析：f(x-1)中自变量应是“x”，而非“x-1”，因此求定义域，即求x的取值范围。
解：由已知0≤x-1≤1有1≤x≤2，
解之得1≤x≤或-≤x≤-1，
∴f(x-1)定义域为{x|1≤x≤或-≤x≤-1}。
例3.判定函数f(x)=1，f(x)=sinx+cosx二者是否为同一函数。
从形式上讲，无论如何也不能断言这两个函数相等;而从本质上讲，对于任意实数x，sinx+cosx=1又无可非议，因而f(x)=f(x)，所以不管对应法则如何千变万化，抓住函数概念的实质便不会产生理解上的歧义。又如函数f(x)=x，f(x)=是不同的两个函数。因此正确理解函数的概念，要从函数的三要素(定义域、值域、对应法则)入手，逐一考查。
2.函数性质的教学
研究函数的性质，不仅可以加深对函数的认识、理解、掌握，更重要的是可以利用函数的性质解决相关的数学问题［３］。对函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念，我们已经形成初步认识。在数学研究中，建立一个数学概念的意义就是揭示它的本质特征，即共同属性或不变属性，亦即“变中不变”的性质。作为教学活动的第一环节，课题的提出应该是自然的，学生容易产生共鸣。目前中学对这个内容普遍采用照字面意义讲解定义的方法，以教师讲解为主，虽然也有启发引导，但总体上缺少学生的主动活动，特别是缺少学生自己的思维构造，本质上是缺少一个“建构”的过程。其实，对于如何用探究的方法对“函数单调性”进行建构学习，让学生经历思维构造的过程，一些中学教师很关注，向往解决，并进行了尝试，但不尽人意，感觉较难处理，有待突破。
3.教学案例及分析
课例1：函数的单调性。
授课时间：2008年11月14日。
授课地点：攀枝花某中学高一(3)班。
教学目标：理解函数单调性的概念，把握函数单调性的实质;掌握判断和证明一些简单函数单调性的方法和步骤。
教学过程：
（1）启发引入阶段。
师：请同学们作出下列三个函数的图像：(1)y=-x；(2)y=|x-2|；(3)y=。(教师巡视)
(几分钟后，请两位学生画(1)，(2)和(3)的图像，请其他学生与黑板上的核对有什么不同。)
(2)阅读书本阶段。
师：对照书上给出的单调性定义，强调增函数、减函数是在区间上。而区间很重要，是自变量与函数值的关系。这里x，x的任意性是非常重要的。对照书本再看一下概念，单调区间。
（3）解疑、训练阶段。
例题讲解，证明函数f(x)=-x+1是R上的减函数。简析：这个课例比较明显地表现为一个学生学习的发现过程，比较多地表现为概念形成过程。教师呈现了一个观察三个函数的共性的问题情境，通过这个情境，引导学生认识函数单调性的本质。然后在这一理解与认识的基础之上给出书上的形式化定义，完善学生对于单调性的数学理解，并通过证明练习，巩固新知识的获得，整个过程设计得完整、合理，符合学生的认知与思维特点。
案例2：函数的概念。
授课地点：攀枝花某中学高一(3)班。
教学目标：
（1）知识与技能
①了解函数是特殊的数集之间的对应，理解函数的概念，了解构成函数的要素。
②了解“区间”“无穷大”等概念，掌握区间的符号表示。
（2）过程与方法
①进一步体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，能用集合与对应的语言刻画函数概念中的作用。
②通过现实事物本质，进行数学抽象与概括，重视其经历，总结经验，体会由具体逐步过渡到符号化、代数式化的数学思想。
（3）情感态度与价值观
①能对以往学过的知识理性化思考，对事物间的联系有一种数学化的思考。
②函数知识是学好数学后继知识的基础和工具，培养学生的抽象思维能力、渗透静与动的辩证唯物主义观点。
教学过程：
实例1：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，表中恩格尔系数随时问(年)变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。
从图表中的数据可以看出我国城镇居民家庭恩格尔系数在逐年减少。
4.结语
针对教学现状，结合函数历史，我认为中学函数教学应该加强以下几点。
(1)重视函数的概念教学
我国的教学一贯是注重运算推理与解题技能，而对知识的产生过程漠不关心，其结果只能是空中楼阁，所以我们应该重视函数的概念教学。调查结果表明，学生对函数的认识是多样的，历史上不同时期、不同的数学家的观点也是各不相同的，因此概念的教学还应该多样化［4］。例如在解决有关指数函数、对数函数的定义域和值域的问题时，采用“变量”观点给出的定义，这样便于突出y随x的变化情况;在讲述反函数概念时，应采用“解析式”观点给出的定义，以显示原函数和反函数在定义域、值域、对应法则上的联系;在引入一些特殊的函数时(如问题4中的D)，使用“映射”观点给出的定义;在处理关于函数的单调性、对称性、周期性等综合性问题时，不妨借助于图形，使用“图像”观点给出的定义［5］。
(2)丰富和修正学生的函数表象
由于函数表象和函数定义的分离学生对函数的认识并不理想。学生在某场合是利用函数表象来处理问题的，而错误和狭隘的表象会给学生造成障碍。在教学中，我们应抛开课本和参考书的局限，尽可能多地让学生接触函数例子和相关问题(Clement，2001)，尤其在高中阶段对函数有了一定的认识之后。从历史上看，人们对函数概念的认识是通过一些具体函数来深化的，如柯西根据函数y=x(x≥0)-x(x＜0)和函数y=是同一函数而修改了前人的定义;狄里克雷也是由于发现了著名的狄里克雷函数而重新定义了函数。
(3)为学生提供充分的讨论机会
在历史上，函数概念正是在众多数学家的讨论和争辩中发展和完善的，一种定义、一个函数都要经过他人的检验和接受［6］。因此在正常教学的基础上，我们应当多创设机会，让学生对一些典型问题展开讨论，在讨论中明辨是非，巩固概念，全面地认识函数的各个方面。
(4)在教学中应用现代信息技术
教学与信息技术的整合势在必行，我国(至少是教育落后地区)在这方面差得很远，测试中没有一个学生能把函数看成是“加工机”或“程序”等，而国外早就有这方面的案例(Tall 1992;Kieran 1993)。利用图像对问题进行分析，或根据图像设计问题，这样对函数的图像教学及对函数的理解都会有帮助作用［7］。
(5)将函数的历史融入教学
历史对教学的作用己经受到关注，HPM研究方兴未艾。学生的函数定义与历史上的定义具有相似性，学生学习中遇到的疑惑在历史上也存在过，因此在函数的教学中，如果能恰当地融入历史，无疑会改善我们的教学［8］。
参考文献：
［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)［S］.北京：人民教育出版社，2003.
［2］张维忠.文化视野中的数学与数学教育［M］.北京：人民教育出版社，2005.
［3］张维忠，汪晓勤等.文化传统与数学教育现代化［M］.北京：北京大学出版社，2006.
［4］徐永忠.“阅读材料”教学现状分析与建议［J］.数学通报，2004，4.
［5］尚志，孔启平.培养学生的应用意识是数学课程的目标［J］.数学教育学报，2002，11（2）：43-44.
［6］林全.我国数学课程改革的新发展［J］.中学数学研，2000，（5）：1-2.
［7］刘晓玫，杨裕前.关于推理能力问题的几点思考［J］.数学教育学报，2002，11（2）：54-55.
［8］王光明.关于《国家数学课程标准初步设想》之意见.
1.函数概念的教学
在中学数学教学中，函数是最重要的概念之一，函数概念深刻反映了客观世界的运动变化与实际事物的量与量之间的依存关系，它告诉人们一切事物都在不断地变化着，而且相互联系、相互制约。因而函数概念是培养学生的辩证唯物主义观点、解决实际问题的有力工具。函数概念不仅与中学数学中的重要内容(如数、式、方程等)有密切联系，而且是近代数学的主要基础。由于函数思想充分体现了集合、对应、映射等基本数学思想，因而就使中学数学能接近数学科学的现代水平，进而使学生获得基本的深刻的有用的高等数学思想方法［１］。
关于函数与函数值函数的传统记号是f(x)或y=f(x)或f(x，y)=0，学生常常搞不清哪个是哪个的函数。如果设函数的集合为A，那么f(x)∈A所表示的是函数值属于A，这种表示就错了。同样y=f(x)∈A或f(x，y)=0∈A也是错的。我们所指的函数是f，记号f∈A才是正确的。函数f是指将f(x)指派给x，如lg是将lgx指派给x。
例1.f(x)=2x+1，求f(x-1)，f［f(x)］，并说明f(x)与f(x-1)是否为同一函数。
解：f(x-1)=2(x-1)+1=2x-1
f［f(x)］=2f(x)+1=2(2x+1)+1=4x+3
显然f(x)与f(x-1)不是同一函数，这里虽然定义域、值域都相同，但对于x来说，“对应法则”是完全不同的。
例2.已知y=f(x)的定义域为［0，1］的函数，求f(x-1)的定义域。
分析：f(x-1)中自变量应是“x”，而非“x-1”，因此求定义域，即求x的取值范围。
解：由已知0≤x-1≤1有1≤x≤2，
解之得1≤x≤或-≤x≤-1，
∴f(x-1)定义域为{x|1≤x≤或-≤x≤-1}。
例3.判定函数f(x)=1，f(x)=sinx+cosx二者是否为同一函数。
从形式上讲，无论如何也不能断言这两个函数相等;而从本质上讲，对于任意实数x，sinx+cosx=1又无可非议，因而f(x)=f(x)，所以不管对应法则如何千变万化，抓住函数概念的实质便不会产生理解上的歧义。又如函数f(x)=x，f(x)=是不同的两个函数。因此正确理解函数的概念，要从函数的三要素(定义域、值域、对应法则)入手，逐一考查。
2.函数性质的教学
研究函数的性质，不仅可以加深对函数的认识、理解、掌握，更重要的是可以利用函数的性质解决相关的数学问题［３］。对函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念，我们已经形成初步认识。在数学研究中，建立一个数学概念的意义就是揭示它的本质特征，即共同属性或不变属性，亦即“变中不变”的性质。作为教学活动的第一环节，课题的提出应该是自然的，学生容易产生共鸣。目前中学对这个内容普遍采用照字面意义讲解定义的方法，以教师讲解为主，虽然也有启发引导，但总体上缺少学生的主动活动，特别是缺少学生自己的思维构造，本质上是缺少一个“建构”的过程。其实，对于如何用探究的方法对“函数单调性”进行建构学习，让学生经历思维构造的过程，一些中学教师很关注，向往解决，并进行了尝试，但不尽人意，感觉较难处理，有待突破。
3.教学案例及分析
课例1：函数的单调性。
授课时间：2008年11月14日。
授课地点：攀枝花某中学高一(3)班。
教学目标：理解函数单调性的概念，把握函数单调性的实质;掌握判断和证明一些简单函数单调性的方法和步骤。
教学过程：
（1）启发引入阶段。
师：请同学们作出下列三个函数的图像：(1)y=-x；(2)y=|x-2|；(3)y=。(教师巡视)
(几分钟后，请两位学生画(1)，(2)和(3)的图像，请其他学生与黑板上的核对有什么不同。)
(2)阅读书本阶段。
师：对照书上给出的单调性定义，强调增函数、减函数是在区间上。而区间很重要，是自变量与函数值的关系。这里x，x的任意性是非常重要的。对照书本再看一下概念，单调区间。
（3）解疑、训练阶段。
例题讲解，证明函数f(x)=-x+1是R上的减函数。简析：这个课例比较明显地表现为一个学生学习的发现过程，比较多地表现为概念形成过程。教师呈现了一个观察三个函数的共性的问题情境，通过这个情境，引导学生认识函数单调性的本质。然后在这一理解与认识的基础之上给出书上的形式化定义，完善学生对于单调性的数学理解，并通过证明练习，巩固新知识的获得，整个过程设计得完整、合理，符合学生的认知与思维特点。
案例2：函数的概念。
授课地点：攀枝花某中学高一(3)班。
教学目标：
（1）知识与技能
①了解函数是特殊的数集之间的对应，理解函数的概念，了解构成函数的要素。
②了解“区间”“无穷大”等概念，掌握区间的符号表示。
（2）过程与方法
①进一步体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，能用集合与对应的语言刻画函数概念中的作用。
②通过现实事物本质，进行数学抽象与概括，重视其经历，总结经验，体会由具体逐步过渡到符号化、代数式化的数学思想。
（3）情感态度与价值观
①能对以往学过的知识理性化思考，对事物间的联系有一种数学化的思考。
②函数知识是学好数学后继知识的基础和工具，培养学生的抽象思维能力、渗透静与动的辩证唯物主义观点。
教学过程：
实例1：国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，表中恩格尔系数随时问(年)变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。
从图表中的数据可以看出我国城镇居民家庭恩格尔系数在逐年减少。
4.结语
针对教学现状，结合函数历史，我认为中学函数教学应该加强以下几点。
(1)重视函数的概念教学
我国的教学一贯是注重运算推理与解题技能，而对知识的产生过程漠不关心，其结果只能是空中楼阁，所以我们应该重视函数的概念教学。调查结果表明，学生对函数的认识是多样的，历史上不同时期、不同的数学家的观点也是各不相同的，因此概念的教学还应该多样化［4］。例如在解决有关指数函数、对数函数的定义域和值域的问题时，采用“变量”观点给出的定义，这样便于突出y随x的变化情况;在讲述反函数概念时，应采用“解析式”观点给出的定义，以显示原函数和反函数在定义域、值域、对应法则上的联系;在引入一些特殊的函数时(如问题4中的D)，使用“映射”观点给出的定义;在处理关于函数的单调性、对称性、周期性等综合性问题时，不妨借助于图形，使用“图像”观点给出的定义［5］。
(2)丰富和修正学生的函数表象
由于函数表象和函数定义的分离学生对函数的认识并不理想。学生在某场合是利用函数表象来处理问题的，而错误和狭隘的表象会给学生造成障碍。在教学中，我们应抛开课本和参考书的局限，尽可能多地让学生接触函数例子和相关问题(Clement，2001)，尤其在高中阶段对函数有了一定的认识之后。从历史上看，人们对函数概念的认识是通过一些具体函数来深化的，如柯西根据函数y=x(x≥0)-x(x＜0)和函数y=是同一函数而修改了前人的定义;狄里克雷也是由于发现了著名的狄里克雷函数而重新定义了函数。
(3)为学生提供充分的讨论机会
在历史上，函数概念正是在众多数学家的讨论和争辩中发展和完善的，一种定义、一个函数都要经过他人的检验和接受［6］。因此在正常教学的基础上，我们应当多创设机会，让学生对一些典型问题展开讨论，在讨论中明辨是非，巩固概念，全面地认识函数的各个方面。
(4)在教学中应用现代信息技术
教学与信息技术的整合势在必行，我国(至少是教育落后地区)在这方面差得很远，测试中没有一个学生能把函数看成是“加工机”或“程序”等，而国外早就有这方面的案例(Tall 1992;Kieran 1993)。利用图像对问题进行分析，或根据图像设计问题，这样对函数的图像教学及对函数的理解都会有帮助作用［7］。
(5)将函数的历史融入教学
历史对教学的作用己经受到关注，HPM研究方兴未艾。学生的函数定义与历史上的定义具有相似性，学生学习中遇到的疑惑在历史上也存在过，因此在函数的教学中，如果能恰当地融入历史，无疑会改善我们的教学［8］。
参考文献：
［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)［S］.北京：人民教育出版社，2003.
［2］张维忠.文化视野中的数学与数学教育［M］.北京：人民教育出版社，2005.
［3］张维忠，汪晓勤等.文化传统与数学教育现代化［M］.北京：北京大学出版社，2006.
［4］徐永忠.“阅读材料”教学现状分析与建议［J］.数学通报，2004，4.
［5］尚志，孔启平.培养学生的应用意识是数学课程的目标［J］.数学教育学报，2002，11（2）：43-44.
［6］林全.我国数学课程改革的新发展［J］.中学数学研，2000，（5）：1-2.
［7］刘晓玫，杨裕前.关于推理能力问题的几点思考［J］.数学教育学报，2002，11（2）：54-55.
［8］王光明.关于《国家数学课程标准初步设想》之意见.