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行程问题是初中数学教学中常见的一类应用题。过去的教学中往往要求学生死记行程问题各种类型的基本解法，严重妨碍了学生思维的发展。事实上，某些较为复杂的行程问题，如有些数学竞赛题，往往数量关系不明，难以建立等量关系，此时如按常规方法列方程求解，往往陷于困境之中，难以奏效。如果我们通过建立一次函数模型，则可将隐藏于文字中的数量关系，利用函数图象直观地显现出来。这就为解决复杂的行程问题提供了一条有效的思考方法和解题途径，同时也有利于促进学生思维发展，培养学生综合运用知识分析问题和解决问题的能力。请看下面例子。
例1. 一帆船从A地到B地，若每小时加快6海里，可以提前3小时到达；若每小时减慢3海里，则要迟2小时40分到达。求原规定帆船航行所需的时间和帆船的速度。
解：设帆船航行时间为t，帆船航行的速度为v，帆船离开A地距离为y，则帆船航行的函数关系式为y=vt，由题意可画出函数图象（如图1）。设原规定帆船航行所需时间为t0小时，帆船的速度为v0海里/时，则
当v=v0+6时，y1=（v0+6）（t0-3）①
当v=v0时，y2=v0t②
当v=v0-3时，y3=（v0-3）（t+2.4）③
∵y1=y2=y3
由①②③，求得t0=12，v0=18。
答：原规定帆船航行所需的时间为12小时，帆船的速度为18海里/小时。
例2. 甲乙两人分别从相距25千米的A、B两地同时相向而行。甲步行每小时行5千米，乙骑自行车每小时行15千米，乙到达A地后立即原路返回，当乙追到甲时，离开A地的距离是多少？
解：设他们所行的时间为x小时，乙在D地追到甲，设D地到A地的距离为y千米，由题意，可画出y与x的函数关系式的图象（如图2）。
乙从B地到A地的时间为 = 小时，则乙的函数图象经过点（0，25），则过点C（ ，0）的直线BC的解析式为y1=15x+25，故有直线CD的解析式为y2=15x-25。而甲的直线AD解析式为y3=5x，当乙追到甲时，则y2=y3。
∴15x-25=5x x=y=12.5
例3. 快中慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。这三辆车分别用6分、10分、12分追上骑车人，现知道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，那么慢车每小时走多少千米？
解：考虑到快、中、慢车出发时与骑车人的距离相同，记为S0。若设慢车速度为V3，由题意可画出快、中、慢三辆车及骑车人的行程与时间的函数关系式，图象分别是m1、m2、m3、m4。如图，则可设快车的函数关系式为y1=24t，中车函数关系式为y2=20t，慢车的函数关系式为y3=V3 t，骑车人的函数关系式为y4=V4 t+s。
故当t=6小时，则y1=144
∴p1（6，144）
当t=10小时，则y2=200
∴p2（10，200）
则求得经过点p1、p2直线的解析式为y1=14t+60
V3=19，即慢车每小时走19千米。
例4. 一巡逻艇和一货轮的速度分别为100km/时和20km/时，巡逻艇不停地往返于A、B两港巡逻（巡逻艇调头的时间忽略不计），（1）货轮从A港口出发以后直到B港口与巡逻艇一共相遇几次？（2）出发多少时间，巡逻艇与货轮第三次相遇，此时离A港口多少千米？
解：（1）由题意可画出巡逻艇（实线）、货轮（虚线）行驶路程与时间关系图象。如图4所示，它们的图象有四个交点（不包括原点），因而货轮从A港口出发直到B港口与巡逻艇一共相遇4次。
（2）先观察出第三次相遇在图中是哪两条直线的交点，如图4，设DE所在直线的方程为y=kx+b，又D（3，100），E（4，0），代入求得k=-100，b=400，故有y=-100x+400。
又OF所在直线的方程为y=20x，联系得
y=-100x+400y=20x解得 x= y=
∴出发10时，巡逻艇与货轮第三次相遇，这时离港口200km。
以上各题，巧妙地将行程问题转化为一次函数的图象问题，思路清晰，关系明了，使我们看到了数形结合的威力，使看似复杂的行程问题利用图象很直观地获得了解决。数形结合是一种提高数学特点的信息转换，它能使抽象思维和形象思维相互作用，实现数量关系与图象性质相互转化，是一种将抽象的数量关系和直观图象结合起来研究数学问题的基本方法。教学中要有意识地渗透数学思想方法，培养学生运用数学思想方法分析问题和解决问题的能力。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
例1. 一帆船从A地到B地，若每小时加快6海里，可以提前3小时到达；若每小时减慢3海里，则要迟2小时40分到达。求原规定帆船航行所需的时间和帆船的速度。
解：设帆船航行时间为t，帆船航行的速度为v，帆船离开A地距离为y，则帆船航行的函数关系式为y=vt，由题意可画出函数图象（如图1）。设原规定帆船航行所需时间为t0小时，帆船的速度为v0海里/时，则
当v=v0+6时，y1=（v0+6）（t0-3）①
当v=v0时，y2=v0t②
当v=v0-3时，y3=（v0-3）（t+2.4）③
∵y1=y2=y3
由①②③，求得t0=12，v0=18。
答：原规定帆船航行所需的时间为12小时，帆船的速度为18海里/小时。
例2. 甲乙两人分别从相距25千米的A、B两地同时相向而行。甲步行每小时行5千米，乙骑自行车每小时行15千米，乙到达A地后立即原路返回，当乙追到甲时，离开A地的距离是多少？
解：设他们所行的时间为x小时，乙在D地追到甲，设D地到A地的距离为y千米，由题意，可画出y与x的函数关系式的图象（如图2）。
乙从B地到A地的时间为 = 小时，则乙的函数图象经过点（0，25），则过点C（ ，0）的直线BC的解析式为y1=15x+25，故有直线CD的解析式为y2=15x-25。而甲的直线AD解析式为y3=5x，当乙追到甲时，则y2=y3。
∴15x-25=5x x=y=12.5
例3. 快中慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。这三辆车分别用6分、10分、12分追上骑车人，现知道快车每小时走24千米，中车每小时走20千米，那么慢车每小时走多少千米？
解：考虑到快、中、慢车出发时与骑车人的距离相同，记为S0。若设慢车速度为V3，由题意可画出快、中、慢三辆车及骑车人的行程与时间的函数关系式，图象分别是m1、m2、m3、m4。如图，则可设快车的函数关系式为y1=24t，中车函数关系式为y2=20t，慢车的函数关系式为y3=V3 t，骑车人的函数关系式为y4=V4 t+s。
故当t=6小时，则y1=144
∴p1（6，144）
当t=10小时，则y2=200
∴p2（10，200）
则求得经过点p1、p2直线的解析式为y1=14t+60
V3=19，即慢车每小时走19千米。
例4. 一巡逻艇和一货轮的速度分别为100km/时和20km/时，巡逻艇不停地往返于A、B两港巡逻（巡逻艇调头的时间忽略不计），（1）货轮从A港口出发以后直到B港口与巡逻艇一共相遇几次？（2）出发多少时间，巡逻艇与货轮第三次相遇，此时离A港口多少千米？
解：（1）由题意可画出巡逻艇（实线）、货轮（虚线）行驶路程与时间关系图象。如图4所示，它们的图象有四个交点（不包括原点），因而货轮从A港口出发直到B港口与巡逻艇一共相遇4次。
（2）先观察出第三次相遇在图中是哪两条直线的交点，如图4，设DE所在直线的方程为y=kx+b，又D（3，100），E（4，0），代入求得k=-100，b=400，故有y=-100x+400。
又OF所在直线的方程为y=20x，联系得
y=-100x+400y=20x解得 x= y=
∴出发10时，巡逻艇与货轮第三次相遇，这时离港口200km。
以上各题，巧妙地将行程问题转化为一次函数的图象问题，思路清晰，关系明了，使我们看到了数形结合的威力，使看似复杂的行程问题利用图象很直观地获得了解决。数形结合是一种提高数学特点的信息转换，它能使抽象思维和形象思维相互作用，实现数量关系与图象性质相互转化，是一种将抽象的数量关系和直观图象结合起来研究数学问题的基本方法。教学中要有意识地渗透数学思想方法，培养学生运用数学思想方法分析问题和解决问题的能力。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”