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中图分类号：G420
中学教学中，很多教师对数学知识及理论存在诸多认识误区，因此课堂教学也会产生一些问题。本文将以“概率”为例介绍两个相关的教学案例。有些问题的产生与目前的整体环境有关，有些则属于教师的认识和水平问题。最后我们提出一些初步的参考建议。
高中数学课程标准指出：教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。但是在实际教学当中，这一点却被很多教师及学生忽略了。
案例1： 某位教师任教两个班级，一个是重点实验班，一个是普通平行班。在一次测试中，其中一道几何概型的问题，重点班的出错率居然高出普通平行班。对于同一个教师任教不应出现这样反常的现象。经过仔细分析原因，发现重点班的学生解题时并不重视从基本概念出发先去分析基本时间空间再去求解，而是想当然直接利用几何概型公式去做除法。
出现这样的结果，按照那位教师的体会，主要有两个原因。
一是上课时，老师要求先写出基本事件空间和所求事件，再求概率。而重点班学生由于反映快，思维敏捷，往往直接跳过这个环节而直接写结果。而普通班学生一直按老师要求，能够按部就班认真去写基本事件空间及所求事件，恰恰不易出错。
另一个原因是重点班学生由于解题速度快，额外接触了很多教辅资料。而新课改实施时间短，并没有太多与之配套的教辅材料，大部分仍是按旧教材进行编著的，里面含有很多在计数上设置技巧和障碍的题目。时间长了，对基本事件的分析过程反而被忽略了，概率问题也就逐渐变成计数问题。这样，对基本概念的理解越来越被学生所忽视，他们更多的是套用公式想当然去解题。
以上案例也许可以让我们意识到在"概率"（其实包括整个数学）的教与学当中，对基本概念的理解的重要性。
某文中指出：深刻理解基本概念是学懂数学知识的关键。但由于受既定的教学模式的影响，在急于求成的心态下，教师的教学和学生的学习却过多的侧重在形式化的解题方法和人为设置的技巧训练上，而相对比较重要的基本概念却被忽视了。导致绝大多数学生将学习数学的过程变成了形式化的解题过程。这不仅使数学脱离了的实际背景，而且当学生遇到比较复杂的问题时，思维就更容易陷于混乱之中了。其中尤以概率教学中存在的问题显得更为严重。
这说明在教学中应切实抓好概念教学，认真对概念进行分析与理解，熟练运用基本概念分析数学问题，有利于提高学生分析问题解决问题的能力，又能获得良好的教学效果。
除了基本概念的理解对解题至关重要之外，对于题意本身的理解也是非常重要的，这就要求题目表述要清晰以及要有教师的正确引导。但是，以下这个案例所出现的情况在我们实际教学当中可能不时会发生。
案例2： 某位学生对某题的设问产生疑问，认为教师（和教辅材料上给出的）解答有误，并说明自己的理解。但是教师坚持自己的观点，其他同学也认同教师的观点，甚至这位学生的看法遭到其他同学的哄笑。
难道真的是这位同学理解错误吗？我们一起来看看此题的叙述。题目叙述：
甲、乙两人约定在下午1时到2时之间到某站乘公共汽车，又这段时间内有四班公共汽车，它们的开车时刻分别为1：15、1：30、1：45、2：00。如果他们约定（1）见车就乘；（2）最多等一辆车，求甲、乙同乘一车的概率。假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在1时到2时的任何时刻到达车站是等可能的。
这位学生认为：“这两个约定是矛盾的，如果见车就乘，那么就不可能再等一辆车。也就是说两个条件没法一起用。” 但是老师说：“第二个约定包含第一个约定的情况，所以就相当于只有第二个约定。”答案也是按照第二个约定做的。
我们看看两种不同的理解到底哪个更有道理呢？笔者认为，这位同学的意见不无道理。所求的概率必须满足两个前提，即约定（1）与（2）。约定（1）的意思是见车就上，不要等。约定（2）的意思是可以见车就上，也可以等一辆车再上。要想同时满足这两条，乘车的人无法操作，因为不可能同时既乘车又等车。所以这两个约定确实无法同时满足，是相互矛盾的。所以此题的困惑是由于题目表述不清，造成了逻辑混乱引起的。如果一定要按此题去做，也应按照约定（1）去解答，这样才能同时符合两个要求。但如果是这样，约定（2）就没用了。不过，可以将此题改成两个问或是将意思表述再清晰完整些，这样就不会造成学生的误解了。
但是，上面的例子，也让我们不得不思考教师在教学中的做法是否得当。很多时候教师所说的并不都是对的，教师不能把自身的见解强加于学生身上，让自己的错误理解也影响到学生。另外，对于题设条件的思考，教师的思考应该再细致深入些，如发现题设不明的题或是逻辑错乱的题，可以提前将它纠正。另外，对于学生的疑问教师也应慎重考虑，不能全盘否定，以免影响学生的学习积极性。
通过对以上案例的分析，让我们意识到在实际教学中，有很多值得大家注意的问题，这里仅给出个人的两点看法。
第一、认真研究教材在内容上的编排顺序，避免自以为是。依据新课程标准编写的新教材与依据教学大纲编写的旧教材相比较，最大的区别在于内容的安排顺序不同。尤其是“概率”这一章，旧教材以古典概型为主，学生先学习排列组合的知识，学会计算大量的排列组合的问题以后，再引入概率。而新教材在内容编排上不仅仅增加了几何概型的内容，更重要的是增加了关于基本事件空间（即样本空间）的教学内容，而排列组合的内容安排在选修部分中，不讲排列组合直接讲概率。
前者即使在讲概率的时候，学生的注意力仍放在了求组合数和排列数上，而不在于他对随机思想的理解，这样实际上淹没了教师对随机思想的渗透。而后者让学生真正地去体会如何将随机现象抽象为数学对象，理解好概率的基本定义。教师应认真思考体会编者的意图。在教学过程中应当避免忽视新教材的编排顺序，按旧教材去讲新教材，把概率内容处理成纯计算的内容。要充分发挥新教材的优势，就要在教学实践中，重视基本概念的理解，以免造成学生认知上的障碍，思维上的混乱。
第二、教师认识水平需提高。并不是高中教学就仅需要高中知识就够了。对于相关知识的更高理论解释，教师也应了解或是深刻理解。如果教师能对概率概念的发展历史、发展过程中产生的争论、概率的几种定义方式以及它们之间的联系有很深刻的认识。那么上述具体问题就相对容易解决，也不会造成误解了。因此，教师一定要努力提升自身水平，站在更高的层面上理解高中知识。在教学时，有些知识不一定要让学生理解到很深的程度，但是教师必须要很清楚，这样才能对所给问题有更清晰的认识，教师在教学时也更能游刃有余，学生的学习效果也更理想些。
对于新课程下的高中数学课堂教学，有很多问题值得我们进一步思考。教学方式的改变固然重要，但是，我想教师思考问题的角度及思想观念的更新以及自身专业知识的提升也显得尤为重要。
中学教学中，很多教师对数学知识及理论存在诸多认识误区，因此课堂教学也会产生一些问题。本文将以“概率”为例介绍两个相关的教学案例。有些问题的产生与目前的整体环境有关，有些则属于教师的认识和水平问题。最后我们提出一些初步的参考建议。
高中数学课程标准指出：教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。但是在实际教学当中，这一点却被很多教师及学生忽略了。
案例1： 某位教师任教两个班级，一个是重点实验班，一个是普通平行班。在一次测试中，其中一道几何概型的问题，重点班的出错率居然高出普通平行班。对于同一个教师任教不应出现这样反常的现象。经过仔细分析原因，发现重点班的学生解题时并不重视从基本概念出发先去分析基本时间空间再去求解，而是想当然直接利用几何概型公式去做除法。
出现这样的结果，按照那位教师的体会，主要有两个原因。
一是上课时，老师要求先写出基本事件空间和所求事件，再求概率。而重点班学生由于反映快，思维敏捷，往往直接跳过这个环节而直接写结果。而普通班学生一直按老师要求，能够按部就班认真去写基本事件空间及所求事件，恰恰不易出错。
另一个原因是重点班学生由于解题速度快，额外接触了很多教辅资料。而新课改实施时间短，并没有太多与之配套的教辅材料，大部分仍是按旧教材进行编著的，里面含有很多在计数上设置技巧和障碍的题目。时间长了，对基本事件的分析过程反而被忽略了，概率问题也就逐渐变成计数问题。这样，对基本概念的理解越来越被学生所忽视，他们更多的是套用公式想当然去解题。
以上案例也许可以让我们意识到在"概率"（其实包括整个数学）的教与学当中，对基本概念的理解的重要性。
某文中指出：深刻理解基本概念是学懂数学知识的关键。但由于受既定的教学模式的影响，在急于求成的心态下，教师的教学和学生的学习却过多的侧重在形式化的解题方法和人为设置的技巧训练上，而相对比较重要的基本概念却被忽视了。导致绝大多数学生将学习数学的过程变成了形式化的解题过程。这不仅使数学脱离了的实际背景，而且当学生遇到比较复杂的问题时，思维就更容易陷于混乱之中了。其中尤以概率教学中存在的问题显得更为严重。
这说明在教学中应切实抓好概念教学，认真对概念进行分析与理解，熟练运用基本概念分析数学问题，有利于提高学生分析问题解决问题的能力，又能获得良好的教学效果。
除了基本概念的理解对解题至关重要之外，对于题意本身的理解也是非常重要的，这就要求题目表述要清晰以及要有教师的正确引导。但是，以下这个案例所出现的情况在我们实际教学当中可能不时会发生。
案例2： 某位学生对某题的设问产生疑问，认为教师（和教辅材料上给出的）解答有误，并说明自己的理解。但是教师坚持自己的观点，其他同学也认同教师的观点，甚至这位学生的看法遭到其他同学的哄笑。
难道真的是这位同学理解错误吗？我们一起来看看此题的叙述。题目叙述：
甲、乙两人约定在下午1时到2时之间到某站乘公共汽车，又这段时间内有四班公共汽车，它们的开车时刻分别为1：15、1：30、1：45、2：00。如果他们约定（1）见车就乘；（2）最多等一辆车，求甲、乙同乘一车的概率。假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在1时到2时的任何时刻到达车站是等可能的。
这位学生认为：“这两个约定是矛盾的，如果见车就乘，那么就不可能再等一辆车。也就是说两个条件没法一起用。” 但是老师说：“第二个约定包含第一个约定的情况，所以就相当于只有第二个约定。”答案也是按照第二个约定做的。
我们看看两种不同的理解到底哪个更有道理呢？笔者认为，这位同学的意见不无道理。所求的概率必须满足两个前提，即约定（1）与（2）。约定（1）的意思是见车就上，不要等。约定（2）的意思是可以见车就上，也可以等一辆车再上。要想同时满足这两条，乘车的人无法操作，因为不可能同时既乘车又等车。所以这两个约定确实无法同时满足，是相互矛盾的。所以此题的困惑是由于题目表述不清，造成了逻辑混乱引起的。如果一定要按此题去做，也应按照约定（1）去解答，这样才能同时符合两个要求。但如果是这样，约定（2）就没用了。不过，可以将此题改成两个问或是将意思表述再清晰完整些，这样就不会造成学生的误解了。
但是，上面的例子，也让我们不得不思考教师在教学中的做法是否得当。很多时候教师所说的并不都是对的，教师不能把自身的见解强加于学生身上，让自己的错误理解也影响到学生。另外，对于题设条件的思考，教师的思考应该再细致深入些，如发现题设不明的题或是逻辑错乱的题，可以提前将它纠正。另外，对于学生的疑问教师也应慎重考虑，不能全盘否定，以免影响学生的学习积极性。
通过对以上案例的分析，让我们意识到在实际教学中，有很多值得大家注意的问题，这里仅给出个人的两点看法。
第一、认真研究教材在内容上的编排顺序，避免自以为是。依据新课程标准编写的新教材与依据教学大纲编写的旧教材相比较，最大的区别在于内容的安排顺序不同。尤其是“概率”这一章，旧教材以古典概型为主，学生先学习排列组合的知识，学会计算大量的排列组合的问题以后，再引入概率。而新教材在内容编排上不仅仅增加了几何概型的内容，更重要的是增加了关于基本事件空间（即样本空间）的教学内容，而排列组合的内容安排在选修部分中，不讲排列组合直接讲概率。
前者即使在讲概率的时候，学生的注意力仍放在了求组合数和排列数上，而不在于他对随机思想的理解，这样实际上淹没了教师对随机思想的渗透。而后者让学生真正地去体会如何将随机现象抽象为数学对象，理解好概率的基本定义。教师应认真思考体会编者的意图。在教学过程中应当避免忽视新教材的编排顺序，按旧教材去讲新教材，把概率内容处理成纯计算的内容。要充分发挥新教材的优势，就要在教学实践中，重视基本概念的理解，以免造成学生认知上的障碍，思维上的混乱。
第二、教师认识水平需提高。并不是高中教学就仅需要高中知识就够了。对于相关知识的更高理论解释，教师也应了解或是深刻理解。如果教师能对概率概念的发展历史、发展过程中产生的争论、概率的几种定义方式以及它们之间的联系有很深刻的认识。那么上述具体问题就相对容易解决，也不会造成误解了。因此，教师一定要努力提升自身水平，站在更高的层面上理解高中知识。在教学时，有些知识不一定要让学生理解到很深的程度，但是教师必须要很清楚，这样才能对所给问题有更清晰的认识，教师在教学时也更能游刃有余，学生的学习效果也更理想些。
对于新课程下的高中数学课堂教学，有很多问题值得我们进一步思考。教学方式的改变固然重要，但是，我想教师思考问题的角度及思想观念的更新以及自身专业知识的提升也显得尤为重要。