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一、 函数性质与数列问题
【例1】
定义在R上的函数f(x)，对任意实数x∈R，都有f(x+3)≤f(x)+3，f(x+2)≥f(x)+2成立，且f(1)=2,若an=f(n)(n∈N*),则a2 012= .
分析
先根据题意利用夹逼原理求出f(x+1)=f(x)+1，再由an=f(n)，f(x+1)=f(x)+1知道数列{an}的递推关系，又由f(1)=2，可以判断数列{an}是等差数列，通过等差数列的定义，求出其通项公式，从而求得a2 012的值。
解
∵对任意实数x∈R，都有f(x+3)≤f(x)+3和f(x+2)≥f(x)+2成立，
∴f(x)+4≤f(x+2)+2≤f(x+4)≤f(x+1)+3≤f(x+3)+1≤f(x)+4，
即f(x)+1≤f(x+1)≤f(x)+1，所以f(x+1)=f(x)+1，又因为an=f(n)，所以an+1=an+1，a1=2，所以数列{an}是等差数列，所以a2 012=2 013.
点拨
寻找函数f(x)的表达式，和函数f(x)与f(x+1)的关系是解决本题的关键。
总结
对于含有f(x)与f(x+1)等的关系式（不等式）的试题，一般是寻找一个递推关系，然后转化为数列求解。
二、 函数中的新定义问题
【例2】 设f(x)是定义在［0,1］上的函数，若存在x0∈(0,1)，使得f(x)在［0,x0］上单调递增，在［x0,1］上单调递减，则称f(x)为［0,1］上的单峰函数，x0为峰点，包含峰点的区间为含峰区间.对任意的［0,1］上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法.
（1） 证明：对任意的x1,x2∈(0,1)，x1 （2） 对给定的r(0
分析
本题新定义了一个单峰函数，其实质是一个函数的单调性问题，因此可以利用函数的单调性知识求解。
解
(1) 证明:设x0为f(x)的峰点,则由单峰函数定义可知,f(x)在［0,x0］上单调递增,在［x0,1］上单调递减,当f(x1)≥f(x2)时,假设x0(0,x2),则x1 从而f(x0)≥f(x2)>f(x1),这与f(x1)≥f(x2)矛盾,所以x0∈(0,x2),即(0,x2)为含峰区间.当f(x1)≤f(x2)时,假设x0(x1,1),则x0≤x1f(x2),这与f(x1)≤f(x2)矛盾,所以x0∈(x1,1),即(x1,1)为含峰区间.
（2） 证明：由(1)的结论可知:
当f(x1)≥f(x2)时,含峰区间的长度为l1=x2；
当f(x1)≤f(x2)时,含峰区间的长度为l2=1-x1.
对于上述两种情况，由题意得x2≤0.5+r，
1-x1≤0.5+r， ①
由①得1+x2-x1≤1+2r,即x2-x1≤2r，
又因为x2-x1≥2r，所以x2-x1=2r.②
将②代入①得x1≤0.5-r，x2≥0.5+r，③
由①和③解得x1＝0.5-r，x2＝0.5+r，所以这时含峰区间的长度l1=l2=0.5+r，
即存在x1,x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r．
点拨
理解区间长度的概念，利用单调性结合分类讨论的数学思想，就可以使问题得到解决。
总结
当一个问题从正面不容易求解时，我们可以考虑从问题的反面思考，也就是利用反证法的方法解决问题。
三、 新定义的分段函数
【例3】 对x∈R，定义sgn(x)=1,x>0，
0,x=0，
-1,x<0．
（1） 求方程x2-3x+1=sgn(x)的根；
（2） 求函数f(x)=sgn(x-2)•(x-lnx)的单调区间；
（3） 记点集S={(x,y)|xsgn(x-1)•ysgn(y-1)=10,x>0,y>0}，点集T={(lgx,lgy)|(x,y)∈S}，求点集T围成的区域的面积．
分析
理解函数sgn(x)的含义就是一个分段函数，从而分x的不同情况进行分类讨论，而点集合S的理解，也是由x,y的范围确定的，因此也要对x,y的情况进行分类。
解
（1） 当x>0时，sgn(x)=1，解方程x2-3x+1=1，得x=0（舍）或x=3；
当x=0时，sgn(x)=0，0不是方程x2-3x+1=0的解；
当x<0时，sgn(x)=-1，解方程x2-3x+1=-1，得x=1（舍）或x=2（舍）.
综上所述，x=3是方程x2-3x+1=sgn(x)的根.
（2） 函数f(x)的定义域是{x|x>0}，
当x>2时，f(x)=x-lnx，f′(x)=1-1x>0恒成立；
当0 解f′(x)>0得0 综上所述，函数f(x)=sgn(x-2)•(x-lnx)的单调增区间是(0,1),(2,+∞)，
单调减区间是(1,2).
（3） 设点P(x,y)∈T，则(10x,10y)∈S．
于是有(10x)sgn(10x-1)•(10y)sgn(10y-1)=10，得x•sgn(10x-1)+y•sgn(10y-1
)=1.
当x>0时，10x-1>0,sgn(10x-1)=1,xsgn(10x-1)=x；
当x<0时，10x-1<0,sgn(10x-1)=-1,xsgn(10x-1)=-x.
∴xsgn(10x-1)=|x|，同理，ysgn(10y-1)=|y|，∴T={(x,y)||x|+|y|=1}.
点集T围成的区域是一个边长为2的正方形，面积为2．
点拨
函数sgn(x)的值与x的正负有关，这就决定了本题必须对x的不同情况进行分类讨论，从而使得问题得到解决。
总结
对于分段函数的处理方法，一般是采取分类讨论的手法，分不同的情况逐一解决。
牛刀小试
1． 对实数a和b，定义运算“”：ab=a,(a-b≤1)，
b,(a-b>1).
设函数f(x)=(x2-2)(x-x2)，其中x∈R，若y=f(x)-c的图象与x轴恰好有两个公共点，则实数c的取值范围是 ．
2. 已知偶函数f:Z→Z满足f(1)=1,f(2 011)≠1，对于任意的a,b∈Z，都有f(a+b)≤max{f(a),f(b)}（注意：max{x,y}表示x,y中的较大者），则f(2 012)的值为 ．
3. 对于函数f(x)，若在其定义域内存在两个实数a，b(a＜b)，使当x∈［a，b］时，f(x)的值域也是［a，b］，则称函数f(x)为“科比函数”.若函数
f(x)=k+x+2
是“科比函数”，则实数k的取值范围 ．
【参考答案】
1. 由x2-2-(x-x2)-1=2x2-x-3=(2x-3)(x+1)，所以当x>32或x<-1时，x2-2-(x-x2)-1>0，即x2-2-(x-x2)>1；当-1≤x≤32时，即
x2-2-(x-x2)≤1，
所以f(x)=x2-2,-1≤x≤32.x-x2,x>32或x<-1.
由y=f(x)-c=0得到f(x)=c，分别作出y=f(x)和y=c的图象，结合图象可知当c≤-2或-1
2. f(n+1)≤max{f(1),f(n)}，又f(1)≤max{f(n+1),f(-n)}=max{f(n+1),f(n)}，又因为f(1)=1，所以f(n),f(n+1)中至少有一个为1，因为f(2 011)≠1，所以f(2 012)=1.
3. 由题意知若函数
f(x)=k+x+2
是“科比函数”,则必存在
当x∈［a,b］(a≥-2)时,f(x) 的值域也是［a,b］,因为f(x)是单调递增函数，所以k+a+2=a且k+b+2=b,从而可知a,b为方程k+x+2=x的两个不等根,整理得x+2=x-k,令y1=x+2(x≥-2),y2=x-k(x≥-2),当相切时得k=-94；当直线y2=x-k过点(-2,0)时得k=-2,故由图可知实数k的取值范围为-2,-94.
（作者：顾向忠，启东市汇龙中学）
【例1】
定义在R上的函数f(x)，对任意实数x∈R，都有f(x+3)≤f(x)+3，f(x+2)≥f(x)+2成立，且f(1)=2,若an=f(n)(n∈N*),则a2 012= .
分析
先根据题意利用夹逼原理求出f(x+1)=f(x)+1，再由an=f(n)，f(x+1)=f(x)+1知道数列{an}的递推关系，又由f(1)=2，可以判断数列{an}是等差数列，通过等差数列的定义，求出其通项公式，从而求得a2 012的值。
解
∵对任意实数x∈R，都有f(x+3)≤f(x)+3和f(x+2)≥f(x)+2成立，
∴f(x)+4≤f(x+2)+2≤f(x+4)≤f(x+1)+3≤f(x+3)+1≤f(x)+4，
即f(x)+1≤f(x+1)≤f(x)+1，所以f(x+1)=f(x)+1，又因为an=f(n)，所以an+1=an+1，a1=2，所以数列{an}是等差数列，所以a2 012=2 013.
点拨
寻找函数f(x)的表达式，和函数f(x)与f(x+1)的关系是解决本题的关键。
总结
对于含有f(x)与f(x+1)等的关系式（不等式）的试题，一般是寻找一个递推关系，然后转化为数列求解。
二、 函数中的新定义问题
【例2】 设f(x)是定义在［0,1］上的函数，若存在x0∈(0,1)，使得f(x)在［0,x0］上单调递增，在［x0,1］上单调递减，则称f(x)为［0,1］上的单峰函数，x0为峰点，包含峰点的区间为含峰区间.对任意的［0,1］上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法.
（1） 证明：对任意的x1,x2∈(0,1)，x1
分析
本题新定义了一个单峰函数，其实质是一个函数的单调性问题，因此可以利用函数的单调性知识求解。
解
(1) 证明:设x0为f(x)的峰点,则由单峰函数定义可知,f(x)在［0,x0］上单调递增,在［x0,1］上单调递减,当f(x1)≥f(x2)时,假设x0(0,x2),则x1
（2） 证明：由(1)的结论可知:
当f(x1)≥f(x2)时,含峰区间的长度为l1=x2；
当f(x1)≤f(x2)时,含峰区间的长度为l2=1-x1.
对于上述两种情况，由题意得x2≤0.5+r，
1-x1≤0.5+r， ①
由①得1+x2-x1≤1+2r,即x2-x1≤2r，
又因为x2-x1≥2r，所以x2-x1=2r.②
将②代入①得x1≤0.5-r，x2≥0.5+r，③
由①和③解得x1＝0.5-r，x2＝0.5+r，所以这时含峰区间的长度l1=l2=0.5+r，
即存在x1,x2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r．
点拨
理解区间长度的概念，利用单调性结合分类讨论的数学思想，就可以使问题得到解决。
总结
当一个问题从正面不容易求解时，我们可以考虑从问题的反面思考，也就是利用反证法的方法解决问题。
三、 新定义的分段函数
【例3】 对x∈R，定义sgn(x)=1,x>0，
0,x=0，
-1,x<0．
（1） 求方程x2-3x+1=sgn(x)的根；
（2） 求函数f(x)=sgn(x-2)•(x-lnx)的单调区间；
（3） 记点集S={(x,y)|xsgn(x-1)•ysgn(y-1)=10,x>0,y>0}，点集T={(lgx,lgy)|(x,y)∈S}，求点集T围成的区域的面积．
分析
理解函数sgn(x)的含义就是一个分段函数，从而分x的不同情况进行分类讨论，而点集合S的理解，也是由x,y的范围确定的，因此也要对x,y的情况进行分类。
解
（1） 当x>0时，sgn(x)=1，解方程x2-3x+1=1，得x=0（舍）或x=3；
当x=0时，sgn(x)=0，0不是方程x2-3x+1=0的解；
当x<0时，sgn(x)=-1，解方程x2-3x+1=-1，得x=1（舍）或x=2（舍）.
综上所述，x=3是方程x2-3x+1=sgn(x)的根.
（2） 函数f(x)的定义域是{x|x>0}，
当x>2时，f(x)=x-lnx，f′(x)=1-1x>0恒成立；
当0
单调减区间是(1,2).
（3） 设点P(x,y)∈T，则(10x,10y)∈S．
于是有(10x)sgn(10x-1)•(10y)sgn(10y-1)=10，得x•sgn(10x-1)+y•sgn(10y-1
)=1.
当x>0时，10x-1>0,sgn(10x-1)=1,xsgn(10x-1)=x；
当x<0时，10x-1<0,sgn(10x-1)=-1,xsgn(10x-1)=-x.
∴xsgn(10x-1)=|x|，同理，ysgn(10y-1)=|y|，∴T={(x,y)||x|+|y|=1}.
点集T围成的区域是一个边长为2的正方形，面积为2．
点拨
函数sgn(x)的值与x的正负有关，这就决定了本题必须对x的不同情况进行分类讨论，从而使得问题得到解决。
总结
对于分段函数的处理方法，一般是采取分类讨论的手法，分不同的情况逐一解决。
牛刀小试
1． 对实数a和b，定义运算“”：ab=a,(a-b≤1)，
b,(a-b>1).
设函数f(x)=(x2-2)(x-x2)，其中x∈R，若y=f(x)-c的图象与x轴恰好有两个公共点，则实数c的取值范围是 ．
2. 已知偶函数f:Z→Z满足f(1)=1,f(2 011)≠1，对于任意的a,b∈Z，都有f(a+b)≤max{f(a),f(b)}（注意：max{x,y}表示x,y中的较大者），则f(2 012)的值为 ．
3. 对于函数f(x)，若在其定义域内存在两个实数a，b(a＜b)，使当x∈［a，b］时，f(x)的值域也是［a，b］，则称函数f(x)为“科比函数”.若函数
f(x)=k+x+2
是“科比函数”，则实数k的取值范围 ．
【参考答案】
1. 由x2-2-(x-x2)-1=2x2-x-3=(2x-3)(x+1)，所以当x>32或x<-1时，x2-2-(x-x2)-1>0，即x2-2-(x-x2)>1；当-1≤x≤32时，即
x2-2-(x-x2)≤1，
所以f(x)=x2-2,-1≤x≤32.x-x2,x>32或x<-1.
由y=f(x)-c=0得到f(x)=c，分别作出y=f(x)和y=c的图象，结合图象可知当c≤-2或-1
2. f(n+1)≤max{f(1),f(n)}，又f(1)≤max{f(n+1),f(-n)}=max{f(n+1),f(n)}，又因为f(1)=1，所以f(n),f(n+1)中至少有一个为1，因为f(2 011)≠1，所以f(2 012)=1.
3. 由题意知若函数
f(x)=k+x+2
是“科比函数”,则必存在
当x∈［a,b］(a≥-2)时,f(x) 的值域也是［a,b］,因为f(x)是单调递增函数，所以k+a+2=a且k+b+2=b,从而可知a,b为方程k+x+2=x的两个不等根,整理得x+2=x-k,令y1=x+2(x≥-2),y2=x-k(x≥-2),当相切时得k=-94；当直线y2=x-k过点(-2,0)时得k=-2,故由图可知实数k的取值范围为-2,-94.
（作者：顾向忠，启东市汇龙中学）