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在函数单调性的证明过程中，学生往往变形不够到位就忙于判断符号，结果导致不必要的错误发生.下面就几种不同类型函数单调性的证明，看看变形的方向.
一、多项式型
例1 （苏教版必修1 P43 第7题第（1）小题）求证：函数f(x)=-2x2+3在区间(-∞,0］上是单调增函数.
证明 设任意的x1,x2∈(-∞,0］，且x1 f(x1)-f(x2)=(-2x21+3)-(-2x22+3)=2(x22-x21)=2(x2+x1)(x2-x1).
∵x1,x2∈(-∞,0］,x1 ∴x2+x1<0，x2-x1>0，∴2(x2+x1)(x2-x1)<0，
∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1) ∴函数f(x)=-2x2+3在区间(-∞,0］上是单调增函数.
而学生往往在变形到“=2(x22-x21)”时就开始判断符号，“∵x1 二、分式型
例2 （苏教版必修1 P43 第7题第（4）小题）求证：函数f(x)=x+1x在区间(0,1］上是单调减函数，在区间［1,+∞)上是单调增函数.
证明 设任意的x1,x2∈(0,1］，且x1 f(x1)-f(x2)=x1+1x1-x2+1x2=(x1-x2)+1x1-1x2=(x1-x2)x1x2-1x1x2.
∵00，x1x2-1<0.
∴(x1-x2)(x1x2-1)x1x2>0，
∴f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
∴函数f(x)=x+1x在区间(0,1］上是单调减函数（在区间［1,+∞)上可仿照证明）.
学生在证明过程中，当变形到“=(x1-x2)+1x1-1x2”时就开始判断符号，有两个地方易犯错误：（1）由“x11x2”；（2）“x1-x2<0”，而“1x1-1x2>0”，式子“(x1-x2)+1x1-1x2”的符号如何确定？
像这种函数解析式中含有分式的，在变形时最好先通分，变成“积商”的形式再作判断.
三、根式型
例3 求证：函数f(x)=x-1在区间［1,+∞)上是单调增函数.
证明 设任意的x1,x2∈［1,+∞)，且x1 f(x1)-f(x2)=x1-1-x2-1=(x1-1-x2-1)(x1-1+x2-1)x1-1+x2-1=x1-x2x1-1+x2-1 .
∵1≤x10.
∴x1-x2x1-1+x2-1<0，
∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1) ∴函数f(x)=x-1在区间［1,+∞)上是单调增函数.
像这种含有“根式型”的作差变形，常常采取“分子有理化”的办法来处理.
四、抽象函数型
例4 已知函数f(x)对任意x,y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)=-23.求证：f(x)是R上的减函数.
证明 令x=y=0，f(0)=0，令x=-y，可得x=-y=0，f(-x)=-f(x)，在R上任取x10，由条件知f(x2-x1)<0.
f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0，∴x1f(x2)，由函数单调性的定义，可知f(x)是R上的减函数.
抽象函数是指没有给出具体解析式的函数.由于抽象函数具有一定的抽象性,其性质隐而不露,因而学生对抽象函数问题比较害怕,特别是对抽象函数单调性的证明更是百思不得其解.其实,大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得,证明时,若能从研究抽象函数的“背景”入手,根据题设中抽象函数的性质,通过类比,猜想出它可能为某种基本函数,选择不同的“设”(即设两个不相等自变量),灵活选择作差或作商比较大小,从而判断函数的单调性即可.
巩固练习
1证明：函数f(x)=x2-2x在区间(1,+∞)上是增函数.
2证明：函数f(x)=x-1x在区间(0,+∞)上是增函数.
3证明：函数f(x)=4x+5在区间-54,+∞是增函数.
4已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数m，n都有f(m+n)=f(m)+f(n)+12，且f12=0，当x>12时，f(x)>0.求证：函数f(x)是R上的增函数.
参考答案：1，2，3略.
4证明 任取x1,x2∈(-∞,+∞)，且x1 ∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)+12-f(x1)=f(x2-x1)+f12+12=fx2-x1+12.
∵x2>x1，∴x2-x1+12>12.
又 当x>12，f(x)>0，∴fx2-x1+12>0，
即f(x2)-f(x1)>0，f(x2)>f(x1)，
∴函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、多项式型
例1 （苏教版必修1 P43 第7题第（1）小题）求证：函数f(x)=-2x2+3在区间(-∞,0］上是单调增函数.
证明 设任意的x1,x2∈(-∞,0］，且x1
∵x1,x2∈(-∞,0］,x1
∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)
而学生往往在变形到“=2(x22-x21)”时就开始判断符号，“∵x1
例2 （苏教版必修1 P43 第7题第（4）小题）求证：函数f(x)=x+1x在区间(0,1］上是单调减函数，在区间［1,+∞)上是单调增函数.
证明 设任意的x1,x2∈(0,1］，且x1
∵0
∴(x1-x2)(x1x2-1)x1x2>0，
∴f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
∴函数f(x)=x+1x在区间(0,1］上是单调减函数（在区间［1,+∞)上可仿照证明）.
学生在证明过程中，当变形到“=(x1-x2)+1x1-1x2”时就开始判断符号，有两个地方易犯错误：（1）由“x1
像这种函数解析式中含有分式的，在变形时最好先通分，变成“积商”的形式再作判断.
三、根式型
例3 求证：函数f(x)=x-1在区间［1,+∞)上是单调增函数.
证明 设任意的x1,x2∈［1,+∞)，且x1
∵1≤x1
∴x1-x2x1-1+x2-1<0，
∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)
像这种含有“根式型”的作差变形，常常采取“分子有理化”的办法来处理.
四、抽象函数型
例4 已知函数f(x)对任意x,y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)=-23.求证：f(x)是R上的减函数.
证明 令x=y=0，f(0)=0，令x=-y，可得x=-y=0，f(-x)=-f(x)，在R上任取x1
f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0，∴x1
抽象函数是指没有给出具体解析式的函数.由于抽象函数具有一定的抽象性,其性质隐而不露,因而学生对抽象函数问题比较害怕,特别是对抽象函数单调性的证明更是百思不得其解.其实,大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得,证明时,若能从研究抽象函数的“背景”入手,根据题设中抽象函数的性质,通过类比,猜想出它可能为某种基本函数,选择不同的“设”(即设两个不相等自变量),灵活选择作差或作商比较大小,从而判断函数的单调性即可.
巩固练习
1证明：函数f(x)=x2-2x在区间(1,+∞)上是增函数.
2证明：函数f(x)=x-1x在区间(0,+∞)上是增函数.
3证明：函数f(x)=4x+5在区间-54,+∞是增函数.
4已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数m，n都有f(m+n)=f(m)+f(n)+12，且f12=0，当x>12时，f(x)>0.求证：函数f(x)是R上的增函数.
参考答案：1，2，3略.
4证明 任取x1,x2∈(-∞,+∞)，且x1
∵x2>x1，∴x2-x1+12>12.
又 当x>12，f(x)>0，∴fx2-x1+12>0，
即f(x2)-f(x1)>0，f(x2)>f(x1)，
∴函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文