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作为数学老师，经常和同事就中学数学教学过程中加强对学生基础知识的学习能力培养问题进行讨论。
一、什么是基础知识和基本能力
（一）基础知识
主要是指数学中的基本概念及其性质，基本定理或公式，以及运用理论解决问题时的基本方法。
（二）基本能力
可以分为两类，一类是与具体学科有关的能力，通过数学教学主要培养学生的运算能力，逻辑推理能力和空间想象能力，这类能力可以称之为“特殊能力”。另一类能力则是学习每一个学科都必须具备的能力，可称为“一般能力”，主要包括观察能力，记忆能力，理解能力，分析能力，运用能力等。
（三）知识和能力的关系密不可分
第一，知识是能力形成和发展的基础和必要条件。就是说，没有知识做为基础，不可能形成能力。在人的各项基本素质中，最基本的是科学文化素质。第二，能力的发展极大的影响着学习水平的提高。许多人学习效果不明显，并非本人不努力，而是学习能力不强，包括学习方法问题。第三，能力不能自然形成，也不能用知识的积累不代替，必须着力培养。第四，能力的形成和发展的速度明显滞后于知识积累的速度。由此可见培养能力比传授知识需要更长的时间和付出更多的努力。目前教学中最大的问题就是对学生学习能力的培养的重视程度远远低于对传授知识的重视程度。
二、基本能力的培养
强调能力培养的目的是为了使学生会学习。仅以解数学题过程中的能力问题为例，这时主要看学生是不是善于观察，能不能通过对问题的分析找到解题思路，能不能理解和掌握学过的知识并用来解决问题，在解题过程中还要进行运算、推理和一定程度的空间想象。所有这些都与人的学习能力有关。
（一）观察能力
观察不只是看已知条件和解题要求是什么，更要想将这两者与学过的知识进得联系对照，并寻找解题思路或方法。
学生审题不细致，一般说他们马虎，其实可能是观察能力不强。现代教学方法重视学生通过观察、类比、联想探究规律、得出结论，因此观察能力的培养应当引起教师的充分重视。
例1 观察15×15=225，14×16=224，13×17=221，12×18=216，11×19=209
寻找规律并直接写出21×29，31×39的结果。
观察题目给出的5个等式，通过横向比较、联系找出规律：
14×16=（15-1）（15+1）=152-12，13×17=（15-2）（15+2）=152-22…于是11×19=（15-4）（15+4）=152-42
猜想21×29=（25-4）（25+4）=252-42=609.31×39=352-42=1209。
（二）记忆能力
学数学当然要记住许多内容，问题是应当怎样记忆。我们的学生一直被告知要多读书、多心知识，这并不错，问题是学习不等于读书，读书也不等于背书，即使是读书，关键也是看是否读懂了，理解了，掌握了，会用了？对此教师必须高度关注并给予指导。
对于记忆笔者有以下经验：第一，在理解的基础上记忆。如果你能用自己的话语表达知识，记得就会牢固；第二，通过运用能记得更牢固；第三，将知识精炼、浓缩之后再存入大脑中的记忆单元。除了那些非记不可的基本内容外，更多的内容则是要抓住要点记忆，例如两三角形全等的条件的共同点是有三对元素（其中至少有一边）对应相等；第四，归类记忆。例如分解因式的基本方法。有条理的记忆有利于在需要用到知识时迅速地将他们找到并调出。
（三）理解（领会）能力
理解能力是指抓住知识的意义的能力，它可以表现为将知识由一种形式转化成另一种形式（例如由自由语言转换成数学语言或相反），也表现为解释知识或对知识进行概述。中学数学的概念很多，但是多数学概念的产生过和实际意义是很清楚的，教学中一定要注意这方面的介绍，这对于学生理解概念的意义是很有益的。
要注意说明概念的本质属性以及它与其它概念的内在联系和本质区别，例如平行四边形与梯形的关系，与三角形的关系，各种特殊的平行四边形之间的关系等等。
例2 一个矩形的内部有一个小矩形（右图）它们的对应边相互平行，且每对对应边之间的距离相等。这两个矩形是否相似？
许多学生都在“一定相似”和“一定不相似”之间寻找答案，其实正确的答案是“如果两者都是正方形则一定相似”，而“如果两者都是非正方形的矩形时则一定不相似”。不能正确解答的同学恐怕是没有想到正方形是特殊的矩形，问题出在对概念的理解上。
对于定理和方法，要掌握其条件和结论的关系，即使不要求学生能证明它，也要通过其它途径（例如利用直观图形）说明其合理性。要通过解题使学生知道它主要用于解决什么样的问题以及如何运用等。
（四）应用能力
解决知识“怎样用”的问题，又可分为直接应用和间接应用。
1、直接应用。问题的情境与学过知识的情境基本一致，直接应用学过的知识就能解决问题，例如简单的整式、分式、根式、乘幂运算等代数运算，因式分解，解方程（组），解不等式（组）以用简单的几何证明、计算题等。这些运算直到大学数学也十分有用。遗憾的是有一部分人初中时没有打好这方面的基础，简单的运算甚至数值运算经常出错。
下面就运算能力的培养提出几条建议：
①要让学生明白基本运算的道理。②纠正似是而非的运算。③鼓励一题多解。④解题方法可以更灵活些。⑤重视验算。
2、间接应用。问题的情境与学过的知识有较大的不同，需要将问题的前提或结论作等价或不等价变换后，才能运用学过的知识解决问题。间接应用的水平首先取决于学生是否已将学过的知识系统化，并且能根据需要迅速地将其搜索到并调查出；其次需要通过足够数量的解题练习积累经验。为此，教师不仅要指导学一作练习、完成作业，还要指导他们归纳、总结、提高。但是现在出现了两个极端：一是只要求学生做题，淡化了教师的指导作用；二是包办代替，只讲题型及其解法要学生去背。
为提高运用水平，以下几种常用的方法应当引起重视。A适当引入辅助元素。例如辅助线等。B逆向变形：许多人习惯上将恒等式自左向右应用应用，其实很多时候需要自右向左应用；此外，分解变形也很有用。C数形结合：数学教学要培养学生的空间想象能力，这包括辨认几何图形和它们中各种元素之间的数量、位置、关系，例如几何计算，证明题的做图，多边形的拼接；会做简单函数的图像或从函数图象分析函数的性质等等。
一、什么是基础知识和基本能力
（一）基础知识
主要是指数学中的基本概念及其性质，基本定理或公式，以及运用理论解决问题时的基本方法。
（二）基本能力
可以分为两类，一类是与具体学科有关的能力，通过数学教学主要培养学生的运算能力，逻辑推理能力和空间想象能力，这类能力可以称之为“特殊能力”。另一类能力则是学习每一个学科都必须具备的能力，可称为“一般能力”，主要包括观察能力，记忆能力，理解能力，分析能力，运用能力等。
（三）知识和能力的关系密不可分
第一，知识是能力形成和发展的基础和必要条件。就是说，没有知识做为基础，不可能形成能力。在人的各项基本素质中，最基本的是科学文化素质。第二，能力的发展极大的影响着学习水平的提高。许多人学习效果不明显，并非本人不努力，而是学习能力不强，包括学习方法问题。第三，能力不能自然形成，也不能用知识的积累不代替，必须着力培养。第四，能力的形成和发展的速度明显滞后于知识积累的速度。由此可见培养能力比传授知识需要更长的时间和付出更多的努力。目前教学中最大的问题就是对学生学习能力的培养的重视程度远远低于对传授知识的重视程度。
二、基本能力的培养
强调能力培养的目的是为了使学生会学习。仅以解数学题过程中的能力问题为例，这时主要看学生是不是善于观察，能不能通过对问题的分析找到解题思路，能不能理解和掌握学过的知识并用来解决问题，在解题过程中还要进行运算、推理和一定程度的空间想象。所有这些都与人的学习能力有关。
（一）观察能力
观察不只是看已知条件和解题要求是什么，更要想将这两者与学过的知识进得联系对照，并寻找解题思路或方法。
学生审题不细致，一般说他们马虎，其实可能是观察能力不强。现代教学方法重视学生通过观察、类比、联想探究规律、得出结论，因此观察能力的培养应当引起教师的充分重视。
例1 观察15×15=225，14×16=224，13×17=221，12×18=216，11×19=209
寻找规律并直接写出21×29，31×39的结果。
观察题目给出的5个等式，通过横向比较、联系找出规律：
14×16=（15-1）（15+1）=152-12，13×17=（15-2）（15+2）=152-22…于是11×19=（15-4）（15+4）=152-42
猜想21×29=（25-4）（25+4）=252-42=609.31×39=352-42=1209。
（二）记忆能力
学数学当然要记住许多内容，问题是应当怎样记忆。我们的学生一直被告知要多读书、多心知识，这并不错，问题是学习不等于读书，读书也不等于背书，即使是读书，关键也是看是否读懂了，理解了，掌握了，会用了？对此教师必须高度关注并给予指导。
对于记忆笔者有以下经验：第一，在理解的基础上记忆。如果你能用自己的话语表达知识，记得就会牢固；第二，通过运用能记得更牢固；第三，将知识精炼、浓缩之后再存入大脑中的记忆单元。除了那些非记不可的基本内容外，更多的内容则是要抓住要点记忆，例如两三角形全等的条件的共同点是有三对元素（其中至少有一边）对应相等；第四，归类记忆。例如分解因式的基本方法。有条理的记忆有利于在需要用到知识时迅速地将他们找到并调出。
（三）理解（领会）能力
理解能力是指抓住知识的意义的能力，它可以表现为将知识由一种形式转化成另一种形式（例如由自由语言转换成数学语言或相反），也表现为解释知识或对知识进行概述。中学数学的概念很多，但是多数学概念的产生过和实际意义是很清楚的，教学中一定要注意这方面的介绍，这对于学生理解概念的意义是很有益的。
要注意说明概念的本质属性以及它与其它概念的内在联系和本质区别，例如平行四边形与梯形的关系，与三角形的关系，各种特殊的平行四边形之间的关系等等。
例2 一个矩形的内部有一个小矩形（右图）它们的对应边相互平行，且每对对应边之间的距离相等。这两个矩形是否相似？
许多学生都在“一定相似”和“一定不相似”之间寻找答案，其实正确的答案是“如果两者都是正方形则一定相似”，而“如果两者都是非正方形的矩形时则一定不相似”。不能正确解答的同学恐怕是没有想到正方形是特殊的矩形，问题出在对概念的理解上。
对于定理和方法，要掌握其条件和结论的关系，即使不要求学生能证明它，也要通过其它途径（例如利用直观图形）说明其合理性。要通过解题使学生知道它主要用于解决什么样的问题以及如何运用等。
（四）应用能力
解决知识“怎样用”的问题，又可分为直接应用和间接应用。
1、直接应用。问题的情境与学过知识的情境基本一致，直接应用学过的知识就能解决问题，例如简单的整式、分式、根式、乘幂运算等代数运算，因式分解，解方程（组），解不等式（组）以用简单的几何证明、计算题等。这些运算直到大学数学也十分有用。遗憾的是有一部分人初中时没有打好这方面的基础，简单的运算甚至数值运算经常出错。
下面就运算能力的培养提出几条建议：
①要让学生明白基本运算的道理。②纠正似是而非的运算。③鼓励一题多解。④解题方法可以更灵活些。⑤重视验算。
2、间接应用。问题的情境与学过的知识有较大的不同，需要将问题的前提或结论作等价或不等价变换后，才能运用学过的知识解决问题。间接应用的水平首先取决于学生是否已将学过的知识系统化，并且能根据需要迅速地将其搜索到并调查出；其次需要通过足够数量的解题练习积累经验。为此，教师不仅要指导学一作练习、完成作业，还要指导他们归纳、总结、提高。但是现在出现了两个极端：一是只要求学生做题，淡化了教师的指导作用；二是包办代替，只讲题型及其解法要学生去背。
为提高运用水平，以下几种常用的方法应当引起重视。A适当引入辅助元素。例如辅助线等。B逆向变形：许多人习惯上将恒等式自左向右应用应用，其实很多时候需要自右向左应用；此外，分解变形也很有用。C数形结合：数学教学要培养学生的空间想象能力，这包括辨认几何图形和它们中各种元素之间的数量、位置、关系，例如几何计算，证明题的做图，多边形的拼接；会做简单函数的图像或从函数图象分析函数的性质等等。