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文[1]和文[2]均就几何题中“如图”的用法这一问题，阐述了各自的观点.文[1]对怎样正确处理“如图”与“无图”的问题感到困惑，但倾向于，当几何题中有“如图”时，应只按“如图”求解；文[2]则认为，几何题中的“如图”有时会看不清，应将其视为草图，解题时，不能只考虑“如图”所代表的情况，还应考虑符合题意的其他图形所代表的情况.
读了文[1]、文[2]后，笔者受益匪浅，但对两文的上述看法，却难以苟同.现谈谈自己的看法，不当之处，敬请指正.
为了能透彻剖析“如图”的用法，首先，根据几何题的特征，把几何题分成两类：第一类是，突出点、线、面的运动变化等特征，强调在运动变化的过程中探索结果，不妨将这类问题称为动态几何题.第二类是，不强调第一类的特征，其结果无须在运动变化的过程中求出，而且当问题所包含的情况不止一种时，这些情况都是彼此孤立的，均属静态的，因而可将其称为静态几何题.
对于动态几何题来说，因为它要考察的几何对象，一般与平移、旋转、翻折、滚动等运动形式有关，其运动变化所引发的结果，又往往是该类问题要探寻的目标，所以求解此类问题时，必须对运动变化的整个过程进行全面分析，即针对变化过程中每一环节的运动状态及不同环节之间的联系，由此及彼、由表及里的深入，层层推进、寻根究底的挖掘.但是，由于几何对象运动变化的过程是连续不断的，而一个图形所表示的状态却是静止不变的，故几何对象运动变化的整个过程，不可能（也没有必要）都用图形全部画出来.因此，动态几何题中的“如图”，只能作为整个变化过程中的一个“关节点”，通过它起到引发或促进思维的作用，进而更加准确地把握运动变化的全过程.可见，这时的“如图”可视为一个草图，只有一点参考价值.解题时，不能只按“如图”机械地求解，而要对运动变化过程中所有可能的情况条分缕析，并要适时画出新图加以说明.
例1如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4.将该矩形折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC（或CD）（含端点）交于点F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”.问：该矩形是否存在面积最大的“折痕三角形”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标；若不存在，也请说明理由.
图1图2图3简析因为“折痕三角形”的面积随着点F位置的变化而改变，所以该题是一道动态几何题.要探究“折痕三角形”的最大面积，应根据点F位置的变化，分为不同的“阶段”进行考察.
解矩形ABCD的折痕△BEF存在最大面积，其最大面积为4.理由如下：
（1）当点F在边BC上（如图1）时，因为S△BEF=112BF·CD≤112BC·CD=112S矩形ABCD=4，所以，当C、F两点重合（如图2）时，△BEF的面积为4.
在图2中，易知CE=CB=4，DE=CE2-CD2=23，得AE=4-23，从而E（4-23，2）.
（2）当点F在边CD上（如图3）时，过点E作EM⊥BC，垂足为M，且EM交BF于点N.根据（1）易知S△BEN≤112S矩形ABME，S△FEN≤112S矩形CDEM，显然，当EM=EN时，两式中“=”成立.
再将两式相加，得S△BEF≤112S矩形ABCD=4，并由EM=EN知：当C、F两点重合或A、E两点重合时，△BEF的面积为4，且有E（4-23，2）或E（0，2）.
总之，折痕△BEF的最大面积为4，且E（4-23，2）或E（0，2）.
对于静态几何题来说，由于不考虑几何对象运动变化的过程，它往往具有“单纯”、“静止”、“间断”的特点，而这些与动态几何题“连续性”变化的特点是有本质区别的，绝不能混淆.有时候，静态几何题的文字语言所描述的题意，虽然可分为几种情况，但它们之间却是“孤立”的、“跳跃式”的.正因为该类几何题有这些特点，所以用一个图形或几个图形，就能把它所包含的情况准确地刻画出来，并且一个图形只能与一种情况相对应.因此，求解这类几何题时，既要考虑文字语言的作用，更应重视图形对题意的“界定”作用.如果问题中没有图形，就意味着该题不受“如图”的限制，这时若有不同情况，就应考虑所有可能的情况，并针对每一种情况（有时需要画出图形）分别求解；如果问题中已有图形，从文字语言与图形语言相统一的角度来看，问题只能按“如图”的含义来求解，而不能随意改变它.否则，就是偷换了论题，违反了同一律.
例2如图4，⊙O的直径CD=10，弦AB=8，AB⊥CD，垂足为M，求DM的长.（见文[1]）
解连接AO，在Rt△AOM中，由勾股定理知OM=3，从而DM=5+3=8.
图4图5例3如图5，已知线段AC与BD相交于点O，连接AB、CD，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF.问：由∠OEF=∠OFE，AB=CD，能否推出∠A=∠D？（见文[1]、文[2]）
解在图5中，分别过点B、C依次作AO、DO的垂线，通过证三角形全等的方法，即可推出∠A=∠D（文[1]中已有证明，恕不复证）.
图6图7图8说明：（1）如果例2中没有图4，例3中没有图5，那么它们都变成了“无图”的几何题，这样就不再受图形的限制了.因此，求例2中的DM时，除上述图4的情况外，还应考虑垂足M在半径OD上的情况，故DM的长应改为8或2.而对于例3，除上述图5的情况外，还应考虑到图6、图7、图8所代表的情况.因为对于图6和图7，均有∠A≠∠D，对于图8，有∠A=∠D（文[2]中已有论述，不再重新证明），所以应把上述结论改为不一定能推出∠A=∠D.
（2）由说明（1）知，对于静态几何题来说，“有图”与“无图”，其情况大不相同，绝不能将它们混淆或等同起来.否则，将会像文[1]那样，对如何运用“如图”感到困惑，甚至还会造成思维混乱，使计算、推理发生错误.
上述分析及例题均表明，弄清楚几何题所属的“动”、“静”类型，是正确运用“如图”的关键.文[1]、文[2]的看法，均没有根据几何题的“动”、“静”类型做具体分析，显然是不妥当的.至于文[2]认为：“几何题中的‘如图’所表示的情况，当其差别很小时，‘用肉眼’难以辨别清楚”.这种担心是不必要的.事实上，要单独使用图形来表示这种细微差别的人是没有的，一般都还会采用其他措施作必要的补充说明.例如，当表示一个角是直角时，除了要把两边画成垂直外，还要用直角符号“┐”标示出来；而如果要表示一个角接近于直角，那么在画出该角的同时，还要用数据或其他方法对该角的大小进行辅助说明（如∠BAC=87.75°，∠BD1C=92.25°，见文[2]）.可见，在几何题中，只要能“交代”清楚，即使是“如图”上的细微差别，也都是清晰可辨的（注：文[2]中所说的看不清的图形，其实都能看清楚）.如果一定要说存在看不清的图形，那这个图形一定是命题人没画清楚（或缺少必要说明）的“坏”图.若引用这样的图形来说事，就很难保证思维的确定性和正确性，无论得出怎样的结论，都是不严肃的，难以令人信服.
综上所述，在解答几何题时，应注意“无图”与“有图”的区别，二者不能混淆.对于“无图”的情况，只需根据文字语言所描述题意求解即可；而对于有“如图”的几何题来说，其“如图”可否视为草图，是否需要讨论？取决于“如图”所属的几何题的“动”、“静”类型，并非取决于“如图”是否清楚.“如图”清楚与否只是一个图形质量优劣的问题，这当然与几何题的“动”、“静”类型无关，自然无须据此加以讨论.
参考文献
[1]李玉荣.几何题的“如图”之我见[J].中学数学杂志，2010（6）：62-63.
[2]朱美香.也谈“如图”与“无图”的困惑[J].中小学数学，2012（12）：39.
读了文[1]、文[2]后，笔者受益匪浅，但对两文的上述看法，却难以苟同.现谈谈自己的看法，不当之处，敬请指正.
为了能透彻剖析“如图”的用法，首先，根据几何题的特征，把几何题分成两类：第一类是，突出点、线、面的运动变化等特征，强调在运动变化的过程中探索结果，不妨将这类问题称为动态几何题.第二类是，不强调第一类的特征，其结果无须在运动变化的过程中求出，而且当问题所包含的情况不止一种时，这些情况都是彼此孤立的，均属静态的，因而可将其称为静态几何题.
对于动态几何题来说，因为它要考察的几何对象，一般与平移、旋转、翻折、滚动等运动形式有关，其运动变化所引发的结果，又往往是该类问题要探寻的目标，所以求解此类问题时，必须对运动变化的整个过程进行全面分析，即针对变化过程中每一环节的运动状态及不同环节之间的联系，由此及彼、由表及里的深入，层层推进、寻根究底的挖掘.但是，由于几何对象运动变化的过程是连续不断的，而一个图形所表示的状态却是静止不变的，故几何对象运动变化的整个过程，不可能（也没有必要）都用图形全部画出来.因此，动态几何题中的“如图”，只能作为整个变化过程中的一个“关节点”，通过它起到引发或促进思维的作用，进而更加准确地把握运动变化的全过程.可见，这时的“如图”可视为一个草图，只有一点参考价值.解题时，不能只按“如图”机械地求解，而要对运动变化过程中所有可能的情况条分缕析，并要适时画出新图加以说明.
例1如图1，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4.将该矩形折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC（或CD）（含端点）交于点F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”.问：该矩形是否存在面积最大的“折痕三角形”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标；若不存在，也请说明理由.
图1图2图3简析因为“折痕三角形”的面积随着点F位置的变化而改变，所以该题是一道动态几何题.要探究“折痕三角形”的最大面积，应根据点F位置的变化，分为不同的“阶段”进行考察.
解矩形ABCD的折痕△BEF存在最大面积，其最大面积为4.理由如下：
（1）当点F在边BC上（如图1）时，因为S△BEF=112BF·CD≤112BC·CD=112S矩形ABCD=4，所以，当C、F两点重合（如图2）时，△BEF的面积为4.
在图2中，易知CE=CB=4，DE=CE2-CD2=23，得AE=4-23，从而E（4-23，2）.
（2）当点F在边CD上（如图3）时，过点E作EM⊥BC，垂足为M，且EM交BF于点N.根据（1）易知S△BEN≤112S矩形ABME，S△FEN≤112S矩形CDEM，显然，当EM=EN时，两式中“=”成立.
再将两式相加，得S△BEF≤112S矩形ABCD=4，并由EM=EN知：当C、F两点重合或A、E两点重合时，△BEF的面积为4，且有E（4-23，2）或E（0，2）.
总之，折痕△BEF的最大面积为4，且E（4-23，2）或E（0，2）.
对于静态几何题来说，由于不考虑几何对象运动变化的过程，它往往具有“单纯”、“静止”、“间断”的特点，而这些与动态几何题“连续性”变化的特点是有本质区别的，绝不能混淆.有时候，静态几何题的文字语言所描述的题意，虽然可分为几种情况，但它们之间却是“孤立”的、“跳跃式”的.正因为该类几何题有这些特点，所以用一个图形或几个图形，就能把它所包含的情况准确地刻画出来，并且一个图形只能与一种情况相对应.因此，求解这类几何题时，既要考虑文字语言的作用，更应重视图形对题意的“界定”作用.如果问题中没有图形，就意味着该题不受“如图”的限制，这时若有不同情况，就应考虑所有可能的情况，并针对每一种情况（有时需要画出图形）分别求解；如果问题中已有图形，从文字语言与图形语言相统一的角度来看，问题只能按“如图”的含义来求解，而不能随意改变它.否则，就是偷换了论题，违反了同一律.
例2如图4，⊙O的直径CD=10，弦AB=8，AB⊥CD，垂足为M，求DM的长.（见文[1]）
解连接AO，在Rt△AOM中，由勾股定理知OM=3，从而DM=5+3=8.
图4图5例3如图5，已知线段AC与BD相交于点O，连接AB、CD，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF.问：由∠OEF=∠OFE，AB=CD，能否推出∠A=∠D？（见文[1]、文[2]）
解在图5中，分别过点B、C依次作AO、DO的垂线，通过证三角形全等的方法，即可推出∠A=∠D（文[1]中已有证明，恕不复证）.
图6图7图8说明：（1）如果例2中没有图4，例3中没有图5，那么它们都变成了“无图”的几何题，这样就不再受图形的限制了.因此，求例2中的DM时，除上述图4的情况外，还应考虑垂足M在半径OD上的情况，故DM的长应改为8或2.而对于例3，除上述图5的情况外，还应考虑到图6、图7、图8所代表的情况.因为对于图6和图7，均有∠A≠∠D，对于图8，有∠A=∠D（文[2]中已有论述，不再重新证明），所以应把上述结论改为不一定能推出∠A=∠D.
（2）由说明（1）知，对于静态几何题来说，“有图”与“无图”，其情况大不相同，绝不能将它们混淆或等同起来.否则，将会像文[1]那样，对如何运用“如图”感到困惑，甚至还会造成思维混乱，使计算、推理发生错误.
上述分析及例题均表明，弄清楚几何题所属的“动”、“静”类型，是正确运用“如图”的关键.文[1]、文[2]的看法，均没有根据几何题的“动”、“静”类型做具体分析，显然是不妥当的.至于文[2]认为：“几何题中的‘如图’所表示的情况，当其差别很小时，‘用肉眼’难以辨别清楚”.这种担心是不必要的.事实上，要单独使用图形来表示这种细微差别的人是没有的，一般都还会采用其他措施作必要的补充说明.例如，当表示一个角是直角时，除了要把两边画成垂直外，还要用直角符号“┐”标示出来；而如果要表示一个角接近于直角，那么在画出该角的同时，还要用数据或其他方法对该角的大小进行辅助说明（如∠BAC=87.75°，∠BD1C=92.25°，见文[2]）.可见，在几何题中，只要能“交代”清楚，即使是“如图”上的细微差别，也都是清晰可辨的（注：文[2]中所说的看不清的图形，其实都能看清楚）.如果一定要说存在看不清的图形，那这个图形一定是命题人没画清楚（或缺少必要说明）的“坏”图.若引用这样的图形来说事，就很难保证思维的确定性和正确性，无论得出怎样的结论，都是不严肃的，难以令人信服.
综上所述，在解答几何题时，应注意“无图”与“有图”的区别，二者不能混淆.对于“无图”的情况，只需根据文字语言所描述题意求解即可；而对于有“如图”的几何题来说，其“如图”可否视为草图，是否需要讨论？取决于“如图”所属的几何题的“动”、“静”类型，并非取决于“如图”是否清楚.“如图”清楚与否只是一个图形质量优劣的问题，这当然与几何题的“动”、“静”类型无关，自然无须据此加以讨论.
参考文献
[1]李玉荣.几何题的“如图”之我见[J].中学数学杂志，2010（6）：62-63.
[2]朱美香.也谈“如图”与“无图”的困惑[J].中小学数学，2012（12）：39.