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【摘要】数形结合是数学解题教学中常用的思想方法，通过“以形助数”或“以数解形”使抽象的问题具体化，复杂问题简单化。数形结合常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
【关键词】数形结合解题教学
Simple discussion on the combination of number and figure
Qin Aiming
【Abstract】Combining of number and figure is the idea used commonly for solving mathematics problems. Helping the number figure through the figure or solving the figure through the number can make the nonfigurative question idiographic and make the complex question simple. The combination of number and figure is relative to the following contents: ① the homologous relation between the real number and the point of the number axis; ② the homologous relation between the function and the image; ③ the homologous relation between the curve and the equation; ④ the established concept with the geometry factor and geometry condition as the background; ⑤ the construe of the given equation or the algebraic expression has a obvious geometry meaning.
【Keywords】Combination of number and figureTeaching of solving problems
数形结合是数学解题教学中常用的思想方法，数形结合方法就是把抽象的数学符号语言和直观的几何图形结合起来思考，使抽象思维和形象思维相结合。通过“以形助数”或“以数解形”，使抽象问题具体化，复杂问题简单化。
数形结合主要是指数与形之间关系的建立会促使“数转为形”、“形转为数”，即借助数的精确性来阐明形的某种属性，或者将所研究的代数问题转为研究其所对应的几何图形问题获解。
掌握数学思想方法，逐步强化对理性思维能力的培养，是数学学习和高考复习最重要的任务。用数形结合思想解题既能避免繁杂的计算与推理，又能通过图形直观地考证结论是否完整。
数形结合常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义，函数的图象是函数关系的一种直观、形象的表示，是运用数形结合思想方法的基础。
在解题过程中常用到的图形有：数轴，常见函数（一次、二次函数，指、对数函数，三角函数）的图象，单位圆及三角函数线，圆和圆锥曲线等。
典型例题
1．实数与数轴上的点的对应关系。
例1、一元二次方程 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（选C）
A．a<0 B．a>0 C．a<-1 D．a>1
分析：令 其图象与x轴的交点的横坐标是方程f(x)=0的解，由y=f(x)的图象可知，要使两根一正、一负，只需a>0，f(0)<0
同时成立或a<0，f(0)>0同时成立解得a<0，这是充要条件选C。
2．函数与图象的对应关系。
例2、不等式 的解集是（A）
A．B．
C． D．
分析：转化为 ，即 ，令
只需求出y>3时U的取值范围，就可以求出x的取值范围，解得02解得02，选A。
例3、设函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则函数 的单调递增区间为（C）。
A．B．
C． D．（-1，0）
分析：关键直接作出函数图象而不求函数解析式，从而提高解题速度。
第一步是正确作出函数 的图象与函数 的图象如图（1）
第二步是正确作出函数y= 如图（2）
3．曲线与方程的对应关系。
例4、已知 ，则方程 的实根个数为（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．1个或2个或3个
分析：判断方程的根的个数就是判断图象 与 的交点个数，画出
两个函数的图象，易知两图象只有两个交点，故方程有两个实根，选（B）。
例5、解不等式
分析：令 =t则原不等式变形为 >t-3，设y1= ，y2=t-3
转化为比较y1与y2大小的问题
正确作出函数y= ，y=t-3的图象
令y1=y2，得t=5
因为函数y1= ，y2=t-3都是增函数
所以不等式 >t-3的解为：1≤t<5
即1≤ <5（数形结合思想）
当a>1时a≤x 当0 4．以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念。
例6、点M是椭圆 上的一点，它到其中一个焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，O表示原点，则|ON|=（ ）
分析：①设椭圆另一焦点为F2，（如下图）
又注意到N、O各为MF1、F1F2的中点，
∴ON是△MF1F2的中位线，
5．所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
例7、如果实数x，y满足 的最大值为（ ）
分析：等式有明显的几何意义，它表示平面上的一个圆，圆心为（2，0），半径r= （如图），而
则表示圆上的点（x，y）与坐标原点（0，0）的连线的斜率。该问题可转化为下面的几何问题：动点P在以（2，0）为圆心，半径r= 的圆上运动，求直线OP的斜率的最大值，由图可见，当∠A在第一象限，且与圆相切时，OP的斜率最大，为
运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：一是等价性原则，要注意由于图象不精确带来的负面效应；二是双方性原则，几何直观分析和代数抽象探求相辅相成；三是简单性原则。具体运用时，一要考虑是否可行和有利；二是选择好突破口；三要挖掘隐含条件，精确界定参变量的取值范围。运用数形结合思想，常与函数思想、分类讨论思想、化归与转化思想交叉使用。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
【关键词】数形结合解题教学
Simple discussion on the combination of number and figure
Qin Aiming
【Abstract】Combining of number and figure is the idea used commonly for solving mathematics problems. Helping the number figure through the figure or solving the figure through the number can make the nonfigurative question idiographic and make the complex question simple. The combination of number and figure is relative to the following contents: ① the homologous relation between the real number and the point of the number axis; ② the homologous relation between the function and the image; ③ the homologous relation between the curve and the equation; ④ the established concept with the geometry factor and geometry condition as the background; ⑤ the construe of the given equation or the algebraic expression has a obvious geometry meaning.
【Keywords】Combination of number and figureTeaching of solving problems
数形结合是数学解题教学中常用的思想方法，数形结合方法就是把抽象的数学符号语言和直观的几何图形结合起来思考，使抽象思维和形象思维相结合。通过“以形助数”或“以数解形”，使抽象问题具体化，复杂问题简单化。
数形结合主要是指数与形之间关系的建立会促使“数转为形”、“形转为数”，即借助数的精确性来阐明形的某种属性，或者将所研究的代数问题转为研究其所对应的几何图形问题获解。
掌握数学思想方法，逐步强化对理性思维能力的培养，是数学学习和高考复习最重要的任务。用数形结合思想解题既能避免繁杂的计算与推理，又能通过图形直观地考证结论是否完整。
数形结合常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义，函数的图象是函数关系的一种直观、形象的表示，是运用数形结合思想方法的基础。
在解题过程中常用到的图形有：数轴，常见函数（一次、二次函数，指、对数函数，三角函数）的图象，单位圆及三角函数线，圆和圆锥曲线等。
典型例题
1．实数与数轴上的点的对应关系。
例1、一元二次方程 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（选C）
A．a<0 B．a>0 C．a<-1 D．a>1
分析：令 其图象与x轴的交点的横坐标是方程f(x)=0的解，由y=f(x)的图象可知，要使两根一正、一负，只需a>0，f(0)<0
同时成立或a<0，f(0)>0同时成立解得a<0，这是充要条件选C。
2．函数与图象的对应关系。
例2、不等式 的解集是（A）
A．B．
C． D．
分析：转化为 ，即 ，令
只需求出y>3时U的取值范围，就可以求出x的取值范围，解得0
例3、设函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则函数 的单调递增区间为（C）。
A．B．
C． D．（-1，0）
分析：关键直接作出函数图象而不求函数解析式，从而提高解题速度。
第一步是正确作出函数 的图象与函数 的图象如图（1）
第二步是正确作出函数y= 如图（2）
3．曲线与方程的对应关系。
例4、已知 ，则方程 的实根个数为（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．1个或2个或3个
分析：判断方程的根的个数就是判断图象 与 的交点个数，画出
两个函数的图象，易知两图象只有两个交点，故方程有两个实根，选（B）。
例5、解不等式
分析：令 =t则原不等式变形为 >t-3，设y1= ，y2=t-3
转化为比较y1与y2大小的问题
正确作出函数y= ，y=t-3的图象
令y1=y2，得t=5
因为函数y1= ，y2=t-3都是增函数
所以不等式 >t-3的解为：1≤t<5
即1≤ <5（数形结合思想）
当a>1时a≤x
例6、点M是椭圆 上的一点，它到其中一个焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，O表示原点，则|ON|=（ ）
分析：①设椭圆另一焦点为F2，（如下图）
又注意到N、O各为MF1、F1F2的中点，
∴ON是△MF1F2的中位线，
5．所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
例7、如果实数x，y满足 的最大值为（ ）
分析：等式有明显的几何意义，它表示平面上的一个圆，圆心为（2，0），半径r= （如图），而
则表示圆上的点（x，y）与坐标原点（0，0）的连线的斜率。该问题可转化为下面的几何问题：动点P在以（2，0）为圆心，半径r= 的圆上运动，求直线OP的斜率的最大值，由图可见，当∠A在第一象限，且与圆相切时，OP的斜率最大，为
运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：一是等价性原则，要注意由于图象不精确带来的负面效应；二是双方性原则，几何直观分析和代数抽象探求相辅相成；三是简单性原则。具体运用时，一要考虑是否可行和有利；二是选择好突破口；三要挖掘隐含条件，精确界定参变量的取值范围。运用数形结合思想，常与函数思想、分类讨论思想、化归与转化思想交叉使用。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”