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[摘要]求轨迹方程问题，是解析几何的主要问题之一。由于动点适合的条件不同，因而求该点运动的轨迹方程所采用的方法往往就有所不同。本文将着重对“点的轨迹定义和特点”、“探求轨迹方程时应注意的问题”、“求点的轨迹方程的常用方法”等三大问题进行探讨。
[关键词]解析法 軌迹方程 参数方程 满足条件
在平面直角坐标系中求点的轨迹方程是平面解析几何的一个基本问题。所谓轨迹问题，即“由曲线求方程”。解析法就是通过建立坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，用代数方法研究几何问题。求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。
美国著名数学家波利亚在他的世界名著“HOW TO SOLVEIT”中归纳了一张“怎样解题”表：第一，必须弄清问题。第二，找到已知条件与未知条件之间的联系。如果找不出直接联系，可考虑辅助问题，最终得到一个求解计划。第三，实行计划。第四，验算所得到的解。
这张“表”对解析几何的求轨迹方程也是非常合适的，但要实现“表”中的每个步骤，就必须要求切实弄清轨迹问题的有关概念的本质，掌握好解析几何中各个曲线的条件与结论，并能灵活运用。本文将着重对“点的轨迹定义和特点”、“探求轨迹方程时应注意的问题”、“求点的轨迹方程的常用方法”等三大问题进行探讨。
一、点的轨迹定义和特点
轨迹概念是中学教材中一个重要的概念，其有两种定义。第一种是用运动的观点来定义的，即“一个动点按照某条件移动所经过的路线，叫做满足某条件的点的轨迹”。第二种是用集合的观点来定义的，即“具有某种性质的点的集合，叫做具有某种性质的点的轨迹”。从点的轨迹的真正意义来说，点的轨迹又可定义为“如果适合某条件的任意一点都在图形上，且图形上任意一点都适合某条件，那么这个图形叫做适合某条件的点的轨迹”。
从上述点的轨迹的各种定义，我们可以发现其具有如下特点：1、比较集中而又严格地运用集合和变动思想来理解和处理几何图形，特别是把某些图形看作是符合一定条件的点的集合时，要求既考虑纯粹性，又考虑完备性。2、从逻辑知识和方法上考虑，轨迹内容涉及充要条件的理解和运用，还涉及归纳法和演绎法、分析法和综合法等推理方法的综合运用。3、从解题过程考虑，它要涉及结论的探求、解题思路的探索，完备性和纯粹性的证明，以及对结论和解法的全面讨论，比较完整地体现真实的发现和探索的思维过程。4、它还涉及一种重要的数学思考方法------交轨法，即从集合的“交”来确定兼备有关集合特性的元素。总之，有关轨迹的内容能比较集中渗透现代数学的思想。
二、探求点的轨迹方程时应注意的问题
根据轨迹的概念和特点，我们在探求轨迹方程时应注意以下一些问题：
（一）注意选取适当而简便的坐标系
对轨迹问题，有已给的坐标系和未给坐标系两种类型。对未给定坐标系的，为便于表达和计算，应先根据所给条件选取适当而简便的坐标系。关于直角坐标系的选取，有点、线的利用，平行的利用，正交的利用和对称的利用等等。
（二）注意化简方程的同解变形
在探求轨迹时，当求出最简方程，理论上还应证明坐标适合方程的点都在轨迹上。若在求解过程中，能保证轨迹所适合的充要条件与原始方程等价，而原始方程又与最简方程等价，就可省略证明步骤。为此在化简过程中必须保持同解变形，若不能，则须对变数取值范围加以限制，或者舍去增解，找回失解，以保持方程的解集不变，就可保证它们的等价关系，最后所得到最简方程也即为所求轨迹方程。
（三）注意题中的有关限制
如果轨迹有一定范围或者有某些限制条件的，在列出动点适合的充要条件及其轨迹方程中必须加以注明，以说明变量x，y的取值范围，以保证轨迹的完备性和纯粹性。
三、求点的轨迹方程的常用方法
求轨迹方程的命题主要有两类，第一类命题明说轨迹的形状，对位置、大小叙述不全或干脆不提。第二类命题只说明符合某条件的点的轨迹，而对其形状、位置和大小一概不提。不同的轨迹命题有不同的解法，其解析法中常用的方法有：直接法、定义法、待定系数法、转移法、参数法和交轨法等等。
（一）直接法
如果题目条件明确，动点直接与已知条件联系时，直接用动点（x，y）关系来表示，将条件翻译成f（x，y）=0，从而求得轨迹方程。直接法过程即为教材上的“五步法”，是最简单最重要的方法。
例1：线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|=4，|CD|=2，动点P满足|PA|·|PB|=|PC|·|PD|，求动点P的轨迹方程.
解析：如图1，以AB中点0为原点，直线AB为x轴建立直角坐标系.
设p（x，y），易知A（-2，0），B（2，0），C（0，1），D（0，-1）.
整理得2x2-2y2=3，
故动点 的轨迹方程为2x2-2y2=3.
思维感悟：当题目没有给出坐标系时，首先根据题意建立坐标系，然后根据题目直译为动点的几何关系，再利用有关公式列出方程，进行适当的化简就可得到轨迹方程。注意化简过程中方程是否等价。
（二）定义法
利用圆和圆锥曲线的定义及其标准方程，依据已知条件，直接写出轨迹方程的方法，也称轨迹法。
例2：动圆P与圆C：（x-1）2+y2=1外切且与y轴相切，求动圆圆心的轨迹方程。
解析：有题意可知，动圆圆心P到定点C与到定直线x=-1的距离相等，则由抛物线定义可得轨迹方程为y2=4x 。又注意到y轴半轴上的点也适合条件，即得到轨迹方程为y2=4x
和y=0
思维感悟：解题时如忽视与y轴相切这一条件，容易漏掉y=0 （x<0），而失去轨迹的完备性。本题还可以用直接法。 （三）待定系数法
根据题目条件设曲线方程，然后求待定字母的值而得到轨迹方程，此法是求轨迹方程的基本方法之一。
例3：求以直线4x+5y=0和4x-5y-40=0为渐近线，焦点在直线y+4=0上，且焦距是 的双曲线方程。
解析：本题已明确指出所求的曲线是双曲线，因此可先求渐近线的交点，得到双曲线中心坐标（5，-4），从而设出双曲线方程，再根据题意求出a，b，即可求得双曲线方程。
思维感悟：题目已明确说出轨迹形状，则可通过其标准方程用待定系数法求得轨迹方程。
（四）相关点法
有些求轨迹问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但这一动点随另一动点（称之为相关点）而动。若动点P与已知曲线的动点Q相关，即很容易求出P与Q的坐标间的关系，只要把用P点坐标表示的Q点坐标代入点Q的轨迹方程中去，就可求出所求的P点轨迹方程。也称此法为转移点法。
例4：已知圆x2+y2=1，定点A（3，0），Q是圆上的动点，O为坐标原点，∠AOQ的平分线交AQ于P，当Q在圆上运动时，求点P的轨迹方程。
解析：因点P随Q点在圆上运动而动，则本题可用相关点法。
由角平分线比例性质和定比分点知识，可列出Q与P的坐标关系，并将Q点坐标代入圆x2+y2=1，即可得轨迹方程。须注意，当Q点运动到B时，∠AOQ的平分线与AB重合，故P点的轨迹方程还应加上此时的y=0 （1≤x≤3）方程。
思维感悟：相关点法是一种常用的方法，用此法求轨迹的大致步骤是：
（1）设所求轨迹的动点P的坐标为（x，y），再设在曲线f（x，y）=0上与动点P相关的点为Q（s，t），所以f（s，t）=0；
（2）找出P，Q的坐标之间的关系式，并表示为
（3）将 代入f（s，t）=0，即可得所求的轨迹方程.
同时，须注意动点在已知曲线上运动的特殊位置，避免漏解。
（五）参数法
根据给定的轨迹条件，用一个中间变量（参数）分别表示这个动点的横、纵坐标，从而间接地吧动点坐标x，y联系起来，得到动点轨迹的参数方程，然后消掉参数，从而得到动点轨迹的普通方程。
例5：设椭圆 ，过点M（0，1）的直线ι交椭圆于A、B，O为坐标原点，点P满足 ，当ι绕着M旋转时，求动点P的轨迹方程。
解析：直线ι过点M（0，1），设其斜率为k，则直线ι的方程为y=kx+1，
记A（x1，y1），B（x2，y2），由题设可得点A、B的坐标（x1，y1）（x2，y2）
是方程组 的解，其方程组中消取y得（4+k2）x2+2kx-3=0
设点P为（x，y），则P点的轨迹参数方程为 （k为参数）
消去参数k得：4x2+y2-y=0
当斜率k不存在时，A、B的中为原点（0，0）也满足上述方程，
故：动点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0
思维感悟：用参数法时，应考虑所选的参数与坐标x，y关系比较明显，容易列出方程，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等。并须考虑参数限制的条件而确定参数的范围，从而确定轨迹方程的范围。
（六）交轨法
若动点是两条动曲线（含直线）的交点，则可恰当的引入一个或几个参数，写出动曲线的方程，消去参数，即可求得所求的轨迹方程.这种方法叫交轨法.
例6 如图，椭圆 与x轴的交点为A（2，0），B（-2，0），与y轴平行的直线交该椭圆于不同的两点M，N，试求直线AM，BN的交点Q的轨迹方程.
解析：直线MN的方程为x=x1，设M和N的坐标分别为（x1=y1），（x1=-y1），则 ，即 .
∵M，N为不同的两点，∴x1≠±2，直线AM，BN的方程分别为
因为点Q的坐标满足上式，所以将它们相乘可得 ，
将 代入上式可得 ，即 .
又∵交点Q不可能在x轴上，∴y≠0.
∴交点Q的轨迹方程是 .
交点Q不可能在x轴上，去掉（2，0），（-2，0）两点，确保轨迹的纯粹性不容忽视.
思维感悟：交轨法是参数法的简单处理，应用时可选择适当的参数，表示出两条动曲线的方程，从而利用参数法消参，得轨迹方程。当题目没有给出坐标系时，要先建立适当的坐标系，以便于列出方程和计算。
四、结束语
求点的轨迹方程，除了上述的几种常用的方法，还有其他方法，如利用复平面，根据复数的性质求轨迹方程；运用平面几何的轨迹定理和向量知识求轨迹方程；利用极坐标求轨迹方程等等。无论用什么方法，它们都不是孤立的，在解决同一个问题时往往是几种方法相辅为用，如交軌法同时就用了参数法；而且用一个问题也会有多种不同解法。在求轨迹方程中要灵活运用各种方法。
确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应准确理解题意，挖掘隐含条件；并且要全面考虑各种情形；推理要严密，方程化简要等价；以及数形结合时，查“漏”补“缺”，以确保轨迹的纯粹性和完备性。
[参考文献]
[1]刘连璞，平面解析几何方法与研究. 北京大学出版社，1999
[2]宋建春.点的轨迹问题. 科学大众（科学教育），2010.03
[3]赵光辉.简单的轨迹方程与曲线的交点.考试（高考数学版）.2009.6
（作者单位：浙江省建德市寿昌中学）
[关键词]解析法 軌迹方程 参数方程 满足条件
在平面直角坐标系中求点的轨迹方程是平面解析几何的一个基本问题。所谓轨迹问题，即“由曲线求方程”。解析法就是通过建立坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，用代数方法研究几何问题。求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。
美国著名数学家波利亚在他的世界名著“HOW TO SOLVEIT”中归纳了一张“怎样解题”表：第一，必须弄清问题。第二，找到已知条件与未知条件之间的联系。如果找不出直接联系，可考虑辅助问题，最终得到一个求解计划。第三，实行计划。第四，验算所得到的解。
这张“表”对解析几何的求轨迹方程也是非常合适的，但要实现“表”中的每个步骤，就必须要求切实弄清轨迹问题的有关概念的本质，掌握好解析几何中各个曲线的条件与结论，并能灵活运用。本文将着重对“点的轨迹定义和特点”、“探求轨迹方程时应注意的问题”、“求点的轨迹方程的常用方法”等三大问题进行探讨。
一、点的轨迹定义和特点
轨迹概念是中学教材中一个重要的概念，其有两种定义。第一种是用运动的观点来定义的，即“一个动点按照某条件移动所经过的路线，叫做满足某条件的点的轨迹”。第二种是用集合的观点来定义的，即“具有某种性质的点的集合，叫做具有某种性质的点的轨迹”。从点的轨迹的真正意义来说，点的轨迹又可定义为“如果适合某条件的任意一点都在图形上，且图形上任意一点都适合某条件，那么这个图形叫做适合某条件的点的轨迹”。
从上述点的轨迹的各种定义，我们可以发现其具有如下特点：1、比较集中而又严格地运用集合和变动思想来理解和处理几何图形，特别是把某些图形看作是符合一定条件的点的集合时，要求既考虑纯粹性，又考虑完备性。2、从逻辑知识和方法上考虑，轨迹内容涉及充要条件的理解和运用，还涉及归纳法和演绎法、分析法和综合法等推理方法的综合运用。3、从解题过程考虑，它要涉及结论的探求、解题思路的探索，完备性和纯粹性的证明，以及对结论和解法的全面讨论，比较完整地体现真实的发现和探索的思维过程。4、它还涉及一种重要的数学思考方法------交轨法，即从集合的“交”来确定兼备有关集合特性的元素。总之，有关轨迹的内容能比较集中渗透现代数学的思想。
二、探求点的轨迹方程时应注意的问题
根据轨迹的概念和特点，我们在探求轨迹方程时应注意以下一些问题：
（一）注意选取适当而简便的坐标系
对轨迹问题，有已给的坐标系和未给坐标系两种类型。对未给定坐标系的，为便于表达和计算，应先根据所给条件选取适当而简便的坐标系。关于直角坐标系的选取，有点、线的利用，平行的利用，正交的利用和对称的利用等等。
（二）注意化简方程的同解变形
在探求轨迹时，当求出最简方程，理论上还应证明坐标适合方程的点都在轨迹上。若在求解过程中，能保证轨迹所适合的充要条件与原始方程等价，而原始方程又与最简方程等价，就可省略证明步骤。为此在化简过程中必须保持同解变形，若不能，则须对变数取值范围加以限制，或者舍去增解，找回失解，以保持方程的解集不变，就可保证它们的等价关系，最后所得到最简方程也即为所求轨迹方程。
（三）注意题中的有关限制
如果轨迹有一定范围或者有某些限制条件的，在列出动点适合的充要条件及其轨迹方程中必须加以注明，以说明变量x，y的取值范围，以保证轨迹的完备性和纯粹性。
三、求点的轨迹方程的常用方法
求轨迹方程的命题主要有两类，第一类命题明说轨迹的形状，对位置、大小叙述不全或干脆不提。第二类命题只说明符合某条件的点的轨迹，而对其形状、位置和大小一概不提。不同的轨迹命题有不同的解法，其解析法中常用的方法有：直接法、定义法、待定系数法、转移法、参数法和交轨法等等。
（一）直接法
如果题目条件明确，动点直接与已知条件联系时，直接用动点（x，y）关系来表示，将条件翻译成f（x，y）=0，从而求得轨迹方程。直接法过程即为教材上的“五步法”，是最简单最重要的方法。
例1：线段AB与CD互相垂直平分于点O，|AB|=4，|CD|=2，动点P满足|PA|·|PB|=|PC|·|PD|，求动点P的轨迹方程.
解析：如图1，以AB中点0为原点，直线AB为x轴建立直角坐标系.
设p（x，y），易知A（-2，0），B（2，0），C（0，1），D（0，-1）.
整理得2x2-2y2=3，
故动点 的轨迹方程为2x2-2y2=3.
思维感悟：当题目没有给出坐标系时，首先根据题意建立坐标系，然后根据题目直译为动点的几何关系，再利用有关公式列出方程，进行适当的化简就可得到轨迹方程。注意化简过程中方程是否等价。
（二）定义法
利用圆和圆锥曲线的定义及其标准方程，依据已知条件，直接写出轨迹方程的方法，也称轨迹法。
例2：动圆P与圆C：（x-1）2+y2=1外切且与y轴相切，求动圆圆心的轨迹方程。
解析：有题意可知，动圆圆心P到定点C与到定直线x=-1的距离相等，则由抛物线定义可得轨迹方程为y2=4x 。又注意到y轴半轴上的点也适合条件，即得到轨迹方程为y2=4x
和y=0
思维感悟：解题时如忽视与y轴相切这一条件，容易漏掉y=0 （x<0），而失去轨迹的完备性。本题还可以用直接法。 （三）待定系数法
根据题目条件设曲线方程，然后求待定字母的值而得到轨迹方程，此法是求轨迹方程的基本方法之一。
例3：求以直线4x+5y=0和4x-5y-40=0为渐近线，焦点在直线y+4=0上，且焦距是 的双曲线方程。
解析：本题已明确指出所求的曲线是双曲线，因此可先求渐近线的交点，得到双曲线中心坐标（5，-4），从而设出双曲线方程，再根据题意求出a，b，即可求得双曲线方程。
思维感悟：题目已明确说出轨迹形状，则可通过其标准方程用待定系数法求得轨迹方程。
（四）相关点法
有些求轨迹问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但这一动点随另一动点（称之为相关点）而动。若动点P与已知曲线的动点Q相关，即很容易求出P与Q的坐标间的关系，只要把用P点坐标表示的Q点坐标代入点Q的轨迹方程中去，就可求出所求的P点轨迹方程。也称此法为转移点法。
例4：已知圆x2+y2=1，定点A（3，0），Q是圆上的动点，O为坐标原点，∠AOQ的平分线交AQ于P，当Q在圆上运动时，求点P的轨迹方程。
解析：因点P随Q点在圆上运动而动，则本题可用相关点法。
由角平分线比例性质和定比分点知识，可列出Q与P的坐标关系，并将Q点坐标代入圆x2+y2=1，即可得轨迹方程。须注意，当Q点运动到B时，∠AOQ的平分线与AB重合，故P点的轨迹方程还应加上此时的y=0 （1≤x≤3）方程。
思维感悟：相关点法是一种常用的方法，用此法求轨迹的大致步骤是：
（1）设所求轨迹的动点P的坐标为（x，y），再设在曲线f（x，y）=0上与动点P相关的点为Q（s，t），所以f（s，t）=0；
（2）找出P，Q的坐标之间的关系式，并表示为
（3）将 代入f（s，t）=0，即可得所求的轨迹方程.
同时，须注意动点在已知曲线上运动的特殊位置，避免漏解。
（五）参数法
根据给定的轨迹条件，用一个中间变量（参数）分别表示这个动点的横、纵坐标，从而间接地吧动点坐标x，y联系起来，得到动点轨迹的参数方程，然后消掉参数，从而得到动点轨迹的普通方程。
例5：设椭圆 ，过点M（0，1）的直线ι交椭圆于A、B，O为坐标原点，点P满足 ，当ι绕着M旋转时，求动点P的轨迹方程。
解析：直线ι过点M（0，1），设其斜率为k，则直线ι的方程为y=kx+1，
记A（x1，y1），B（x2，y2），由题设可得点A、B的坐标（x1，y1）（x2，y2）
是方程组 的解，其方程组中消取y得（4+k2）x2+2kx-3=0
设点P为（x，y），则P点的轨迹参数方程为 （k为参数）
消去参数k得：4x2+y2-y=0
当斜率k不存在时，A、B的中为原点（0，0）也满足上述方程，
故：动点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0
思维感悟：用参数法时，应考虑所选的参数与坐标x，y关系比较明显，容易列出方程，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等。并须考虑参数限制的条件而确定参数的范围，从而确定轨迹方程的范围。
（六）交轨法
若动点是两条动曲线（含直线）的交点，则可恰当的引入一个或几个参数，写出动曲线的方程，消去参数，即可求得所求的轨迹方程.这种方法叫交轨法.
例6 如图，椭圆 与x轴的交点为A（2，0），B（-2，0），与y轴平行的直线交该椭圆于不同的两点M，N，试求直线AM，BN的交点Q的轨迹方程.
解析：直线MN的方程为x=x1，设M和N的坐标分别为（x1=y1），（x1=-y1），则 ，即 .
∵M，N为不同的两点，∴x1≠±2，直线AM，BN的方程分别为
因为点Q的坐标满足上式，所以将它们相乘可得 ，
将 代入上式可得 ，即 .
又∵交点Q不可能在x轴上，∴y≠0.
∴交点Q的轨迹方程是 .
交点Q不可能在x轴上，去掉（2，0），（-2，0）两点，确保轨迹的纯粹性不容忽视.
思维感悟：交轨法是参数法的简单处理，应用时可选择适当的参数，表示出两条动曲线的方程，从而利用参数法消参，得轨迹方程。当题目没有给出坐标系时，要先建立适当的坐标系，以便于列出方程和计算。
四、结束语
求点的轨迹方程，除了上述的几种常用的方法，还有其他方法，如利用复平面，根据复数的性质求轨迹方程；运用平面几何的轨迹定理和向量知识求轨迹方程；利用极坐标求轨迹方程等等。无论用什么方法，它们都不是孤立的，在解决同一个问题时往往是几种方法相辅为用，如交軌法同时就用了参数法；而且用一个问题也会有多种不同解法。在求轨迹方程中要灵活运用各种方法。
确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应准确理解题意，挖掘隐含条件；并且要全面考虑各种情形；推理要严密，方程化简要等价；以及数形结合时，查“漏”补“缺”，以确保轨迹的纯粹性和完备性。
[参考文献]
[1]刘连璞，平面解析几何方法与研究. 北京大学出版社，1999
[2]宋建春.点的轨迹问题. 科学大众（科学教育），2010.03
[3]赵光辉.简单的轨迹方程与曲线的交点.考试（高考数学版）.2009.6
（作者单位：浙江省建德市寿昌中学）