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设D是R^2中至少包含三个边界点的单连通区域,对任意x,y∈D,αD(x,y)表示D中关于x,y两点的Apollonian度量.1998年A.F.Beardon猜测:若.f:D→D是Apollonian等距映射,则f必是D上的Moebius变换.在该文中作者对D是圆的情况肯定并证明了A.F.Beardon的上述猜想。