摘 要：本文对拉格朗日中值定理进行了叙述，然后举例说明拉格朗日中值定理在证明不等式，证明单调性，证明一致连续，证明导数极限中的应用。
　　关键词：拉格朗日中值定理;不等式;一致连续;导数极限
　　【中图分类号】O175.55          【文献标识码】A
　　函数的导数反映了函数在一点附近的局部性质，但要利用导数来推断函数在区间上的整体性质，还需借助于微分学基本定理. 微分学基本定理包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。微分中值定理可应用于解决下列问题：判断可导函数在给定区间内根的存在性和根的个数;对于给定的可微函数得到相应的中值公式，并可证明某些等式和不等式;推出可导函数的某些整体性质，如单调性，有界性，一致连续性，以及某些导数极限的性质;推导泰勒公式和求不定式极限的洛必达法则.
　　1. 拉格朗日中值定理
　　定理1 若函数满足下列条件：
　　（1）在闭区间[a，b]上连续;（2）在开区间（a，b）内可导，
　　则在（a，b）内至少存在一点，使得                （1）
　　公式（1）稱为拉格朗日公式，它还有下面几种等价表示形式，可根据不同场合灵活选用：
　　拉格朗日公式无论对于a>b还是b>a都成立，而则是介于a与b之间的某一定数.而（3）、（4）两式的特点，在于把中值点表示成了，使得不论a，b 为何值，总可为小于1的某一正数.
　　拉格朗日中值定理的几何意义是，在每点都有切线的曲线上，至少存在一条切线平行于两个端点的连线.
　　拉格朗日中值定理给出函数与其导函数之间的一种关系，因此可用来从导函数的某些信息得到函数本身的某些性质.
　　2. 应用拉格朗日中值定理证明不等式
　　例1证明：对一切成立不等式
　　证明 设，由拉格朗日中值定理，存在，使得
　　从而得到所要证明的结论.
　　3. 应用拉格朗日中值定理证明函数的单调性
　　定理2 设函数在区间上可导，则在上递增（减）的充要条件是
　　证明 若为上的增函数，则对每个，当时，有
　　
　　当时，得.
　　反之，若在区间上恒有，则对，由拉格朗日中值定理，，使得
　　故在上为增函数.
　　4. 应用拉格朗日中值定理证明一致连续性
　　例2设函数在区间上可导且在上有界，证明在上一致连续.
　　证明因为在上有界，所以存在，使得
　　对于任意的，取，则时，有
　　其中介于之间，于是在上一致连续.
　　5. 应用拉格朗日中值定理证明导数极限定理
　　例3 设函数在点的某领域内连续，在内可导，且存在，则在处可导，且
　　证明 按左右导数证明.
　　（1） 任取，在上满足拉格朗日定理条件，则，使得
　　
　　由于介于之间，当时有，则
　　 （2）同理可得
　　又因为存在，所以
　　从而，即
　　参考文献：
　　[1]华东师范大学数学系. 数学分析 [M].北京：高等教育出版社， 2001.
　　[2]刘玉琏，傅沛仁. 数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，1997.
　　[3]方企勤，林源渠.数学分析习题课教材[M].北京：高等教育出版社，2000.
　　[4]吴良森，毛羽辉. 数学分析习题精解[M].北京：科学出版社，2002.