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【摘要】 本文将二元二次函数极值的充分条件作了进一步的完善，主要给出了二元二次函数在H=AC-B2=0的情况下取极值的充分条件，从而对二元二次函数在此情况下能否取到极值可作出正确的判断。
【关键词】 二元函数；二次函数；极大值；极小值；充分条件
二元二次函数是一类重要的函数，在线性规划，最优化理论等诸多领域有着广泛的应用。尤其是二元二次函数的极值极为重要，因此对二元二次函数的极值的研究是非常必要的。在现行教材中几乎都给出了二元函数的无条件极值的判定定理。然而对AC-B2=0时函数是否取到极值都未讨论。本文在教材和已有文献的基础上，得出了二元二次函数的一般判别法，解决了一些二元二次函数的极值的判断问题。
对二元函数极值的判断有如下的定理：
定理一：设P0（x0，y0）为驻点，在P0（x0，y0）的某个邻域内Z=f（x，y）有二阶连续偏导数，令A=fx2（x0，y0），B=fxy（x0，y0），C=fy2（x0，y0）
H=〖JB（|〗A BB C〖JB）|〗=AC-B2则
（1） 当H>0且A<0时，f（x，y）在P0（x0，y0）为极大值；
（2） 当H>0且A>0时，f（x，y）在P0（x0，y0）为极小值；
（3） 当H<0时，f（x，y）在P0（x0，y0）无极值；
（4） 当H=0时 ， 需进一步判断
本文就针对H=0的情况，只在二元二次函数中讨论极值。
在教材中是通过判断△f=f（x0+△x，y0+△y）-f（（x0，y0））的符号来判P0（x0，y0）是否为极值点。本文也是采取这种方法对AC-B2=0的情况进行进一步地判定。我们得到二元二次函数的极值的如下的结论，为书写方便，我们引入如下的记号：
A=fx2（x0，y0） B=fxy（x0，y0） C=fy2（x0，y0）
定理二：设P0（x0，y0）为驻点，在P0（x0，y0）的某个邻域内二元二次函数Z=f（x，y）有二阶连续偏导数，
当H=AC-B2=0时
（1）当B≠0时，即A、C同号时：
（ⅰ） 当A>0时，f（x，y）在P0（x0，y0）为极小值；
（ⅱ） 当A<0时， 在P0（x0，y0）为极大值；
（2）当B=0时，则A、C中至少有一个为零，不妨设C=0，则K=A△x2
（ⅰ） 当A>0时，f（x，y）在P0（x0，y0）为极小值；
（ⅱ） 当A<0时， 在P0（x0，y0）为极大值；
（ⅲ） 当A=0时，K=0此时△f>0的符号取决于α△x2+2β△x△y+η△y2的符号.
证明定理一：
证法一：为了书写方便，我们引入下面的符号：
A=fx2（x0，y0） B=fxy（x0，y0） C=fy2（x0，y0）
则有fx2（x0+θ△x，y0+θ△y）=A+α，α→0（△x→0，△y→0）
fxy（x0+θ△x，y0+θ△y）=B+β，β→0（△x→0，△y→0）
fy2（x0+θ△x，y0+θ△y）=C+η，η→0（△x→0，△y→0）
若f（x，y）的一切二阶导数连续，由泰勒公式就有
△f=f（x0+△x，y0+△y）-f（x0，y0）
=12[fx2（x0+θ△x，y0+θ△y）△x2+2fxy（x0+θ△x，y0+θ△y）△x△y+fy2（x0+θ△x，y0+θ△y）△y2]
=12（A△x2+2B△x△y+C△y2）+12（α△x2+2β△x△y+η△y）
记 K=A△x2+2B△x△y+C△y2
当k≠0时，△f的符号取决于K的符号；
当k=0时，△f的符号取决于α△x2+2β△x△y+η△y2。
因为K=A△x2+2B△x△y+C△y2它是一个关于△x， △y的二元函数，当把△x（或△y）视为常量时，K=A△x2+2B△x△y+C△y2是一个关于△x（或△y）的一元二次方程。由一元二次方程的韦达定理及其相关结论，我们有：
△=（2B△y）2-4AC△y2=4（B2-AC）△y2
而H=AC-B2=0
所以 △=0，即K=A△x2+2B△x△y+C△y2是一个关于△x的完全平方式
即K=A〖JB（（〗△x+BA△y〖JB））〗
所以 （1）当B≠0时，即A、C同号时：
（ⅰ） 当A>0时，K>0，即△f>0恒成立，此时P0（x0，y0）为极小值点
（ⅱ） 当A<0时，K<0，即△f<0恒成立，此时P0（x0，y0）为极大值点；
（2）当B=0时时，则A、C中至少有一个为零，不妨设C=0，则K=A△y2
（ⅰ）当A>0时，K>0，即△f>0恒成立，此时P0（x0，y0）为极小值点
（ⅱ） 当A<0时，K<0，即△f<0恒成立，此时P0（x0，y0）为极大值点；
（ⅲ） 当A=0时，K=0此时△f的符号取决于α△x2+2β△x△y+η△y2的符号。
综上所述结论得证。
证法二：K=A△x2+2B△x△y+C△y2它仍是一个关于△x， △y的二元函数，当把△y视为常量时，K是一个关于△x的一元函数，根据一元函数的极值问题，我们有：
K△x=2A△x+2B△y K△x2=2A
（1） 当B≠0时，即A、C同号时
（ⅰ） 若A>0，K有极小值且趋于零，即△f>0恒成立，此时P0（x0，y0）为极小值点；
（ⅱ） 若A<0，有极小值且趋于零，即△f<0恒成立，此时P0（x0，y0）为极大值点；
（2）当B=0时，则A、C中至少有一个为零，不妨设C=0，则K=A△x2
（ⅰ） 若A>0有极小值且趋于零，即△f>0恒成立，此时P0（x0，y0）为极小值点；
（ⅱ） 若A<0，有极小值且趋于零，即△f<0恒成立，此时P0（x0，y0）为极大值点；
（ⅲ） 若A=0时，K=0，此时△f的符号取决于α△x2+2β△x△y+η△y2的符号。
例：
求f（x，y）=x2-2xy+y2+2x-2y+5的极值。
解：因为 fx=2x-2y+2 fy=2y-2x-2
令fx=fy=0 得x-y+1=0
即f（x，y）可能的极值在x-y+1=0这条直线上
又因为fx2=2 fxy fy2=2，
即A=2，C=2，B=-2
所以 H=AC-B2=0
又因为B=-2≠0，A=2>0
故由定理知：f（x，y）在x-y+1=0这条直线上取得极小值。
本文只是对二元二次函数的极值问题作了相关的讨论，对于二元函数中非二次的函数一般都不适用，这是本文的局限性。但是本文对二元二次函数的极值的判定方法是较为简单的，能够让人们迅速地极值点作出判断。
【参考文献】
[1] 陈传璋等，复旦大学数学系.数学分析上册（第二版），北京：高等教育出版社，1983
[2] 陈传璋等，复旦大学数学系.数学分析下册（第二版），北京：高等教育出版社，1983
[3] 王建梅等，二元函数极值充分条件的评注 [C].工科数学，18（6），117-221，2002
[4] 曹恒， 二元函数极值的充分条件的一点补充 [A].衡阳师范学院学报（自然科学）， 25（3），15-16，2004
[5] 二元二次函数极值问题的一种错误解法的反思 芮强《中学数学教学参考：上半月高中》 2011年第7期 21
收稿日期：2013-12-15
【关键词】 二元函数；二次函数；极大值；极小值；充分条件
二元二次函数是一类重要的函数，在线性规划，最优化理论等诸多领域有着广泛的应用。尤其是二元二次函数的极值极为重要，因此对二元二次函数的极值的研究是非常必要的。在现行教材中几乎都给出了二元函数的无条件极值的判定定理。然而对AC-B2=0时函数是否取到极值都未讨论。本文在教材和已有文献的基础上，得出了二元二次函数的一般判别法，解决了一些二元二次函数的极值的判断问题。
对二元函数极值的判断有如下的定理：
定理一：设P0（x0，y0）为驻点，在P0（x0，y0）的某个邻域内Z=f（x，y）有二阶连续偏导数，令A=fx2（x0，y0），B=fxy（x0，y0），C=fy2（x0，y0）
H=〖JB（|〗A BB C〖JB）|〗=AC-B2则
（1） 当H>0且A<0时，f（x，y）在P0（x0，y0）为极大值；
（2） 当H>0且A>0时，f（x，y）在P0（x0，y0）为极小值；
（3） 当H<0时，f（x，y）在P0（x0，y0）无极值；
（4） 当H=0时 ， 需进一步判断
本文就针对H=0的情况，只在二元二次函数中讨论极值。
在教材中是通过判断△f=f（x0+△x，y0+△y）-f（（x0，y0））的符号来判P0（x0，y0）是否为极值点。本文也是采取这种方法对AC-B2=0的情况进行进一步地判定。我们得到二元二次函数的极值的如下的结论，为书写方便，我们引入如下的记号：
A=fx2（x0，y0） B=fxy（x0，y0） C=fy2（x0，y0）
定理二：设P0（x0，y0）为驻点，在P0（x0，y0）的某个邻域内二元二次函数Z=f（x，y）有二阶连续偏导数，
当H=AC-B2=0时
（1）当B≠0时，即A、C同号时：
（ⅰ） 当A>0时，f（x，y）在P0（x0，y0）为极小值；
（ⅱ） 当A<0时， 在P0（x0，y0）为极大值；
（2）当B=0时，则A、C中至少有一个为零，不妨设C=0，则K=A△x2
（ⅰ） 当A>0时，f（x，y）在P0（x0，y0）为极小值；
（ⅱ） 当A<0时， 在P0（x0，y0）为极大值；
（ⅲ） 当A=0时，K=0此时△f>0的符号取决于α△x2+2β△x△y+η△y2的符号.
证明定理一：
证法一：为了书写方便，我们引入下面的符号：
A=fx2（x0，y0） B=fxy（x0，y0） C=fy2（x0，y0）
则有fx2（x0+θ△x，y0+θ△y）=A+α，α→0（△x→0，△y→0）
fxy（x0+θ△x，y0+θ△y）=B+β，β→0（△x→0，△y→0）
fy2（x0+θ△x，y0+θ△y）=C+η，η→0（△x→0，△y→0）
若f（x，y）的一切二阶导数连续，由泰勒公式就有
△f=f（x0+△x，y0+△y）-f（x0，y0）
=12[fx2（x0+θ△x，y0+θ△y）△x2+2fxy（x0+θ△x，y0+θ△y）△x△y+fy2（x0+θ△x，y0+θ△y）△y2]
=12（A△x2+2B△x△y+C△y2）+12（α△x2+2β△x△y+η△y）
记 K=A△x2+2B△x△y+C△y2
当k≠0时，△f的符号取决于K的符号；
当k=0时，△f的符号取决于α△x2+2β△x△y+η△y2。
因为K=A△x2+2B△x△y+C△y2它是一个关于△x， △y的二元函数，当把△x（或△y）视为常量时，K=A△x2+2B△x△y+C△y2是一个关于△x（或△y）的一元二次方程。由一元二次方程的韦达定理及其相关结论，我们有：
△=（2B△y）2-4AC△y2=4（B2-AC）△y2
而H=AC-B2=0
所以 △=0，即K=A△x2+2B△x△y+C△y2是一个关于△x的完全平方式
即K=A〖JB（（〗△x+BA△y〖JB））〗
所以 （1）当B≠0时，即A、C同号时：
（ⅰ） 当A>0时，K>0，即△f>0恒成立，此时P0（x0，y0）为极小值点
（ⅱ） 当A<0时，K<0，即△f<0恒成立，此时P0（x0，y0）为极大值点；
（2）当B=0时时，则A、C中至少有一个为零，不妨设C=0，则K=A△y2
（ⅰ）当A>0时，K>0，即△f>0恒成立，此时P0（x0，y0）为极小值点
（ⅱ） 当A<0时，K<0，即△f<0恒成立，此时P0（x0，y0）为极大值点；
（ⅲ） 当A=0时，K=0此时△f的符号取决于α△x2+2β△x△y+η△y2的符号。
综上所述结论得证。
证法二：K=A△x2+2B△x△y+C△y2它仍是一个关于△x， △y的二元函数，当把△y视为常量时，K是一个关于△x的一元函数，根据一元函数的极值问题，我们有：
K△x=2A△x+2B△y K△x2=2A
（1） 当B≠0时，即A、C同号时
（ⅰ） 若A>0，K有极小值且趋于零，即△f>0恒成立，此时P0（x0，y0）为极小值点；
（ⅱ） 若A<0，有极小值且趋于零，即△f<0恒成立，此时P0（x0，y0）为极大值点；
（2）当B=0时，则A、C中至少有一个为零，不妨设C=0，则K=A△x2
（ⅰ） 若A>0有极小值且趋于零，即△f>0恒成立，此时P0（x0，y0）为极小值点；
（ⅱ） 若A<0，有极小值且趋于零，即△f<0恒成立，此时P0（x0，y0）为极大值点；
（ⅲ） 若A=0时，K=0，此时△f的符号取决于α△x2+2β△x△y+η△y2的符号。
例：
求f（x，y）=x2-2xy+y2+2x-2y+5的极值。
解：因为 fx=2x-2y+2 fy=2y-2x-2
令fx=fy=0 得x-y+1=0
即f（x，y）可能的极值在x-y+1=0这条直线上
又因为fx2=2 fxy fy2=2，
即A=2，C=2，B=-2
所以 H=AC-B2=0
又因为B=-2≠0，A=2>0
故由定理知：f（x，y）在x-y+1=0这条直线上取得极小值。
本文只是对二元二次函数的极值问题作了相关的讨论，对于二元函数中非二次的函数一般都不适用，这是本文的局限性。但是本文对二元二次函数的极值的判定方法是较为简单的，能够让人们迅速地极值点作出判断。
【参考文献】
[1] 陈传璋等，复旦大学数学系.数学分析上册（第二版），北京：高等教育出版社，1983
[2] 陈传璋等，复旦大学数学系.数学分析下册（第二版），北京：高等教育出版社，1983
[3] 王建梅等，二元函数极值充分条件的评注 [C].工科数学，18（6），117-221，2002
[4] 曹恒， 二元函数极值的充分条件的一点补充 [A].衡阳师范学院学报（自然科学）， 25（3），15-16，2004
[5] 二元二次函数极值问题的一种错误解法的反思 芮强《中学数学教学参考：上半月高中》 2011年第7期 21
收稿日期：2013-12-15