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【摘要】 本文将二元二次函数极值的充分条件作了进一步的完善,主要给出了二元二次函数在H=AC-B2=0的情况下取极值的充分条件,从而对二元二次函数在此情况下能否取到极值可作出正确的判断。
【关键词】 二元函数;二次函数;极大值;极小值;充分条件
二元二次函数是一类重要的函数,在线性规划,最优化理论等诸多领域有着广泛的应用。尤其是二元二次函数的极值极为重要,因此对二元二次函数的极值的研究是非常必要的。在现行教材中几乎都给出了二元函数的无条件极值的判定定理。然而对AC-B2=0时函数是否取到极值都未讨论。本文在教材和已有文献的基础上,得出了二元二次函数的一般判别法,解决了一些二元二次函数的极值的判断问题。
对二元函数极值的判断有如下的定理:
定理一:设P0(x0,y0)为驻点,在P0(x0,y0)的某个邻域内Z=f(x,y)有二阶连续偏导数,令A=fx2(x0,y0),B=fxy(x0,y0),C=fy2(x0,y0)
H=〖JB(|〗A BB C〖JB)|〗=AC-B2则
(1) 当H>0且A<0时,f(x,y)在P0(x0,y0)为极大值;
(2) 当H>0且A>0时,f(x,y)在P0(x0,y0)为极小值;
(3) 当H<0时,f(x,y)在P0(x0,y0)无极值;
(4) 当H=0时 , 需进一步判断
本文就针对H=0的情况,只在二元二次函数中讨论极值。
在教材中是通过判断△f=f(x0+△x,y0+△y)-f((x0,y0))的符号来判P0(x0,y0)是否为极值点。本文也是采取这种方法对AC-B2=0的情况进行进一步地判定。我们得到二元二次函数的极值的如下的结论,为书写方便,我们引入如下的记号:
A=fx2(x0,y0) B=fxy(x0,y0) C=fy2(x0,y0)
定理二:设P0(x0,y0)为驻点,在P0(x0,y0)的某个邻域内二元二次函数Z=f(x,y)有二阶连续偏导数,
当H=AC-B2=0时
(1)当B≠0时,即A、C同号时:
(ⅰ) 当A>0时,f(x,y)在P0(x0,y0)为极小值;
(ⅱ) 当A<0时, 在P0(x0,y0)为极大值;
(2)当B=0时,则A、C中至少有一个为零,不妨设C=0,则K=A△x2
(ⅰ) 当A>0时,f(x,y)在P0(x0,y0)为极小值;
(ⅱ) 当A<0时, 在P0(x0,y0)为极大值;
(ⅲ) 当A=0时,K=0此时△f>0的符号取决于α△x2+2β△x△y+η△y2的符号.
证明定理一:
证法一:为了书写方便,我们引入下面的符号:
A=fx2(x0,y0) B=fxy(x0,y0) C=fy2(x0,y0)
则有fx2(x0+θ△x,y0+θ△y)=A+α,α→0(△x→0,△y→0)
fxy(x0+θ△x,y0+θ△y)=B+β,β→0(△x→0,△y→0)
fy2(x0+θ△x,y0+θ△y)=C+η,η→0(△x→0,△y→0)
若f(x,y)的一切二阶导数连续,由泰勒公式就有
△f=f(x0+△x,y0+△y)-f(x0,y0)
=12[fx2(x0+θ△x,y0+θ△y)△x2+2fxy(x0+θ△x,y0+θ△y)△x△y+fy2(x0+θ△x,y0+θ△y)△y2]
=12(A△x2+2B△x△y+C△y2)+12(α△x2+2β△x△y+η△y)
记 K=A△x2+2B△x△y+C△y2
当k≠0时,△f的符号取决于K的符号;
当k=0时,△f的符号取决于α△x2+2β△x△y+η△y2。
因为K=A△x2+2B△x△y+C△y2它是一个关于△x, △y的二元函数,当把△x(或△y)视为常量时,K=A△x2+2B△x△y+C△y2是一个关于△x(或△y)的一元二次方程。由一元二次方程的韦达定理及其相关结论,我们有:
△=(2B△y)2-4AC△y2=4(B2-AC)△y2
而H=AC-B2=0
所以 △=0,即K=A△x2+2B△x△y+C△y2是一个关于△x的完全平方式
即K=A〖JB((〗△x+BA△y〖JB))〗
所以 (1)当B≠0时,即A、C同号时:
(ⅰ) 当A>0时,K>0,即△f>0恒成立,此时P0(x0,y0)为极小值点
(ⅱ) 当A<0时,K<0,即△f<0恒成立,此时P0(x0,y0)为极大值点;
(2)当B=0时时,则A、C中至少有一个为零,不妨设C=0,则K=A△y2
(ⅰ)当A>0时,K>0,即△f>0恒成立,此时P0(x0,y0)为极小值点
(ⅱ) 当A<0时,K<0,即△f<0恒成立,此时P0(x0,y0)为极大值点;
(ⅲ) 当A=0时,K=0此时△f的符号取决于α△x2+2β△x△y+η△y2的符号。
综上所述结论得证。
证法二:K=A△x2+2B△x△y+C△y2它仍是一个关于△x, △y的二元函数,当把△y视为常量时,K是一个关于△x的一元函数,根据一元函数的极值问题,我们有:
K△x=2A△x+2B△y K△x2=2A
(1) 当B≠0时,即A、C同号时
(ⅰ) 若A>0,K有极小值且趋于零,即△f>0恒成立,此时P0(x0,y0)为极小值点;
(ⅱ) 若A<0,有极小值且趋于零,即△f<0恒成立,此时P0(x0,y0)为极大值点;
(2)当B=0时,则A、C中至少有一个为零,不妨设C=0,则K=A△x2
(ⅰ) 若A>0有极小值且趋于零,即△f>0恒成立,此时P0(x0,y0)为极小值点;
(ⅱ) 若A<0,有极小值且趋于零,即△f<0恒成立,此时P0(x0,y0)为极大值点;
(ⅲ) 若A=0时,K=0,此时△f的符号取决于α△x2+2β△x△y+η△y2的符号。
例:
求f(x,y)=x2-2xy+y2+2x-2y+5的极值。
解:因为 fx=2x-2y+2 fy=2y-2x-2
令fx=fy=0 得x-y+1=0
即f(x,y)可能的极值在x-y+1=0这条直线上
又因为fx2=2 fxy fy2=2,
即A=2,C=2,B=-2
所以 H=AC-B2=0
又因为B=-2≠0,A=2>0
故由定理知:f(x,y)在x-y+1=0这条直线上取得极小值。
本文只是对二元二次函数的极值问题作了相关的讨论,对于二元函数中非二次的函数一般都不适用,这是本文的局限性。但是本文对二元二次函数的极值的判定方法是较为简单的,能够让人们迅速地极值点作出判断。
【参考文献】
[1] 陈传璋等,复旦大学数学系.数学分析上册(第二版),北京:高等教育出版社,1983
[2] 陈传璋等,复旦大学数学系.数学分析下册(第二版),北京:高等教育出版社,1983
[3] 王建梅等,二元函数极值充分条件的评注 [C].工科数学,18(6),117-221,2002
[4] 曹恒, 二元函数极值的充分条件的一点补充 [A].衡阳师范学院学报(自然科学), 25(3),15-16,2004
[5] 二元二次函数极值问题的一种错误解法的反思 芮强《中学数学教学参考:上半月高中》 2011年第7期 21
收稿日期:2013-12-15
【关键词】 二元函数;二次函数;极大值;极小值;充分条件
二元二次函数是一类重要的函数,在线性规划,最优化理论等诸多领域有着广泛的应用。尤其是二元二次函数的极值极为重要,因此对二元二次函数的极值的研究是非常必要的。在现行教材中几乎都给出了二元函数的无条件极值的判定定理。然而对AC-B2=0时函数是否取到极值都未讨论。本文在教材和已有文献的基础上,得出了二元二次函数的一般判别法,解决了一些二元二次函数的极值的判断问题。
对二元函数极值的判断有如下的定理:
定理一:设P0(x0,y0)为驻点,在P0(x0,y0)的某个邻域内Z=f(x,y)有二阶连续偏导数,令A=fx2(x0,y0),B=fxy(x0,y0),C=fy2(x0,y0)
H=〖JB(|〗A BB C〖JB)|〗=AC-B2则
(1) 当H>0且A<0时,f(x,y)在P0(x0,y0)为极大值;
(2) 当H>0且A>0时,f(x,y)在P0(x0,y0)为极小值;
(3) 当H<0时,f(x,y)在P0(x0,y0)无极值;
(4) 当H=0时 , 需进一步判断
本文就针对H=0的情况,只在二元二次函数中讨论极值。
在教材中是通过判断△f=f(x0+△x,y0+△y)-f((x0,y0))的符号来判P0(x0,y0)是否为极值点。本文也是采取这种方法对AC-B2=0的情况进行进一步地判定。我们得到二元二次函数的极值的如下的结论,为书写方便,我们引入如下的记号:
A=fx2(x0,y0) B=fxy(x0,y0) C=fy2(x0,y0)
定理二:设P0(x0,y0)为驻点,在P0(x0,y0)的某个邻域内二元二次函数Z=f(x,y)有二阶连续偏导数,
当H=AC-B2=0时
(1)当B≠0时,即A、C同号时:
(ⅰ) 当A>0时,f(x,y)在P0(x0,y0)为极小值;
(ⅱ) 当A<0时, 在P0(x0,y0)为极大值;
(2)当B=0时,则A、C中至少有一个为零,不妨设C=0,则K=A△x2
(ⅰ) 当A>0时,f(x,y)在P0(x0,y0)为极小值;
(ⅱ) 当A<0时, 在P0(x0,y0)为极大值;
(ⅲ) 当A=0时,K=0此时△f>0的符号取决于α△x2+2β△x△y+η△y2的符号.
证明定理一:
证法一:为了书写方便,我们引入下面的符号:
A=fx2(x0,y0) B=fxy(x0,y0) C=fy2(x0,y0)
则有fx2(x0+θ△x,y0+θ△y)=A+α,α→0(△x→0,△y→0)
fxy(x0+θ△x,y0+θ△y)=B+β,β→0(△x→0,△y→0)
fy2(x0+θ△x,y0+θ△y)=C+η,η→0(△x→0,△y→0)
若f(x,y)的一切二阶导数连续,由泰勒公式就有
△f=f(x0+△x,y0+△y)-f(x0,y0)
=12[fx2(x0+θ△x,y0+θ△y)△x2+2fxy(x0+θ△x,y0+θ△y)△x△y+fy2(x0+θ△x,y0+θ△y)△y2]
=12(A△x2+2B△x△y+C△y2)+12(α△x2+2β△x△y+η△y)
记 K=A△x2+2B△x△y+C△y2
当k≠0时,△f的符号取决于K的符号;
当k=0时,△f的符号取决于α△x2+2β△x△y+η△y2。
因为K=A△x2+2B△x△y+C△y2它是一个关于△x, △y的二元函数,当把△x(或△y)视为常量时,K=A△x2+2B△x△y+C△y2是一个关于△x(或△y)的一元二次方程。由一元二次方程的韦达定理及其相关结论,我们有:
△=(2B△y)2-4AC△y2=4(B2-AC)△y2
而H=AC-B2=0
所以 △=0,即K=A△x2+2B△x△y+C△y2是一个关于△x的完全平方式
即K=A〖JB((〗△x+BA△y〖JB))〗
所以 (1)当B≠0时,即A、C同号时:
(ⅰ) 当A>0时,K>0,即△f>0恒成立,此时P0(x0,y0)为极小值点
(ⅱ) 当A<0时,K<0,即△f<0恒成立,此时P0(x0,y0)为极大值点;
(2)当B=0时时,则A、C中至少有一个为零,不妨设C=0,则K=A△y2
(ⅰ)当A>0时,K>0,即△f>0恒成立,此时P0(x0,y0)为极小值点
(ⅱ) 当A<0时,K<0,即△f<0恒成立,此时P0(x0,y0)为极大值点;
(ⅲ) 当A=0时,K=0此时△f的符号取决于α△x2+2β△x△y+η△y2的符号。
综上所述结论得证。
证法二:K=A△x2+2B△x△y+C△y2它仍是一个关于△x, △y的二元函数,当把△y视为常量时,K是一个关于△x的一元函数,根据一元函数的极值问题,我们有:
K△x=2A△x+2B△y K△x2=2A
(1) 当B≠0时,即A、C同号时
(ⅰ) 若A>0,K有极小值且趋于零,即△f>0恒成立,此时P0(x0,y0)为极小值点;
(ⅱ) 若A<0,有极小值且趋于零,即△f<0恒成立,此时P0(x0,y0)为极大值点;
(2)当B=0时,则A、C中至少有一个为零,不妨设C=0,则K=A△x2
(ⅰ) 若A>0有极小值且趋于零,即△f>0恒成立,此时P0(x0,y0)为极小值点;
(ⅱ) 若A<0,有极小值且趋于零,即△f<0恒成立,此时P0(x0,y0)为极大值点;
(ⅲ) 若A=0时,K=0,此时△f的符号取决于α△x2+2β△x△y+η△y2的符号。
例:
求f(x,y)=x2-2xy+y2+2x-2y+5的极值。
解:因为 fx=2x-2y+2 fy=2y-2x-2
令fx=fy=0 得x-y+1=0
即f(x,y)可能的极值在x-y+1=0这条直线上
又因为fx2=2 fxy fy2=2,
即A=2,C=2,B=-2
所以 H=AC-B2=0
又因为B=-2≠0,A=2>0
故由定理知:f(x,y)在x-y+1=0这条直线上取得极小值。
本文只是对二元二次函数的极值问题作了相关的讨论,对于二元函数中非二次的函数一般都不适用,这是本文的局限性。但是本文对二元二次函数的极值的判定方法是较为简单的,能够让人们迅速地极值点作出判断。
【参考文献】
[1] 陈传璋等,复旦大学数学系.数学分析上册(第二版),北京:高等教育出版社,1983
[2] 陈传璋等,复旦大学数学系.数学分析下册(第二版),北京:高等教育出版社,1983
[3] 王建梅等,二元函数极值充分条件的评注 [C].工科数学,18(6),117-221,2002
[4] 曹恒, 二元函数极值的充分条件的一点补充 [A].衡阳师范学院学报(自然科学), 25(3),15-16,2004
[5] 二元二次函数极值问题的一种错误解法的反思 芮强《中学数学教学参考:上半月高中》 2011年第7期 21
收稿日期:2013-12-15