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摘 要： 《2011版数学课程标准》要求：了解并证明圆内接四边形的对角互补.这是新课标的新增内容，在刚刚过去的2015年南京市中考试卷上，我们看到了这一圆周角定理推论的考察.作者今年仍然从事毕业班教学工作，在教学这一定理时较去年有了更深的体会.
关键词： 圆内接四边形 圆周角 转化 学生已有知识经验
一、课前预设
笔者在备课时，先从特殊情况出发，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，当BD是直径时，你能发现∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系？为什么？
每个学生先独立思考，然后请同学展示交流.
学生很容易发现：∠A=∠C=90°，再根据四边形内角和等于180°，得到∠ABC ∠ADC=360°.
设计思路：让学生自己思考，巩固了前面所学的圆周角相关知识，同时也告诉学生是用圆周角的知识解决问题，向学生渗透化归的数学思想.
再推广到一般情况，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，当BD不是直径时，你上面发现的∠A与∠C、∠ABC与∠ADC的数量关系是否依然成立？为什么？请同学们验证自己的猜想.
学生先独立思考，然后小组讨论交流，最后全班交流展示.
第一步：可以先量一量、想一想，提出猜想：对角互补.
第二步：能否转化成上面的特殊情况解决.
设计思路：将第2种情况转化为第1种情况，体现了从特殊到一般的转化的数学思想.
最后请你归纳总结上面的发现，你能否将结论表述出来？
让学生自己说圆的内接四边形的对角互补.
呈现三种语言.
设计思路：培养学生的归纳总结能力.
但是在实际教学过程中，第一环节进行得非常顺利，但是在第二环节上却出乎意料.
二、课堂生成
每个学生先独立思考，然后小组讨论，最后请同学们展示交流.
学生1：连接OA、OB、OC、OD，因为∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，又因为∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8=360°，所以∠1 ∠4 ∠5 ∠8=360°÷2=180°，即∠BAD ∠BCD=180°，∠ABC ∠ADC=360°-180°=180°.
此种证法将四边形分割成四个等腰三角形，利用角的相等关系和四边形内角和证明.
学生2：连接AC、BD，因为∠1=∠6，∠2=∠5，∠3=∠8，∠4=∠7，又因为∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8=360°，所以∠1 ∠4 ∠5 ∠8=360°÷2=180°，即∠BAD ∠BCD=180°，∠ABC ∠ADC=360°-180°=180°.
此种证法利用同弧所对圆周角相等得出角的相等关系.
学生3：因为∠A是劣弧BD所对的圆周角，∠C是优弧BAD所对的圆周角，两段弧合起来是一个整圆，度数是360°.所以∠A和∠C的度数和应该是弧的度数的一半，即∠A ∠C=360°÷2=180°，∠ABC ∠ADC=360°-180°=180°.
此种证法利用圆周角的度数与它所对的弧的度数关系进行证明.
随后，班上没有学生想出教师预设的证法.我只好进行了补充，将一般情况转化为特殊情况：延长DO，交⊙O于点E，连接AE和CE.
三、课后反思
课后，笔者对本节课的课堂预设和生成进行了整理和反思，又发现了一些新的东西.
1.简化证法
学生2的证明方法也可进一步简化：因为∠1 ∠2 ∠7 ∠8=180°，而∠2=∠5，∠4=∠7，所以∠1 ∠4 ∠5 ∠8=180°.
此种证法将对角互补转化为三角形的内角和.
2.分类讨论
在证明圆内接四边形对角互补时，教材、教师预设和课堂生成上是有瑕疵的.在一般情况下，圆内接四边形在圆内的位置应该分为三种情况：圆心在四边形内部、圆心在四边形一边上、圆心在四边形外部.而前面我们只考虑第一种情况，而后两种情况这四种证法是否同样适用？带着这个疑惑，我进行了思考.
通过研究发现，圆心在四边形一边上时，这四种证法都可行，并且比第一种情况的证明过程更简单.但是圆心在四边形外部时，有些复杂.我列出了四种证法的图形.
后三种图形的证法与前面所讲述的是一样的，但是第一种证法与前有点不太一样.
连接OA、OB、OC、OD，因为∠1=∠5，∠2=∠4 ∠5，∠3=∠6，∠7=∠8 ∠1，又因为∠2 ∠3 ∠4 ∠6 ∠7 ∠8=360°，所以∠4 ∠5 ∠6 ∠4 ∠6 ∠7 ∠7-∠1=360°，所以∠4 ∠1 ∠6 ∠4 ∠6 ∠7 ∠7-∠1=360°，所以2∠4 2∠6 2∠7=360°，所以∠4 ∠6 ∠7=360°即∠BAD ∠BCD=180°，∠ABC ∠ADC=360°-180°=180°.
四、感悟升华
布鲁姆曾说：“人们无法预料教学所产生的成果的全部范围，没有预料不到的成果，教学就不成为一种艺术.”
在本节课的证明圆内接四边形对角互补这一教学环节中，教师本想通过特殊情况过渡到一般情况，希望学生通过作辅助线的方法将一般情况转化为特殊情况处理，把复杂图形转化为简单图形，但是本想情理之中，却是意料之外.学生并没有这样想，同样是从已有的知识经验出发，利用四边形的内角和、等腰三角形、圆周角等性质证明这个定理，不但活跃了课堂气氛，还启迪了老师的思路.这种教学效果肯定要比多讲几个例题要好很多.
除此之外，我也在想：学生为什么会先想到这三种证明方法呢？这可能与他们前面学习、练习有很大的关系.四边形的内角和、等腰三角形的相关性质是学生常用的解题依据，而圆周角定理、连接半径这种辅助线刚刚学过，最近一直在进行这方面的练习，这些学生都非常熟悉，所以在思考一个新的问题时，首先想到这些方法，也是顺其自然的.而教材上出示的证明方法（也就是教师的预设）是作出直径，然后转化为特殊情况.这种方法在前一节课（圆周角定理的推论）中出现过，但是对于刚刚接触圆的学生来讲，这种方法还是比较陌生的，所以没有想到.
数学教师在教学中知道要依据学情开展教学行为.但是学情并不简单地认为是学生已有的知识经验，还要考虑你所教的学生在已有的知识经验中哪些是非常熟悉的，哪些是不熟悉的、陌生的，而这正是学生思考新问题的起点，只有把握好这一点，活用教材，做出适合学情的教学设计，才能激发学生的求知欲望，强化学生的学习效果.
参考文献：
[1]邱云.掌好课堂引导之舵.中学数学教学参考，2015年第5期（中旬）.
关键词： 圆内接四边形 圆周角 转化 学生已有知识经验
一、课前预设
笔者在备课时，先从特殊情况出发，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，当BD是直径时，你能发现∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系？为什么？
每个学生先独立思考，然后请同学展示交流.
学生很容易发现：∠A=∠C=90°，再根据四边形内角和等于180°，得到∠ABC ∠ADC=360°.
设计思路：让学生自己思考，巩固了前面所学的圆周角相关知识，同时也告诉学生是用圆周角的知识解决问题，向学生渗透化归的数学思想.
再推广到一般情况，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，当BD不是直径时，你上面发现的∠A与∠C、∠ABC与∠ADC的数量关系是否依然成立？为什么？请同学们验证自己的猜想.
学生先独立思考，然后小组讨论交流，最后全班交流展示.
第一步：可以先量一量、想一想，提出猜想：对角互补.
第二步：能否转化成上面的特殊情况解决.
设计思路：将第2种情况转化为第1种情况，体现了从特殊到一般的转化的数学思想.
最后请你归纳总结上面的发现，你能否将结论表述出来？
让学生自己说圆的内接四边形的对角互补.
呈现三种语言.
设计思路：培养学生的归纳总结能力.
但是在实际教学过程中，第一环节进行得非常顺利，但是在第二环节上却出乎意料.
二、课堂生成
每个学生先独立思考，然后小组讨论，最后请同学们展示交流.
学生1：连接OA、OB、OC、OD，因为∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，又因为∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8=360°，所以∠1 ∠4 ∠5 ∠8=360°÷2=180°，即∠BAD ∠BCD=180°，∠ABC ∠ADC=360°-180°=180°.
此种证法将四边形分割成四个等腰三角形，利用角的相等关系和四边形内角和证明.
学生2：连接AC、BD，因为∠1=∠6，∠2=∠5，∠3=∠8，∠4=∠7，又因为∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8=360°，所以∠1 ∠4 ∠5 ∠8=360°÷2=180°，即∠BAD ∠BCD=180°，∠ABC ∠ADC=360°-180°=180°.
此种证法利用同弧所对圆周角相等得出角的相等关系.
学生3：因为∠A是劣弧BD所对的圆周角，∠C是优弧BAD所对的圆周角，两段弧合起来是一个整圆，度数是360°.所以∠A和∠C的度数和应该是弧的度数的一半，即∠A ∠C=360°÷2=180°，∠ABC ∠ADC=360°-180°=180°.
此种证法利用圆周角的度数与它所对的弧的度数关系进行证明.
随后，班上没有学生想出教师预设的证法.我只好进行了补充，将一般情况转化为特殊情况：延长DO，交⊙O于点E，连接AE和CE.
三、课后反思
课后，笔者对本节课的课堂预设和生成进行了整理和反思，又发现了一些新的东西.
1.简化证法
学生2的证明方法也可进一步简化：因为∠1 ∠2 ∠7 ∠8=180°，而∠2=∠5，∠4=∠7，所以∠1 ∠4 ∠5 ∠8=180°.
此种证法将对角互补转化为三角形的内角和.
2.分类讨论
在证明圆内接四边形对角互补时，教材、教师预设和课堂生成上是有瑕疵的.在一般情况下，圆内接四边形在圆内的位置应该分为三种情况：圆心在四边形内部、圆心在四边形一边上、圆心在四边形外部.而前面我们只考虑第一种情况，而后两种情况这四种证法是否同样适用？带着这个疑惑，我进行了思考.
通过研究发现，圆心在四边形一边上时，这四种证法都可行，并且比第一种情况的证明过程更简单.但是圆心在四边形外部时，有些复杂.我列出了四种证法的图形.
后三种图形的证法与前面所讲述的是一样的，但是第一种证法与前有点不太一样.
连接OA、OB、OC、OD，因为∠1=∠5，∠2=∠4 ∠5，∠3=∠6，∠7=∠8 ∠1，又因为∠2 ∠3 ∠4 ∠6 ∠7 ∠8=360°，所以∠4 ∠5 ∠6 ∠4 ∠6 ∠7 ∠7-∠1=360°，所以∠4 ∠1 ∠6 ∠4 ∠6 ∠7 ∠7-∠1=360°，所以2∠4 2∠6 2∠7=360°，所以∠4 ∠6 ∠7=360°即∠BAD ∠BCD=180°，∠ABC ∠ADC=360°-180°=180°.
四、感悟升华
布鲁姆曾说：“人们无法预料教学所产生的成果的全部范围，没有预料不到的成果，教学就不成为一种艺术.”
在本节课的证明圆内接四边形对角互补这一教学环节中，教师本想通过特殊情况过渡到一般情况，希望学生通过作辅助线的方法将一般情况转化为特殊情况处理，把复杂图形转化为简单图形，但是本想情理之中，却是意料之外.学生并没有这样想，同样是从已有的知识经验出发，利用四边形的内角和、等腰三角形、圆周角等性质证明这个定理，不但活跃了课堂气氛，还启迪了老师的思路.这种教学效果肯定要比多讲几个例题要好很多.
除此之外，我也在想：学生为什么会先想到这三种证明方法呢？这可能与他们前面学习、练习有很大的关系.四边形的内角和、等腰三角形的相关性质是学生常用的解题依据，而圆周角定理、连接半径这种辅助线刚刚学过，最近一直在进行这方面的练习，这些学生都非常熟悉，所以在思考一个新的问题时，首先想到这些方法，也是顺其自然的.而教材上出示的证明方法（也就是教师的预设）是作出直径，然后转化为特殊情况.这种方法在前一节课（圆周角定理的推论）中出现过，但是对于刚刚接触圆的学生来讲，这种方法还是比较陌生的，所以没有想到.
数学教师在教学中知道要依据学情开展教学行为.但是学情并不简单地认为是学生已有的知识经验，还要考虑你所教的学生在已有的知识经验中哪些是非常熟悉的，哪些是不熟悉的、陌生的，而这正是学生思考新问题的起点，只有把握好这一点，活用教材，做出适合学情的教学设计，才能激发学生的求知欲望，强化学生的学习效果.
参考文献：
[1]邱云.掌好课堂引导之舵.中学数学教学参考，2015年第5期（中旬）.