众所周知，数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，“数”和“形”必然是数学殿堂里密不可分的两大支柱。如果我们学习中注意两者的有机结合，通过类比、联想、构造图形，常可以使解题简捷，又易理解。现举几个实例：
　　例1：设a、b、c、d都是正数，求证：
　　证明：∵a、b、c、d都是正数，可作如图１的一个矩形ABCD，取AE=a，EB=b，BF=c，FC=d，由勾股定理，EF=，ED=，FD=，在△EFD中，EF+ED＞FD，∴结论显而得证。
　　例2：设０°＜θ＜90°，求证：1＜sinθ+cosθ≤。
　　证明：如图２，以AC=1为直径作圆，设∠DAC=θ（０°＜θ＜90°），弦AB=BC=，则AD=cosθ，CD=sinθ，∵AD+CD＞AC，∴sinθ+cosθ＞1…①，又由托勒密定理，有AB·DC+BC·AD=AC·DB，即sinθ+cosθ=1·BD≤1，∴sinθ+cosθ≤…②，由①②得：1＜sinθ+cosθ≤。
　　例3：正数x、y、z满足方程组x＋y＝１３y２＋z２－yz＝２５z２＋x２＋xz＝１４４，求x、y、z的值。
　　解：将原方程组变为：
　　x+y=13y2+z2-2yzcos60°=52z2+x2-2zxcos120°=122
　　由此可知问题转化为图３所示三角形ABC中线段BD、AD、CD之长。
　　∵ S△ABC=S△BCD+S△ACD
　　∴ ×5×12=yzsin60°+xzsin120°即z（y+z）=40
　　∴ z=，从而求出x、y的值。
　　例4：设a、b、c是已知正实数，x、y是正实数，且x+y=c，求f=++y2的最小值。
　　解：构造图形如图四，DQ=X，QA=Y，AB=a，BC=b，则PD=，CP=
　　∴ f=PD+CP=+≥CD=（定值），当且只当P在CD时等号成立，这时=
　　∴ f的最小值为CD的长，即。
　　例5：已知ａ＋ｂ=1，求证a2+b2=1。
　　此题很容易证明，只要构造以AC=1为直径的圆及圆内接四边形ABCD，使AD=a，AB=b，（如图５）然后利用勒密梅定理，便可得证。证明过程由读者完成。
　　能用这种方法解的题很多，这里不一一例举，总之，解非几何题时，如有可能，把所需要讨论的问题,依照某种方式构造出一个几何图形,把题中的关系（数量关系或其他关系）在图形中体现出来，由于图形上较易理解题设的条件及所要讨论的对象的相互关系，从而获得解题途径。不过，遇到平方关系或ab+cd=ef的形式等，在构造图形时通常需用到勾股定理，余弦定理，托勒密定理或圆幕定理等。有兴趣的读者，不妨一试，下面有几道练习题：
　　①已知a2+b2=1,x2+y2=1,ax+by=0，求证：a2+x2=1，b2+y2=1，ab+xy=0。
　　②设a、b、c、d都是正数，满足＝，且a最大，求证：a+b＞b+c（提示：利用圆幕定理）。
　　③正数x、y、z满足方程组x2+xy+=25 ＋ｚ２=9 z2+xz+x2=16试求xy+2yz+3xz的值。
　　④设a为实数f=－，求证：-1＜f＜1。
　　⑤解方程组： +=5x-y=12
　　⑥在锐角△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c，求证：b2-2abcos（Ｃ+60°）=c2-2accos（B+60°）