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几何概型是新课标相对于旧课标新增的概率内容.作为古典概型的发展,几何概型将等可能发生的基本事件的个数从有限推广到无限,从而给概率理论的应用带来了更为广阔的空间.
教材中对于几何概型是这样描述的:对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机的取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样;而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.
几何概型的特征:
(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限个;
(2)每个基本事件出现的可能性相等.
对于测度,教材中并没有给严格的定义,只是指出“其中测度的意义依几何区域而定,当几何区域分别是线段、平面图形和立体图形时,相应的测度分别是长度、面积和体积.”
一般来讲,解决几何概型问题可以按以下几步骤进行:① 选择适当的角度观察随机试验的所有基本事件,将其视为一个个不同(位置)的点,这里要注意各个基本事件(点的位置)的发生(取得)应是等可能的;② 找出该试验中所有基本事件(点的位置)所对应(组成)的区域 ;③ 找出随机事件 包含的基本事件所对应的区域 ;④ 利用公式 来计算 的概率。
在上述过程中,找准测度是关键.下面以就几何概型常见的几种测度做一小结.
1.以长度为测度
例题1取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于1米的概率有多大?
解析:在这个试验中,从每一个位置剪断都是一个基本事件,把绳子拉直后在任意位置剪断相当于在3米长的线段上任取一点,基本事件有无数多个,显然每个基本事件都是等可能的.所以这是一个几何概型,它的测度就是线段的长度.
记“剪得两段绳长都不小于1米”为事件 ,由几何概型概率公式 .
练习:1.已知地铁列车每10分钟一班,在车站停1分钟,求乘客到达站台立即能乘上车的概率.(答案 )
2.以面积为测度
例题2射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向内为白色、黑色、蓝色、红色,靶心是金色,金色靶心叫“黄心”。奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭,假设每箭都能中靶,那么射中黄心的概率是多少?
解析:在这个试验中,射中靶面上每一个点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点,这里的测度是面积.
记“射中黄心”为事件 ,由于中靶点随机的落在面积为 的黄心内时,事件 发生,于是事件 发生的概率 .
例题3在区间(0,1)中随机抽取两个数,则两数之和小于 的概率是多少?
解析:设这两个数分别为 、 ,这里的一次试验是在区间(0,1)中任取两个数,因此用面积表示测度,一次试验就是在 所围成的平面区域 内任取一点 ,记“两数之和小于 ”为事件 ,当 点在 所围成的平面区域 里时,事件 发生.
因为 的面积为1, 的面积为 ,所以 .
小结反思:一般地,几何概型中涉及到“相互独立”的两个变量,往往建立平面直接坐标系,用面积表示测度.
例题4甲、乙两人相约12:00~13:00在某地会面,假定每人在会面这段时间内的每个时刻到达会面地点的可能性相同,先到者等20分钟后便离去,试求两人能会面的概率。
解析:设甲12时间x分到达会面地点,乙12时y分到达会面地点,建立平面直角坐标系, 表示 所围成的平面区域.一次试验相当于在 内任取一点 .
由题意知,每一个试验结果出现的可能性相同,因此试验属于几何概型.记“甲乙两人能会面”为事件 ,当且仅当他们到达会面地点时间相差不超过20分钟,即 时事件 发生,所以事件 表示 所围成的平面区域 ,容易求得 的面积为2000, 的面积为3600,所以 .
练习:将一长为18cm的线段随机分成三段,则这三段能组成一个三角形的概率是多少?(答案 )
解析:一条线段分为三段相当于在这条线段上任取两个点将线段剪断,由于这两个是任意取的,且线段上每个点被取到的可能性相同(几何概型不考虑边界),所以这是一个几何概型,用面积作为测度.
3.以体积为测度
例题5有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.
解析:记“取出0.1升水,含有这个细菌”为事件 ,细菌在这1升水中的分布是随机的,取得的0.1升水可看做区域 ,所有的水可看作区域 .这里的测度是体积,所以 .
4.以角度为测度
例题6 已知:在 中, , ,
(1)在 上取点 ,求使 的面积小于 的概率;
(2)在 内作射线 交 于 ,求使 的面积小于 的概率;
解析:设 为 中点,要注意抓住题目中关键字眼:
问题(1):“在 上取点 ”,即是 在上取一点 ,求 在线段 上的概率;本题测度为长度.答案为 .
问题(2):“在 内作射线 交 于 ”,即是在 内任作一射线 使 的概率,本题测度是角度.答案为 .
反思小结:一般地,几何概型中与转动有关的变量,选用角度作为测度.
练习:
1.在半径为1的圆的一条直径上任取一点,过该点做垂直于直径的弦,则其长度超过圆的内接正三角形边长的 倍的概率是多少?
2.在半径为1的圆内任取一点,以该点为中点做弦,则其长度超过圆的内接正三角形边长的 倍的概率是多少?
3. 为半径为1的圆周上一定点,在圆周上任取一点 与 连结,则 弦长超过圆的内接正三角形边长的 倍的概率是多少?
弦产生的方式不同,测度也不同.答案分别为: .
以上是笔者对于几何概型一些常用测度的肤浅的认识.几何概型的关键,要根据已知条件,省清题意,选择恰当的测度.
(江苏省海安县立发中学)
教材中对于几何概型是这样描述的:对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机的取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样;而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.
几何概型的特征:
(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限个;
(2)每个基本事件出现的可能性相等.
对于测度,教材中并没有给严格的定义,只是指出“其中测度的意义依几何区域而定,当几何区域分别是线段、平面图形和立体图形时,相应的测度分别是长度、面积和体积.”
一般来讲,解决几何概型问题可以按以下几步骤进行:① 选择适当的角度观察随机试验的所有基本事件,将其视为一个个不同(位置)的点,这里要注意各个基本事件(点的位置)的发生(取得)应是等可能的;② 找出该试验中所有基本事件(点的位置)所对应(组成)的区域 ;③ 找出随机事件 包含的基本事件所对应的区域 ;④ 利用公式 来计算 的概率。
在上述过程中,找准测度是关键.下面以就几何概型常见的几种测度做一小结.
1.以长度为测度
例题1取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于1米的概率有多大?
解析:在这个试验中,从每一个位置剪断都是一个基本事件,把绳子拉直后在任意位置剪断相当于在3米长的线段上任取一点,基本事件有无数多个,显然每个基本事件都是等可能的.所以这是一个几何概型,它的测度就是线段的长度.
记“剪得两段绳长都不小于1米”为事件 ,由几何概型概率公式 .
练习:1.已知地铁列车每10分钟一班,在车站停1分钟,求乘客到达站台立即能乘上车的概率.(答案 )
2.以面积为测度
例题2射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向内为白色、黑色、蓝色、红色,靶心是金色,金色靶心叫“黄心”。奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭,假设每箭都能中靶,那么射中黄心的概率是多少?
解析:在这个试验中,射中靶面上每一个点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点,这里的测度是面积.
记“射中黄心”为事件 ,由于中靶点随机的落在面积为 的黄心内时,事件 发生,于是事件 发生的概率 .
例题3在区间(0,1)中随机抽取两个数,则两数之和小于 的概率是多少?
解析:设这两个数分别为 、 ,这里的一次试验是在区间(0,1)中任取两个数,因此用面积表示测度,一次试验就是在 所围成的平面区域 内任取一点 ,记“两数之和小于 ”为事件 ,当 点在 所围成的平面区域 里时,事件 发生.
因为 的面积为1, 的面积为 ,所以 .
小结反思:一般地,几何概型中涉及到“相互独立”的两个变量,往往建立平面直接坐标系,用面积表示测度.
例题4甲、乙两人相约12:00~13:00在某地会面,假定每人在会面这段时间内的每个时刻到达会面地点的可能性相同,先到者等20分钟后便离去,试求两人能会面的概率。
解析:设甲12时间x分到达会面地点,乙12时y分到达会面地点,建立平面直角坐标系, 表示 所围成的平面区域.一次试验相当于在 内任取一点 .
由题意知,每一个试验结果出现的可能性相同,因此试验属于几何概型.记“甲乙两人能会面”为事件 ,当且仅当他们到达会面地点时间相差不超过20分钟,即 时事件 发生,所以事件 表示 所围成的平面区域 ,容易求得 的面积为2000, 的面积为3600,所以 .
练习:将一长为18cm的线段随机分成三段,则这三段能组成一个三角形的概率是多少?(答案 )
解析:一条线段分为三段相当于在这条线段上任取两个点将线段剪断,由于这两个是任意取的,且线段上每个点被取到的可能性相同(几何概型不考虑边界),所以这是一个几何概型,用面积作为测度.
3.以体积为测度
例题5有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.
解析:记“取出0.1升水,含有这个细菌”为事件 ,细菌在这1升水中的分布是随机的,取得的0.1升水可看做区域 ,所有的水可看作区域 .这里的测度是体积,所以 .
4.以角度为测度
例题6 已知:在 中, , ,
(1)在 上取点 ,求使 的面积小于 的概率;
(2)在 内作射线 交 于 ,求使 的面积小于 的概率;
解析:设 为 中点,要注意抓住题目中关键字眼:
问题(1):“在 上取点 ”,即是 在上取一点 ,求 在线段 上的概率;本题测度为长度.答案为 .
问题(2):“在 内作射线 交 于 ”,即是在 内任作一射线 使 的概率,本题测度是角度.答案为 .
反思小结:一般地,几何概型中与转动有关的变量,选用角度作为测度.
练习:
1.在半径为1的圆的一条直径上任取一点,过该点做垂直于直径的弦,则其长度超过圆的内接正三角形边长的 倍的概率是多少?
2.在半径为1的圆内任取一点,以该点为中点做弦,则其长度超过圆的内接正三角形边长的 倍的概率是多少?
3. 为半径为1的圆周上一定点,在圆周上任取一点 与 连结,则 弦长超过圆的内接正三角形边长的 倍的概率是多少?
弦产生的方式不同,测度也不同.答案分别为: .
以上是笔者对于几何概型一些常用测度的肤浅的认识.几何概型的关键,要根据已知条件,省清题意,选择恰当的测度.
(江苏省海安县立发中学)