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【摘 要】“数形结合”这一贯彻在高中数学教学始终的解题思想方法,其本质是“数”与“形”之间的相互转换。在高中数学教学中,通过有效的“数形结合”思想方法的运用可以使学生在学习过程中绕过障碍。其中,在高中数学里,数形结合思想方法的运用很普遍最具典型的是平面解析几何。当然,要掌握好数形结合的思想方法并能灵活运用,就要熟悉某些问题的图形背景,熟悉有关数学式中各参数的几何意义,建立结合图形思考问题的习惯,在学习中不断摸索,积累经验,加深和加强对数形结合思想方法的理解和运用。
【关键词】见数想图 以形助数 数形结合思想
数与形是数学中的两个最古老,也是最基本的研究对象,它们在一定条件下可以相互转化。在解决数学问题时,根据问题的背景和可能,使数的问题,借助形去观察,而形的问题,借助数去思考,采用这种“数形结合”来解决问题的策略,我们称之为“数形结合的思想方法”。作为一种数学思想方法,数形结合在高中数学中广泛应用。巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的效果,运用数形结合思想,不仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程。特别是在解选择题、填空题时更显其优越,因此在教学中要注意培养学生的这种思想意识,要争取胸中有图、见数想图、以形助数,以开拓他们的思维视野。下面就数形结合思想在集合问题、函数、方程、不等式、解析几何及数列中的应用作简单的分析。
一、集合问题
在集合运算中常常借助于數轴、韦恩图来处理集合的交、并、补等运算,从而使问题得以简化,使运算快捷明了。
例 1: 已知集合 A=[0,4],B=[-2,3], 求 A∩B。
分析:对于这两个有限集合,我们可以将它们在数轴上表示出来,就可以很清楚的知道结果。如图 1, 由图我们不难得出A∩B=[0,3]。
图1 图2
例2:若I为全集,M、N I,且M∩N=N,则( )。
A.СIM СIN B.M СIN
C.СIM СIN D.M СIN
B. 提示:由韦恩图(图2)可以很容易知道答案为C。
二、函数问题
利用图形的直观性来讨论函数的值域(或最值),求解变量的取值范围,运用数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力,是函数教学中的一项重要内容。
例3:下列图像中不能作为函数y=f(x)的图像的是( )
让学生从形的角度进一步理解函数的概念;在研究一次函数和二次函数的性质与图像时,由于学生在初中已用描点法作过一次函数和二次函数的图像,因此我先从学生已有知识出发,让学生列表、描点、连线,做出一次函数和二次函数的图像,引导他们先从数的角度认识单调性、奇偶性,对称性,然后再通过图像直观感觉单调性、奇偶性,对称性,让学生深刻体会“数缺形时少直观,形离数时难入微”。
三、方程问题
处理方程问题时,把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题,从题目的条件与结论出发,联系相关函数,着重分析其几何意义,从图形上找出解题的思路。
例4:方程lg x=sin x解的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
分析:画出函数y=lg x与y=sin x的图像(如图4)。注意两个图像的相对位置关系。
这个问题的第二种解法用到了数形结合,培养了学生由数列联想到函数图像,二者之间相互映证、转化,使学生感到一种数学变化的快乐。
从上述的分析我们可以看出,数形结合在高中数学教学中有着非常重要的作用。因此我们教师在数学教学中一定要充分发挥数形结合思想的作用,重视数形结合方法的运用,提升我们的教学水平。
参考文献:
【1】 陈婉华. 在数学教学中提高学生的多种能力[J]. 青年探索,2005,(06)
【2】 苏元东.浅谈“以形助数”解题[J].福建中学数学,2005,(2)
【关键词】见数想图 以形助数 数形结合思想
数与形是数学中的两个最古老,也是最基本的研究对象,它们在一定条件下可以相互转化。在解决数学问题时,根据问题的背景和可能,使数的问题,借助形去观察,而形的问题,借助数去思考,采用这种“数形结合”来解决问题的策略,我们称之为“数形结合的思想方法”。作为一种数学思想方法,数形结合在高中数学中广泛应用。巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的效果,运用数形结合思想,不仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程。特别是在解选择题、填空题时更显其优越,因此在教学中要注意培养学生的这种思想意识,要争取胸中有图、见数想图、以形助数,以开拓他们的思维视野。下面就数形结合思想在集合问题、函数、方程、不等式、解析几何及数列中的应用作简单的分析。
一、集合问题
在集合运算中常常借助于數轴、韦恩图来处理集合的交、并、补等运算,从而使问题得以简化,使运算快捷明了。
例 1: 已知集合 A=[0,4],B=[-2,3], 求 A∩B。
分析:对于这两个有限集合,我们可以将它们在数轴上表示出来,就可以很清楚的知道结果。如图 1, 由图我们不难得出A∩B=[0,3]。
图1 图2
例2:若I为全集,M、N I,且M∩N=N,则( )。
A.СIM СIN B.M СIN
C.СIM СIN D.M СIN
B. 提示:由韦恩图(图2)可以很容易知道答案为C。
二、函数问题
利用图形的直观性来讨论函数的值域(或最值),求解变量的取值范围,运用数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力,是函数教学中的一项重要内容。
例3:下列图像中不能作为函数y=f(x)的图像的是( )
让学生从形的角度进一步理解函数的概念;在研究一次函数和二次函数的性质与图像时,由于学生在初中已用描点法作过一次函数和二次函数的图像,因此我先从学生已有知识出发,让学生列表、描点、连线,做出一次函数和二次函数的图像,引导他们先从数的角度认识单调性、奇偶性,对称性,然后再通过图像直观感觉单调性、奇偶性,对称性,让学生深刻体会“数缺形时少直观,形离数时难入微”。
三、方程问题
处理方程问题时,把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题,从题目的条件与结论出发,联系相关函数,着重分析其几何意义,从图形上找出解题的思路。
例4:方程lg x=sin x解的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
分析:画出函数y=lg x与y=sin x的图像(如图4)。注意两个图像的相对位置关系。
这个问题的第二种解法用到了数形结合,培养了学生由数列联想到函数图像,二者之间相互映证、转化,使学生感到一种数学变化的快乐。
从上述的分析我们可以看出,数形结合在高中数学教学中有着非常重要的作用。因此我们教师在数学教学中一定要充分发挥数形结合思想的作用,重视数形结合方法的运用,提升我们的教学水平。
参考文献:
【1】 陈婉华. 在数学教学中提高学生的多种能力[J]. 青年探索,2005,(06)
【2】 苏元东.浅谈“以形助数”解题[J].福建中学数学,2005,(2)