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一、齐次化
齐次化方法与均值不等式、柯西不等式 (或与之等价的不等式)紧密联系，常应用于给定某个等量关系的不等式问题，也可应用于分式向常数的不等转化等．
例1 (1)已知a2+b2=c2+d2=16，求证：|ac+bd|≤16．
(2)已知a、b是不相等的正数，且a3-b3=a2-b2，求证：1＜a+b＜4 3.
(3)已知a，b，c＞0，ab+bc+ca=1，求证：a+b+c≤1 3abc．
思路：(1)注意到该问题中各式关于数组(a，c)与(b，d)的对称性，只需齐次化地证明|ac+bd|2≤162=(a2+b2)(c2+d2)．此式可由柯西不等式得到证明．
或运用三角不等式，得|ac+bd|≤|ac|+|bd|．则只需齐次化地证明|ac|+|bd|≤16=
a2+b2 2+c2+d2 2，可由均值不等式得到证明．
(2)①由a3-b3=a2-b2，a≠b，得a2+ab+b2=a+b．
由a＞0，b＞0，得(a+b)2=a2+2ab+b2＞a2+ab+b2=a+b，a+b＞1．
②a+b＜4 3 3(a+b)＜4 齐次化探寻
（a+b>0) 3(a+b)2＜4(a+b)=4(a2+ab+b2)(a-b)2＞0a≠b．
(3)由于a，b，c＞0，ab+bc+ca=1，欲证
a+b+c≤1 3abc，齐次化，只需证明
3abc(a+b+c)≤1=(ab+bc+ca)2，即a2b2+b2c2+c2a2≥
a2bc+ab2c+abc2.
由a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2,
c2a2+a2b2≥2a2bc即可证得上式．
二、分子有理化
例2 已知a＞b＞0，求证：
a-b
思路：要证 a-b＜
a-b，分子有理化，就是证a-b a
+b＜a-b a-b．由题设a＞b＞0，只需证明1 a+b＜1 a-b，即 a+ b＞a-b，这可由 a+ b＞ a＞ a-b证得．
三、特殊情况导引
例3 已知a，b，c均为正数，a+b+c=1，求证：(a+1 a)2+(b+
1 b)2+(c+1 c)2≥100 3；
思路:(a+1 a)2+(b+1 b)2+(c+
1 c)2=a2+b2+c2+
(1 a)2+(1 b)2+
(1 c)2+6．
从直觉上，我们考察a=b=c=1 3时，a2+b2+c2与
(1 a)2+(1 b)2+
(1 c)2的值，它们分别为1 3与27，此时，正好有(a+1 a)2+(b+1 b)2+(c+
1 c)2=100 3，故只需证a2+b2+c2≥1 3，(1 a)2+
(1 b)2+(1 c)2≥27．
对a2+b2+c2≥1 3齐次化，即为
3（a2+b2+c2）≥(a+b+c)2，只需证3(a2+b2+c2)≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，即2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)，这是显然成立的．
对(1 a)2+(1 b)2+
(1 c)2≥27，由0＜abc≤
(a+b+c 3)3=1 27，得
(
1 a)2+(1 b)2+
(1 c)2≥3
3[]1 (abc)2≥
33[]272=27
．由此即可证得原不等式成立．
对1 a)2+(1 b)2+
(1 c)2≥27，也可运用齐次化技巧，证明（1 a)2+(1 b)2+
(1 c)2≥27 (a+b+c)2，即证
(1+b a+c a)2+
(1+a b+c b)2+
(1+a c+b c)2≥27．这可由
b2 a2+c2 a2+
a2 b2+c2 b2
+a2 c2+b2 c2
≥2×3，
2b a+2c a+
2a b
+2c b+2a c
+2b c
≥4×3，2bc a2+
2ac b2+2ab c2≥33[]23=6证得．
四、对称解决
例4 已知a，b，c为不全相等的正数，求证：
a2+ab+b2+b2+bc+c2+
c2+ca+a2>17 10
(a+b+c)．
思路：注意到结论式关于a，b，c的对称性，尽管题设中有a，b，c不全相等，但也可以a=b=c的特殊情况来导引，寻求问题的解决途径．
当a=b=c时，
a2+ab+b2
+
b2+bc+c2
+c2+ca+a2
=33 a=3(a+b+c)＞
17 10(a+b+c)，为此，结合a，b，c为不全相等的正数的条件，只需转而证明
a2+ab+b2≥
3 2(a+b)，
b2+bc+c2≥
3 2(b+c)，
c2+ca+a2≥
3 2(c+a)．这是极简单的．
齐次化方法与均值不等式、柯西不等式 (或与之等价的不等式)紧密联系，常应用于给定某个等量关系的不等式问题，也可应用于分式向常数的不等转化等．
例1 (1)已知a2+b2=c2+d2=16，求证：|ac+bd|≤16．
(2)已知a、b是不相等的正数，且a3-b3=a2-b2，求证：1＜a+b＜4 3.
(3)已知a，b，c＞0，ab+bc+ca=1，求证：a+b+c≤1 3abc．
思路：(1)注意到该问题中各式关于数组(a，c)与(b，d)的对称性，只需齐次化地证明|ac+bd|2≤162=(a2+b2)(c2+d2)．此式可由柯西不等式得到证明．
或运用三角不等式，得|ac+bd|≤|ac|+|bd|．则只需齐次化地证明|ac|+|bd|≤16=
a2+b2 2+c2+d2 2，可由均值不等式得到证明．
(2)①由a3-b3=a2-b2，a≠b，得a2+ab+b2=a+b．
由a＞0，b＞0，得(a+b)2=a2+2ab+b2＞a2+ab+b2=a+b，a+b＞1．
②a+b＜4 3 3(a+b)＜4 齐次化探寻
（a+b>0) 3(a+b)2＜4(a+b)=4(a2+ab+b2)(a-b)2＞0a≠b．
(3)由于a，b，c＞0，ab+bc+ca=1，欲证
a+b+c≤1 3abc，齐次化，只需证明
3abc(a+b+c)≤1=(ab+bc+ca)2，即a2b2+b2c2+c2a2≥
a2bc+ab2c+abc2.
由a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2,
c2a2+a2b2≥2a2bc即可证得上式．
二、分子有理化
例2 已知a＞b＞0，求证：
a-b
思路：要证 a-b＜
a-b，分子有理化，就是证a-b a
+b＜a-b a-b．由题设a＞b＞0，只需证明1 a+b＜1 a-b，即 a+ b＞a-b，这可由 a+ b＞ a＞ a-b证得．
三、特殊情况导引
例3 已知a，b，c均为正数，a+b+c=1，求证：(a+1 a)2+(b+
1 b)2+(c+1 c)2≥100 3；
思路:(a+1 a)2+(b+1 b)2+(c+
1 c)2=a2+b2+c2+
(1 a)2+(1 b)2+
(1 c)2+6．
从直觉上，我们考察a=b=c=1 3时，a2+b2+c2与
(1 a)2+(1 b)2+
(1 c)2的值，它们分别为1 3与27，此时，正好有(a+1 a)2+(b+1 b)2+(c+
1 c)2=100 3，故只需证a2+b2+c2≥1 3，(1 a)2+
(1 b)2+(1 c)2≥27．
对a2+b2+c2≥1 3齐次化，即为
3（a2+b2+c2）≥(a+b+c)2，只需证3(a2+b2+c2)≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，即2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)，这是显然成立的．
对(1 a)2+(1 b)2+
(1 c)2≥27，由0＜abc≤
(a+b+c 3)3=1 27，得
(
1 a)2+(1 b)2+
(1 c)2≥3
3[]1 (abc)2≥
33[]272=27
．由此即可证得原不等式成立．
对1 a)2+(1 b)2+
(1 c)2≥27，也可运用齐次化技巧，证明（1 a)2+(1 b)2+
(1 c)2≥27 (a+b+c)2，即证
(1+b a+c a)2+
(1+a b+c b)2+
(1+a c+b c)2≥27．这可由
b2 a2+c2 a2+
a2 b2+c2 b2
+a2 c2+b2 c2
≥2×3，
2b a+2c a+
2a b
+2c b+2a c
+2b c
≥4×3，2bc a2+
2ac b2+2ab c2≥33[]23=6证得．
四、对称解决
例4 已知a，b，c为不全相等的正数，求证：
a2+ab+b2+b2+bc+c2+
c2+ca+a2>17 10
(a+b+c)．
思路：注意到结论式关于a，b，c的对称性，尽管题设中有a，b，c不全相等，但也可以a=b=c的特殊情况来导引，寻求问题的解决途径．
当a=b=c时，
a2+ab+b2
+
b2+bc+c2
+c2+ca+a2
=33 a=3(a+b+c)＞
17 10(a+b+c)，为此，结合a，b，c为不全相等的正数的条件，只需转而证明
a2+ab+b2≥
3 2(a+b)，
b2+bc+c2≥
3 2(b+c)，
c2+ca+a2≥
3 2(c+a)．这是极简单的．