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一、齐次化
齐次化方法与均值不等式、柯西不等式 (或与之等价的不等式)紧密联系,常应用于给定某个等量关系的不等式问题,也可应用于分式向常数的不等转化等.
例1 (1)已知a2+b2=c2+d2=16,求证:|ac+bd|≤16.
(2)已知a、b是不相等的正数,且a3-b3=a2-b2,求证:1<a+b<4 3.
(3)已知a,b,c>0,ab+bc+ca=1,求证:a+b+c≤1 3abc.
思路:(1)注意到该问题中各式关于数组(a,c)与(b,d)的对称性,只需齐次化地证明|ac+bd|2≤162=(a2+b2)(c2+d2).此式可由柯西不等式得到证明.
或运用三角不等式,得|ac+bd|≤|ac|+|bd|.则只需齐次化地证明|ac|+|bd|≤16=
a2+b2 2+c2+d2 2,可由均值不等式得到证明.
(2)①由a3-b3=a2-b2,a≠b,得a2+ab+b2=a+b.
由a>0,b>0,得(a+b)2=a2+2ab+b2>a2+ab+b2=a+b,a+b>1.
②a+b<4 3 3(a+b)<4 齐次化探寻
(a+b>0) 3(a+b)2<4(a+b)=4(a2+ab+b2)(a-b)2>0a≠b.
(3)由于a,b,c>0,ab+bc+ca=1,欲证
a+b+c≤1 3abc,齐次化,只需证明
3abc(a+b+c)≤1=(ab+bc+ca)2,即a2b2+b2c2+c2a2≥
a2bc+ab2c+abc2.
由a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2,
c2a2+a2b2≥2a2bc即可证得上式.
二、分子有理化
例2 已知a>b>0,求证:
a-b
思路:要证 a-b<
a-b,分子有理化,就是证a-b a
+b<a-b a-b.由题设a>b>0,只需证明1 a+b<1 a-b,即 a+ b>a-b,这可由 a+ b> a> a-b证得.
三、特殊情况导引
例3 已知a,b,c均为正数,a+b+c=1,求证:(a+1 a)2+(b+
1 b)2+(c+1 c)2≥100 3;
思路:(a+1 a)2+(b+1 b)2+(c+
1 c)2=a2+b2+c2+
(1 a)2+(1 b)2+
(1 c)2+6.
从直觉上,我们考察a=b=c=1 3时,a2+b2+c2与
(1 a)2+(1 b)2+
(1 c)2的值,它们分别为1 3与27,此时,正好有(a+1 a)2+(b+1 b)2+(c+
1 c)2=100 3,故只需证a2+b2+c2≥1 3,(1 a)2+
(1 b)2+(1 c)2≥27.
对a2+b2+c2≥1 3齐次化,即为
3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2,只需证3(a2+b2+c2)≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca,即2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca),这是显然成立的.
对(1 a)2+(1 b)2+
(1 c)2≥27,由0<abc≤
(a+b+c 3)3=1 27,得
(
1 a)2+(1 b)2+
(1 c)2≥3
3[]1 (abc)2≥
33[]272=27
.由此即可证得原不等式成立.
对1 a)2+(1 b)2+
(1 c)2≥27,也可运用齐次化技巧,证明(1 a)2+(1 b)2+
(1 c)2≥27 (a+b+c)2,即证
(1+b a+c a)2+
(1+a b+c b)2+
(1+a c+b c)2≥27.这可由
b2 a2+c2 a2+
a2 b2+c2 b2
+a2 c2+b2 c2
≥2×3,
2b a+2c a+
2a b
+2c b+2a c
+2b c
≥4×3,2bc a2+
2ac b2+2ab c2≥33[]23=6证得.
四、对称解决
例4 已知a,b,c为不全相等的正数,求证:
a2+ab+b2+b2+bc+c2+
c2+ca+a2>17 10
(a+b+c).
思路:注意到结论式关于a,b,c的对称性,尽管题设中有a,b,c不全相等,但也可以a=b=c的特殊情况来导引,寻求问题的解决途径.
当a=b=c时,
a2+ab+b2
+
b2+bc+c2
+c2+ca+a2
=33 a=3(a+b+c)>
17 10(a+b+c),为此,结合a,b,c为不全相等的正数的条件,只需转而证明
a2+ab+b2≥
3 2(a+b),
b2+bc+c2≥
3 2(b+c),
c2+ca+a2≥
3 2(c+a).这是极简单的.
齐次化方法与均值不等式、柯西不等式 (或与之等价的不等式)紧密联系,常应用于给定某个等量关系的不等式问题,也可应用于分式向常数的不等转化等.
例1 (1)已知a2+b2=c2+d2=16,求证:|ac+bd|≤16.
(2)已知a、b是不相等的正数,且a3-b3=a2-b2,求证:1<a+b<4 3.
(3)已知a,b,c>0,ab+bc+ca=1,求证:a+b+c≤1 3abc.
思路:(1)注意到该问题中各式关于数组(a,c)与(b,d)的对称性,只需齐次化地证明|ac+bd|2≤162=(a2+b2)(c2+d2).此式可由柯西不等式得到证明.
或运用三角不等式,得|ac+bd|≤|ac|+|bd|.则只需齐次化地证明|ac|+|bd|≤16=
a2+b2 2+c2+d2 2,可由均值不等式得到证明.
(2)①由a3-b3=a2-b2,a≠b,得a2+ab+b2=a+b.
由a>0,b>0,得(a+b)2=a2+2ab+b2>a2+ab+b2=a+b,a+b>1.
②a+b<4 3 3(a+b)<4 齐次化探寻
(a+b>0) 3(a+b)2<4(a+b)=4(a2+ab+b2)(a-b)2>0a≠b.
(3)由于a,b,c>0,ab+bc+ca=1,欲证
a+b+c≤1 3abc,齐次化,只需证明
3abc(a+b+c)≤1=(ab+bc+ca)2,即a2b2+b2c2+c2a2≥
a2bc+ab2c+abc2.
由a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2,
c2a2+a2b2≥2a2bc即可证得上式.
二、分子有理化
例2 已知a>b>0,求证:
a-b
思路:要证 a-b<
a-b,分子有理化,就是证a-b a
+b<a-b a-b.由题设a>b>0,只需证明1 a+b<1 a-b,即 a+ b>a-b,这可由 a+ b> a> a-b证得.
三、特殊情况导引
例3 已知a,b,c均为正数,a+b+c=1,求证:(a+1 a)2+(b+
1 b)2+(c+1 c)2≥100 3;
思路:(a+1 a)2+(b+1 b)2+(c+
1 c)2=a2+b2+c2+
(1 a)2+(1 b)2+
(1 c)2+6.
从直觉上,我们考察a=b=c=1 3时,a2+b2+c2与
(1 a)2+(1 b)2+
(1 c)2的值,它们分别为1 3与27,此时,正好有(a+1 a)2+(b+1 b)2+(c+
1 c)2=100 3,故只需证a2+b2+c2≥1 3,(1 a)2+
(1 b)2+(1 c)2≥27.
对a2+b2+c2≥1 3齐次化,即为
3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2,只需证3(a2+b2+c2)≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca,即2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca),这是显然成立的.
对(1 a)2+(1 b)2+
(1 c)2≥27,由0<abc≤
(a+b+c 3)3=1 27,得
(
1 a)2+(1 b)2+
(1 c)2≥3
3[]1 (abc)2≥
33[]272=27
.由此即可证得原不等式成立.
对1 a)2+(1 b)2+
(1 c)2≥27,也可运用齐次化技巧,证明(1 a)2+(1 b)2+
(1 c)2≥27 (a+b+c)2,即证
(1+b a+c a)2+
(1+a b+c b)2+
(1+a c+b c)2≥27.这可由
b2 a2+c2 a2+
a2 b2+c2 b2
+a2 c2+b2 c2
≥2×3,
2b a+2c a+
2a b
+2c b+2a c
+2b c
≥4×3,2bc a2+
2ac b2+2ab c2≥33[]23=6证得.
四、对称解决
例4 已知a,b,c为不全相等的正数,求证:
a2+ab+b2+b2+bc+c2+
c2+ca+a2>17 10
(a+b+c).
思路:注意到结论式关于a,b,c的对称性,尽管题设中有a,b,c不全相等,但也可以a=b=c的特殊情况来导引,寻求问题的解决途径.
当a=b=c时,
a2+ab+b2
+
b2+bc+c2
+c2+ca+a2
=33 a=3(a+b+c)>
17 10(a+b+c),为此,结合a,b,c为不全相等的正数的条件,只需转而证明
a2+ab+b2≥
3 2(a+b),
b2+bc+c2≥
3 2(b+c),
c2+ca+a2≥
3 2(c+a).这是极简单的.