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与三角形、四边形等图形一样，圆也是基本的平面图形，而圆中弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系以及“垂径定理”一直是中考考查重点. 下面我就带着大家去看看各地中考是如何让这些重点在“中心对称图形（圆）”主题下演绎“百变”角色的！
例1 （2012·四川自贡）如图1，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C.
（1） 若AB=2，∠P=30°，求AP的长；
（2） 若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线.
【解析】（1） 由AP是切线，得△APB是直角三角形，再利用三角函数得AP=2■.
（2） 如图2，连接AC构造直角三角形△ABC、△ACP，再连接OC，得∠OCA=∠OAC，易得∠OCD=∠OAP=90°，∴直线CD是⊙O的切线.
【点评】遇到直径，常构造直角三角形进行推理.
例2 （2012·江苏镇江）如图3，AB是⊙O的直径，DF⊥AB于点D，交AC于点E，FC=FE.
（1） 求证：FC是⊙O的切线；
（2） 若⊙O的半径为5，cos∠FCE=■，求弦AC的长.
【解析】（1） 连接OC. 易得∠OCF=∠OCA+∠ACF=∠OAC+∠AED=90°，∴FC是⊙O的切线；
（2） 方法1：如图4，过点O作OM⊥AC，垂足为M，∴OM=OA·cos∠AOM=OA·cos∠FCE=2. ∴AC=2AM=2■=2■.
方法2：如图5，连接BC. ∴BC=AB·cos∠ABC=AB·cos∠FCE=4.
∴AC=■=2■.
【点评】（1） 有关圆的切线，常连接圆心和切点（半径）；
（2） 方法1：涉及弦的问题时，常作半径和弦心距，构造直角△AMO，再利用勾股定理进行计算.
方法2：遇到直径先构造直角△ACB，再利用勾股定理进行计算.
例3 （2012·湖北黄冈）如图6，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D. 连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E.
（1） 求证：DE为⊙O的切线；
（2） 求证：DB2=AB·BE.
【解析】（1） 连接OD. 如图7，易得DB⊥AC，利用“三线合一”得D为AC中点，∴OD∥BC，∠ODE=∠CED=90°. ∴DE为⊙O的切线.
（2） 易得△BDE∽△BCD，DB2=AB·BE.
【点评】遇到圆的切线，常连接圆心和切点（半径）.
例4 （2012·浙江温州）如图8，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上的一点，且∠A=2∠DCB. E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D.
（1） 求证：AB是⊙O的切线；
（2） 若CD的弦心距为1，BE=EO，求BD的长.
【解析】（1） 连接OD，易得∠ADO=∠DOB+∠B =∠A+∠B=90°，∴OD⊥AB，∴AB是⊙O的切线.
（2） 方法1：如图9，过点O作OM⊥CD于点M，易得∠DCB=■∠DOB=30°，∴OD=OE=OC=2，∴BD=2■.
方法2：如图10，过点O作OM⊥CD于点M，连接DE，易得DE=2OM=2.
∴OD=OE=2，∴BD=2■.
【点评】（1） 有关圆的切线，常连接圆心和切点（半径）；
（2） 方法1：有关弦的问题，作半径和弦心距，构造直角△CMO，再利用三角函数进行计算.方法2：遇到直径，也可以构造直角△CDE，再利用三角函数进行计算.
例5 （2012·江苏泰州）如图11，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C.
（1） 试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
（2） 若PC=2■，求⊙O的半径和线段PB的长；
（3） 若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围.
【解析】（1） AB=AC. 连接OB，如图12，∵∠OBP+∠PBA=90°，∠APC+∠ACP=90°，易得∠PBA=∠ACP，∴AB=AC.
（2） 设⊙O的半径为r，易得AB2=AO2-BO2=25-r2，AC2=PC2-PA2=20-（5-r）2，∴r=3，∴cos∠ACP=■=■=■，过点A作AD⊥BC于点D（如图12），∴CD=AC×cos∠ACP=4×■=■，∴PB=BC-PC=2CD-PC=■-2■=■.
（3） 如图13，作AC的垂直平分线m，垂足为E，过点O作OF⊥直线m于点F，则OF=AE=■AC=■，∵OF≤r，即■≤r，∴r2≥5，∵r>0，∴r≥■，∴■≤r≤5.
【点评】（1） 有关圆的切线，常常连接圆心和切点；（2） 遇到类似“弦”（圆外的）的问题，也常作垂直（类似“弦心距”）构造直角三角形，再利用勾股定理和三角函数进行计算；（3） 直线与圆有交点？圳d≤r.
圆是初中几何中比较重要的内容之一.随着新课程的实施，对于圆的考查不会出现太复杂的证明题，取而代之的是填空、选择和简单的计算题. 在解决这些问题时，添加适当的辅助线是解决问题的关键. 圆中常见的辅助线就有：（1） 已知圆的切线时，常连接圆心和切点（半径）；（2） 涉及弦的问题，常作半径和弦心距构造直角三角形，再利用勾股定理或三角函数进行计算；（3） 遇到直径，常利用直径所对圆周角为90°的性质构造直角三角形进行计算.
例1 （2012·四川自贡）如图1，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C.
（1） 若AB=2，∠P=30°，求AP的长；
（2） 若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线.
【解析】（1） 由AP是切线，得△APB是直角三角形，再利用三角函数得AP=2■.
（2） 如图2，连接AC构造直角三角形△ABC、△ACP，再连接OC，得∠OCA=∠OAC，易得∠OCD=∠OAP=90°，∴直线CD是⊙O的切线.
【点评】遇到直径，常构造直角三角形进行推理.
例2 （2012·江苏镇江）如图3，AB是⊙O的直径，DF⊥AB于点D，交AC于点E，FC=FE.
（1） 求证：FC是⊙O的切线；
（2） 若⊙O的半径为5，cos∠FCE=■，求弦AC的长.
【解析】（1） 连接OC. 易得∠OCF=∠OCA+∠ACF=∠OAC+∠AED=90°，∴FC是⊙O的切线；
（2） 方法1：如图4，过点O作OM⊥AC，垂足为M，∴OM=OA·cos∠AOM=OA·cos∠FCE=2. ∴AC=2AM=2■=2■.
方法2：如图5，连接BC. ∴BC=AB·cos∠ABC=AB·cos∠FCE=4.
∴AC=■=2■.
【点评】（1） 有关圆的切线，常连接圆心和切点（半径）；
（2） 方法1：涉及弦的问题时，常作半径和弦心距，构造直角△AMO，再利用勾股定理进行计算.
方法2：遇到直径先构造直角△ACB，再利用勾股定理进行计算.
例3 （2012·湖北黄冈）如图6，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D. 连接DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E.
（1） 求证：DE为⊙O的切线；
（2） 求证：DB2=AB·BE.
【解析】（1） 连接OD. 如图7，易得DB⊥AC，利用“三线合一”得D为AC中点，∴OD∥BC，∠ODE=∠CED=90°. ∴DE为⊙O的切线.
（2） 易得△BDE∽△BCD，DB2=AB·BE.
【点评】遇到圆的切线，常连接圆心和切点（半径）.
例4 （2012·浙江温州）如图8，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上的一点，且∠A=2∠DCB. E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D.
（1） 求证：AB是⊙O的切线；
（2） 若CD的弦心距为1，BE=EO，求BD的长.
【解析】（1） 连接OD，易得∠ADO=∠DOB+∠B =∠A+∠B=90°，∴OD⊥AB，∴AB是⊙O的切线.
（2） 方法1：如图9，过点O作OM⊥CD于点M，易得∠DCB=■∠DOB=30°，∴OD=OE=OC=2，∴BD=2■.
方法2：如图10，过点O作OM⊥CD于点M，连接DE，易得DE=2OM=2.
∴OD=OE=2，∴BD=2■.
【点评】（1） 有关圆的切线，常连接圆心和切点（半径）；
（2） 方法1：有关弦的问题，作半径和弦心距，构造直角△CMO，再利用三角函数进行计算.方法2：遇到直径，也可以构造直角△CDE，再利用三角函数进行计算.
例5 （2012·江苏泰州）如图11，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C.
（1） 试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
（2） 若PC=2■，求⊙O的半径和线段PB的长；
（3） 若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围.
【解析】（1） AB=AC. 连接OB，如图12，∵∠OBP+∠PBA=90°，∠APC+∠ACP=90°，易得∠PBA=∠ACP，∴AB=AC.
（2） 设⊙O的半径为r，易得AB2=AO2-BO2=25-r2，AC2=PC2-PA2=20-（5-r）2，∴r=3，∴cos∠ACP=■=■=■，过点A作AD⊥BC于点D（如图12），∴CD=AC×cos∠ACP=4×■=■，∴PB=BC-PC=2CD-PC=■-2■=■.
（3） 如图13，作AC的垂直平分线m，垂足为E，过点O作OF⊥直线m于点F，则OF=AE=■AC=■，∵OF≤r，即■≤r，∴r2≥5，∵r>0，∴r≥■，∴■≤r≤5.
【点评】（1） 有关圆的切线，常常连接圆心和切点；（2） 遇到类似“弦”（圆外的）的问题，也常作垂直（类似“弦心距”）构造直角三角形，再利用勾股定理和三角函数进行计算；（3） 直线与圆有交点？圳d≤r.
圆是初中几何中比较重要的内容之一.随着新课程的实施，对于圆的考查不会出现太复杂的证明题，取而代之的是填空、选择和简单的计算题. 在解决这些问题时，添加适当的辅助线是解决问题的关键. 圆中常见的辅助线就有：（1） 已知圆的切线时，常连接圆心和切点（半径）；（2） 涉及弦的问题，常作半径和弦心距构造直角三角形，再利用勾股定理或三角函数进行计算；（3） 遇到直径，常利用直径所对圆周角为90°的性质构造直角三角形进行计算.