摘 要:探索正多边形是否能够进行平面镶嵌的原因.探索能镶嵌成平面图案的多边形应满足的条件；探索用一种正多边形镶嵌的规律,探索用两种正多边形镶嵌的规律,用三种边长相等的正多边形能否进行镶嵌?若干个能完全重合的任意三角形或任意四边形呢?
　　关键词:平面 镶嵌 探索
　　
　　提出问题：家里装修房子铺地板砖时应注意什么?是否重叠,是否有缝隙?在我们的生活中有许多美丽的图案,让我们一起来看一看：
　　


　　这些图案分别是由哪些平面图形构成的?这些平面图形镶嵌成一个平面图案的共同特征是什么？像这样，用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,这类问题叫做多边形镶典嵌（平面镶嵌）。
　　解读探究：探索能镶嵌成平面图案的多边形应满足什么的条件呢？当围绕一点的几个正多边形的内角和为3600时,就能拼成一个平面图形，正多边形镶嵌的条件：①不重叠；②完全覆盖。用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做平面镶嵌（或用多边形覆盖平面）的问题。
　　


　　一、假如用同一种正多边形的地砖来铺满整个地面.仅用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面？
　　


　　收集整理数据，分析数据：
　　


　　得出结论：如果一个正多边形可以进行镶嵌，那么内角一定是360°的约数（或360°一定是这个多边形内角的整数倍）；因此用单一的正多边形能进行平面镶嵌的只有正三角形、正四边形、正六边形。
　　二、如果用两种边长相等正多边形形状的地板砖来镶嵌，那可以怎样选择呢？
　　1.正三角形和正方形
　　设在一个顶点周围有m个正三角形的角,n个正方形的角，则有m·60+n·90=360 2m+3n=12
　　∵m,n为正整数解得:m=3；n=2
　　


　　2.正三角形和正六边形
　　设在一个顶点周围有m个正三角形的角,n个正六边形的角，则有:m·60+n·120=360 m+2×n=6.
　　∵m,n为正整数
　　解得:m=2，ｎ＝２或m=4，ｎ＝１
　　


　　3.正三角形和正十二边
　　设在一个顶点周围有m个正三角形的角,n个正十二边形的角，则有：m·60+n·150=360 2m+5n=12
　　


　　∵m,n为正整数∴解得: m=1，n=2
　　4.正四边形和正八边形
　　设在一个顶点周围有个m正四边形的角,n个正八边形的角，则有:m·90+n·135=360 2m+3n=8
　　


　　∵m,n为正整数解得:m=1，n=2
　　5.正五边形和正十边形
　　设在一个顶点周围有m个正五边形的角,n个
　　正十边形的角，则有:
　　


　　m·108+n·144=360 3m+4n=10
　　∵m,n为正整数解得:m=2，n=1
　　得出结论：用两种正多边形镶嵌的规律：拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360°（周角）。
　　三、用三种边长相等正多边形镶嵌,哪些能镶嵌成一个平面？
　　思考:现在用三种正多边形：正三角形、正方形、正六边形能否进行平面镶嵌？如果不能镶嵌，为什么？如果能，你能把它画出来吗（草图）？
　　


　　四、只用一种不是正多边形的图案思考同一种任意三角形可否镶嵌成一个平面？
　　同一种任意四边形可否镶嵌成一个平面？
　　


　　（1）用一种普通的三角形形状的地砖能镶嵌成一个平面图案吗?
　　能，因为三角形三个内角的和为180°将三角形三个不同的内角绕一点可围成一个平角，六个内角可围成一个360°周角，因此，任意一种三角形能铺满平面。
　　（2）用一种普通的四边形地砖能镶嵌成一个平面图案吗？
　　能，因为四边形四个内角和为360°将四边形四个内角绕一点可围成一个周角，
　　因此，任意一种四边形能铺满平面。
　　结论：
　　（1）用一种边长相等正多边形镶嵌的规律：正多边形的内角是360°的约数（或360°是这个正多边形的整数倍）！
　　（2）用多种边长相等正多边形镶嵌的规律：拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360°（周角）
　　（3）用一种多边形镶嵌的图形，只有三角形和四边形。