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【摘要】数学中的很多习题数形结合，巧妙地借助图形或图像才能顺利解答一些难题。即使是一般难度的数学题采用图像也会显得既容易又快捷。教师要在平常的教学中逐渐渗透，有针对性地引领学生巧用图像解答习题，掌握解题规律，使这类特殊的难题迎刃而解。
【关键词】数形結合，巧用图像，解答难题
我在长期的数学教学实践中非常注重培养学生巧用图像，实现数形有机结合在一道解答一些特殊题，培养学生这方面的基本技能，引领学生把一些特殊的难题转化为比较容易，操作性更强的一般性的习题。扩展学生的思路，寻找数与形、形与数的潜在的、直接的和间接的赖以存在的关系。引领学生具体情况具体分析，有的数学题需要“合二为一”，有的数学题需要“一分为二”。总之，用图像解题的最终目的是：由繁化简，由难变易，准确而迅速地解决问题。
例1：设全集U＝{（x，y）|x∈R，y∈R}，集合A＝〖JB（{〗（x，y）|〖SX（〗y-2〖〗x-1〖SX）〗〖JB）}〗，集合B＝{（x，y）|y≠x+1}，试求：Cu（A∪B）
【分析·引导】
全集U是坐标平面上所有点的集合，集合A是直线y=x+1去掉一点P（1，2）之后两条射线上所有点的集合（如图1所示），集合B是去掉直线y=x+1后，两个半平面上的所有点的集合（如图2所示），集合A∪B是坐标平面上去掉一点P（1，2）后的平面上所有点的集合（如图3所示），即平面上有一个空洞需要去掉。
解A∪B={（x，y）|x≠1，且y≠2}
Cu（A∪B）={（x，y）|（1，2）}
例2：已知，函数y=f（x）=|x-2|，y=g（x）=kx，求使f（x）≥g（x）恒成立的k的取值范围.
【分析·引导】
函数y=f（x）=|x-2|的图像是经点（2，0）为端点的两条射线，即将直线y=x-2或将直线y=2-x在x轴下方的那部分射线翻折到x轴的上方，为什么要这样呢？道理很简单，绝对值的概念不能忘记。函数y=f（x）的图像的任何部分必须将函数y=g（x）图像的每一个部分完全遮住，即函数y=g（x）的图像只能处于函数y=f（x）图像的下方，才能使f（x）≥g（x）恒成立.
〖TP04.TIF；%55%55，Y#〗解：作出函数y=f（x）=|x-2|的图像（如图4），再作函数y=g（x）=kx的图像。设直线y=kx与x轴的正方向上的交角为α，由图像观察，当〖SX（〗3π〖〗4〖SX）〗≤α≤π时，函数y=g（x）=k（x）只能在函数y=f（x）图像的下方或与x轴重合，也就是说直线y=g（x）在x轴下方绕O点旋转一定的角度。
∴tan〖SX（〗3π〖〗4〖SX）〗≤tanα≤tanπ
∴-1≤k≤0
【想想·议议】
（1）在正比例函数y=kx中，必须是k≠0，而在这里却为什么可以有k=0的存在呢？
（2）若0＜α＜〖SX（〗3π〖〗4〖SX）〗时，将会是什么情形？
例3：已知函数y=x2+（m+1）x+4，函数y=2x+3，求当两函数在区间［0，2］上有交点时的m值的范围。
【分析·点击】
要了解直线与曲线是否有交点与方程的解的情况是密切相关的，根据题意将两个函数“合二为一”，转化为函数y=f（x）=x2+（m+1）x+4 （0≤x≤2）后（想一想，为什么能转化？为什么要转化〖TP05.TIF；%55%55，Y#〗？），再求方程y=f（x）=0在［0，2］上有一个根，两个根（包括二重根）的情况，即函数y=f（x）的图像与x轴在{0，2}有一个交点，两个交点（含相切）两种情形。
〖TP06.TIF；%55%55，Y#〗解：（1）当方程y=f（x）=0在（0，2）上有一个根，即函数y=f（x）的图像在（0，2）上与x轴仅有一个交点时（如图5），有f（0）f（2）＜0
∴4+2（m+1）+1＜0
∴m＜-〖SX（〗3〖〗2〖SX）〗
（2）当方程f（x）在［0，2］上有两个根（包括二重根），即函数y=f（x）的图像在［0，2］上与x轴有两个交点或相切时（如图6）有：
〖JB（{〗f（0）f（2）≥0
△≥0
0≤〖SX（〗1-m〖〗2〖SX）〗≤2〖JB）〗
〖JB（{〗4+2（m-1）+1≥0
（m-1）2-4≥0
0≤1-m≤4〖JB）〗
∴〖JB（（〗m≥-〖SX（〗3〖〗2〖SX）〗
m≥3或m≤-1
-3≤m≤-1〖JB）〗
∴-〖SX（〗3〖〗2〖SX）〗≤m≤-1
综合两种情形，当m≤-1时，函数y=x2+（m+1）x+4与函数y=2x+3在区间［0，2］上有交点。
y=f（x）=0
例4：试讨论下列方程解的个数（其中a∈R）
（1）-x2+2|x|+3=α，（2）|x2-2x|+x-a=0
〖TP07.TIF；%55%55，Y#〗解：（1）作出图像（如图7），让平行于x轴的动直线y=a（a∈R）在竖直方向上自由滑动，观察图像可知方程的解的个数.
①当a＞4时，方程无解；
②当a=4，或a＜3时，方程有两解；
③当a=3时，方程有三解；
④当3＜a＜4时，方程有四解.
〖TP08.TIF；%55%55，Y#〗（2）作图像（如图8），实质上，该图像是二次曲线y=x2-2x与二次曲线y=2x-x2的组合体，即将二次曲线y=x2-2x的图像或将二次曲线y=2x-x2的图像在x轴的下方的部分翻折到x轴的上方。解题时一定要借助于观察直线y=-x+a与曲线能否相交，相切，在什么情况下相交、相切、相离，再确定方程的解的个数。先让直线y=-x沿与x轴的正方向或135°夹角方向上平移，观察直线与曲线的相交、相切、相离等情况。 ①当a＜0时，方程无解；
②当a=0时，方程有一解；（为什么直线y=-x与曲线y=x2-2x有两个交点，而直线y=-x与曲线y=|x2-2x|只能有一个交点？）
③当0＜a＜2，或a＞〖SX（〗9〖〗4〖SX）〗时，方程有两解；
④当a=2，或a=〖SX（〗9〖〗4〖SX）〗时，方程有三解；
⑤当2＜a＜〖SX（〗9〖〗4〖SX）〗时，方程有四解。
问：（1）你能否知道a=〖SX（〗9〖〗4〖SX）〗是怎样求出来的？
（2）当a=-〖SX（〗1〖〗4〖SX）〗时，直线y=-x-〖SX（〗1〖〗4〖SX）〗能否与曲线y=x2-2x相切？与曲线y=|x2-2x|能否相切吗？为什么？
【归纳·点评】
（1）用根的判别式判定直线y=-x+a与曲线y=-x2+2x（0≤x≤2）相切，求得a=〖SX（〗9〖〗4〖SX）〗；
（2）当a=-〖SX（〗1〖〗4〖SX）〗时，直线y=-x-〖SX（〗1〖〗4〖SX）〗与曲线y=x2-2x相切，但与y=|x2-2x|不相切，因为已将二次曲线y=x2-2x在x轴下方的那部分翻折到了x轴的上方去了。
例5：已知函数y=f（x）=ax-x-a（a＞0）且a≠1有两个零点，试求a的取值范围（山东省09年数学高考题）
【分析·引导】
当函数有两个零点时，意味着是使函数y=f（x）为零的两个自变量x1、x2，此时，解析式就成为方程ax-x-a=0，由题意知，该方程有两解，再把方程ax-x-a=0转化为ax=x+a，“一分为二”后，寻找指数函数y=x+a的图像与一次函数的图像有两个交点即可。
解当0＜a＜1时，作出图9，函数y=ax的图像与函数y=x+a的图像只有一个交点，不符合题意。
当a＞1时，作出图10，函数y=ax与函数y=x+a的图像有两个交点，故满足题意，所以a＞1。
〖TP09.TIF；%36%36，BP〗〖KH-*1〗
〖TP10.TIF；%30%30，BP〗〖KH-*1〗
例6，已知，方程ax+4-2=0与方程logax+x-2均只有一解，其解分别为m、n，求log4（m+n）的值。
〖HJ1.455mm〗【思路点拨】
将两方程分别转化为：ax=2-x，logax=2-x，作图解答。两个方程的解m、n各自一般不是整数解，而两解之和m+n必定是整数解，可以从图像中找出来。
解：当0＜a＜1时，方程ax+4-2=0有两解，方程logax+x-2也有两解（如图11），故不符合题意。
〖TP11.TIF；%30%30，BP〗〖KH-*1〗
當a＜1时，作出图像（如图12）符合题意。
〖TP12.TIF；%30%30，BP〗〖KH-*1〗
设直线y=2-x与y轴、
x轴的交点分别为A、B，函数y=ax与函数y=2-x的图像交点Q（n、y2）过P点作PM⊥y轴，垂足为M，过点Q作QN⊥x轴，垂足为N，因为△AOB是等腰直角三角形，P、Q两点关于直线对称，故Rt△AMP≌Rt△QMB。
∴PM＝NB＝m
∴OB＝ON＋NB＝m＋n＝2
∴log4（m+n）=log42=〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗
以上几道例题相对于若大的数学学科来说不过是“冰山一角”，但可以“见一斑而知全豹”，对于引领和启迪学生解答一些与图像或图形相关的数学题是恰到好处的，收效也是非常明显的。
参考文献
［1］ 贺进军，周洁.《高中数学精讲精练》，南师大出版社出版发行，1997.5.
［2］ 烟学敏，刘玉翘.《中学数学解题精典》，人民日报出版社出版，1993.8.
【关键词】数形結合，巧用图像，解答难题
我在长期的数学教学实践中非常注重培养学生巧用图像，实现数形有机结合在一道解答一些特殊题，培养学生这方面的基本技能，引领学生把一些特殊的难题转化为比较容易，操作性更强的一般性的习题。扩展学生的思路，寻找数与形、形与数的潜在的、直接的和间接的赖以存在的关系。引领学生具体情况具体分析，有的数学题需要“合二为一”，有的数学题需要“一分为二”。总之，用图像解题的最终目的是：由繁化简，由难变易，准确而迅速地解决问题。
例1：设全集U＝{（x，y）|x∈R，y∈R}，集合A＝〖JB（{〗（x，y）|〖SX（〗y-2〖〗x-1〖SX）〗〖JB）}〗，集合B＝{（x，y）|y≠x+1}，试求：Cu（A∪B）
【分析·引导】
全集U是坐标平面上所有点的集合，集合A是直线y=x+1去掉一点P（1，2）之后两条射线上所有点的集合（如图1所示），集合B是去掉直线y=x+1后，两个半平面上的所有点的集合（如图2所示），集合A∪B是坐标平面上去掉一点P（1，2）后的平面上所有点的集合（如图3所示），即平面上有一个空洞需要去掉。
解A∪B={（x，y）|x≠1，且y≠2}
Cu（A∪B）={（x，y）|（1，2）}
例2：已知，函数y=f（x）=|x-2|，y=g（x）=kx，求使f（x）≥g（x）恒成立的k的取值范围.
【分析·引导】
函数y=f（x）=|x-2|的图像是经点（2，0）为端点的两条射线，即将直线y=x-2或将直线y=2-x在x轴下方的那部分射线翻折到x轴的上方，为什么要这样呢？道理很简单，绝对值的概念不能忘记。函数y=f（x）的图像的任何部分必须将函数y=g（x）图像的每一个部分完全遮住，即函数y=g（x）的图像只能处于函数y=f（x）图像的下方，才能使f（x）≥g（x）恒成立.
〖TP04.TIF；%55%55，Y#〗解：作出函数y=f（x）=|x-2|的图像（如图4），再作函数y=g（x）=kx的图像。设直线y=kx与x轴的正方向上的交角为α，由图像观察，当〖SX（〗3π〖〗4〖SX）〗≤α≤π时，函数y=g（x）=k（x）只能在函数y=f（x）图像的下方或与x轴重合，也就是说直线y=g（x）在x轴下方绕O点旋转一定的角度。
∴tan〖SX（〗3π〖〗4〖SX）〗≤tanα≤tanπ
∴-1≤k≤0
【想想·议议】
（1）在正比例函数y=kx中，必须是k≠0，而在这里却为什么可以有k=0的存在呢？
（2）若0＜α＜〖SX（〗3π〖〗4〖SX）〗时，将会是什么情形？
例3：已知函数y=x2+（m+1）x+4，函数y=2x+3，求当两函数在区间［0，2］上有交点时的m值的范围。
【分析·点击】
要了解直线与曲线是否有交点与方程的解的情况是密切相关的，根据题意将两个函数“合二为一”，转化为函数y=f（x）=x2+（m+1）x+4 （0≤x≤2）后（想一想，为什么能转化？为什么要转化〖TP05.TIF；%55%55，Y#〗？），再求方程y=f（x）=0在［0，2］上有一个根，两个根（包括二重根）的情况，即函数y=f（x）的图像与x轴在{0，2}有一个交点，两个交点（含相切）两种情形。
〖TP06.TIF；%55%55，Y#〗解：（1）当方程y=f（x）=0在（0，2）上有一个根，即函数y=f（x）的图像在（0，2）上与x轴仅有一个交点时（如图5），有f（0）f（2）＜0
∴4+2（m+1）+1＜0
∴m＜-〖SX（〗3〖〗2〖SX）〗
（2）当方程f（x）在［0，2］上有两个根（包括二重根），即函数y=f（x）的图像在［0，2］上与x轴有两个交点或相切时（如图6）有：
〖JB（{〗f（0）f（2）≥0
△≥0
0≤〖SX（〗1-m〖〗2〖SX）〗≤2〖JB）〗
〖JB（{〗4+2（m-1）+1≥0
（m-1）2-4≥0
0≤1-m≤4〖JB）〗
∴〖JB（（〗m≥-〖SX（〗3〖〗2〖SX）〗
m≥3或m≤-1
-3≤m≤-1〖JB）〗
∴-〖SX（〗3〖〗2〖SX）〗≤m≤-1
综合两种情形，当m≤-1时，函数y=x2+（m+1）x+4与函数y=2x+3在区间［0，2］上有交点。
y=f（x）=0
例4：试讨论下列方程解的个数（其中a∈R）
（1）-x2+2|x|+3=α，（2）|x2-2x|+x-a=0
〖TP07.TIF；%55%55，Y#〗解：（1）作出图像（如图7），让平行于x轴的动直线y=a（a∈R）在竖直方向上自由滑动，观察图像可知方程的解的个数.
①当a＞4时，方程无解；
②当a=4，或a＜3时，方程有两解；
③当a=3时，方程有三解；
④当3＜a＜4时，方程有四解.
〖TP08.TIF；%55%55，Y#〗（2）作图像（如图8），实质上，该图像是二次曲线y=x2-2x与二次曲线y=2x-x2的组合体，即将二次曲线y=x2-2x的图像或将二次曲线y=2x-x2的图像在x轴的下方的部分翻折到x轴的上方。解题时一定要借助于观察直线y=-x+a与曲线能否相交，相切，在什么情况下相交、相切、相离，再确定方程的解的个数。先让直线y=-x沿与x轴的正方向或135°夹角方向上平移，观察直线与曲线的相交、相切、相离等情况。 ①当a＜0时，方程无解；
②当a=0时，方程有一解；（为什么直线y=-x与曲线y=x2-2x有两个交点，而直线y=-x与曲线y=|x2-2x|只能有一个交点？）
③当0＜a＜2，或a＞〖SX（〗9〖〗4〖SX）〗时，方程有两解；
④当a=2，或a=〖SX（〗9〖〗4〖SX）〗时，方程有三解；
⑤当2＜a＜〖SX（〗9〖〗4〖SX）〗时，方程有四解。
问：（1）你能否知道a=〖SX（〗9〖〗4〖SX）〗是怎样求出来的？
（2）当a=-〖SX（〗1〖〗4〖SX）〗时，直线y=-x-〖SX（〗1〖〗4〖SX）〗能否与曲线y=x2-2x相切？与曲线y=|x2-2x|能否相切吗？为什么？
【归纳·点评】
（1）用根的判别式判定直线y=-x+a与曲线y=-x2+2x（0≤x≤2）相切，求得a=〖SX（〗9〖〗4〖SX）〗；
（2）当a=-〖SX（〗1〖〗4〖SX）〗时，直线y=-x-〖SX（〗1〖〗4〖SX）〗与曲线y=x2-2x相切，但与y=|x2-2x|不相切，因为已将二次曲线y=x2-2x在x轴下方的那部分翻折到了x轴的上方去了。
例5：已知函数y=f（x）=ax-x-a（a＞0）且a≠1有两个零点，试求a的取值范围（山东省09年数学高考题）
【分析·引导】
当函数有两个零点时，意味着是使函数y=f（x）为零的两个自变量x1、x2，此时，解析式就成为方程ax-x-a=0，由题意知，该方程有两解，再把方程ax-x-a=0转化为ax=x+a，“一分为二”后，寻找指数函数y=x+a的图像与一次函数的图像有两个交点即可。
解当0＜a＜1时，作出图9，函数y=ax的图像与函数y=x+a的图像只有一个交点，不符合题意。
当a＞1时，作出图10，函数y=ax与函数y=x+a的图像有两个交点，故满足题意，所以a＞1。
〖TP09.TIF；%36%36，BP〗〖KH-*1〗
〖TP10.TIF；%30%30，BP〗〖KH-*1〗
例6，已知，方程ax+4-2=0与方程logax+x-2均只有一解，其解分别为m、n，求log4（m+n）的值。
〖HJ1.455mm〗【思路点拨】
将两方程分别转化为：ax=2-x，logax=2-x，作图解答。两个方程的解m、n各自一般不是整数解，而两解之和m+n必定是整数解，可以从图像中找出来。
解：当0＜a＜1时，方程ax+4-2=0有两解，方程logax+x-2也有两解（如图11），故不符合题意。
〖TP11.TIF；%30%30，BP〗〖KH-*1〗
當a＜1时，作出图像（如图12）符合题意。
〖TP12.TIF；%30%30，BP〗〖KH-*1〗
设直线y=2-x与y轴、
x轴的交点分别为A、B，函数y=ax与函数y=2-x的图像交点Q（n、y2）过P点作PM⊥y轴，垂足为M，过点Q作QN⊥x轴，垂足为N，因为△AOB是等腰直角三角形，P、Q两点关于直线对称，故Rt△AMP≌Rt△QMB。
∴PM＝NB＝m
∴OB＝ON＋NB＝m＋n＝2
∴log4（m+n）=log42=〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗
以上几道例题相对于若大的数学学科来说不过是“冰山一角”，但可以“见一斑而知全豹”，对于引领和启迪学生解答一些与图像或图形相关的数学题是恰到好处的，收效也是非常明显的。
参考文献
［1］ 贺进军，周洁.《高中数学精讲精练》，南师大出版社出版发行，1997.5.
［2］ 烟学敏，刘玉翘.《中学数学解题精典》，人民日报出版社出版，1993.8.