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摘要：通过相关文献的宏观理论分析与研究，得出：在课堂教学中落实发展数学核心素养，需要教师把握数学内容的本质，运用适切的方法，实施有效的教学，让学生真实地参与各种数学实践活动。对两节《等比数列的前n项和》同课异构的教学实施进行微观实践的比较与评价，从技术、交流、价值三个方面考察教师的教学行为，从表述、操作、推理和问题解决四个方面考察学生的学习行为，发现一线教师对于落实发展数学核心素养的教学实施在认识和行为上可能存在的问题，从而提出改进建议：教师要“目中有人”，持有“学生立场”和“差异发展”的教学观。
关键词：核心素养教学实施等比数列的前n项和
笔者曾在《核心素养视角下数学教学设计之“魂魄”》一文中尝试通过相关文献的宏观理论分析与研究，探索核心素养视角下数学教学设计的“魂”（精神、理念）应该是什么，如何指导“魄”（实体、行为）;并且对一次主题为“研究核心素养的课堂表达，促进数学教育的方式转型”的教研活动中两节《等比数列的前n项和》同课异构的教学设计进行微观实践的比较与评价，探索核心素养视角下数学教学设计的“魄”可以是什么，如何体现“魂”。
核心素养的落地不仅需要体现在教学设计中，而且需要体现在教学实施中。下面，尝试通过相关文献的宏观理论分析与研究，探索核心素养视角下数学教学实施的基本维度和重要观念;并且继续对上述教研活动中同样的两节同课异构教学实施进行微观实践的比较与评价，探索核心素养视角下数学教学实施的具体表现和实际效果。
一、核心素养视角下数学教学实施的理论框架
对于数学素养的研究，西方国家早于我国，但是没有核心素养的提法。关于落实发展数学素养的课堂教学，美国的David K.Pugalee教授在大量实证研究的基础上构建了一个可操作性模型。这个模型由两个同心圆构成，里面的小圆阐述了教师在教学过程中可使用“技术”（technology）、“交流”（communication）、“价值”（value）三个“使能器”，来促进学生实现知识的内化;外面的大圆描述了学生在学习过程中要经历“表述”（representing）、“操作”（manipulating）、“推理”（reasoning）、“问题解决”（problem solving）四种活动体验。
在《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“《标准》”）颁布前，我国学者对落实发展数学核心素养的课堂教学已有比较广泛的探讨，并形成了较为一致的观点：课堂教学要体现学生个体经历与数学有关的实践活动，并通过体验、感悟和反思等系列学习活动，实现知识的内化，使之最终成为自己的一种品质。在《标准》颁布后，史宁中教授指出，落实发展数学核心素养的教学过程应该体现：把握学生认知数学知识本质的过程;在合适的教学情境中提出合适的数学问题;在启发学生独立思考的前提下鼓励学生相互交流;让学生在知识和技能的掌握过程中理解数学本质;让学生感悟数学基本思想，逐步发展数学核心素养。
可见，在课堂教学中落实发展数学核心素养，需要教师把握数学内容的本质，运用适切的方法，实施有效的教学，让学生真实地参与各种数学实践活动。David K.Pugalee教授的数学素养发展模型与我国很多学者的落实发展数学核心素养的课堂教学观点是一致的，且更为具体化。
二、核心素养视角下数学教学实施的实践情况
我们将运用上述数学素养发展模型，对此次活动中两节课的课堂实录、课堂观察记录以及学生演算操作纸进行比较和评价，从技术、交流、价值三个方面考察教师的教学行为，从表述、操作、推理和问题解决四个方面考察学生的学习行为。为了表述方便，下面分别称此次活动中两位授课教师为Y教师和Z教师，对应的两节课为课例1和课例2。
（一）教师“使能器”的使用效果
1.技术手段。
Y教师（课例1）注重现代信息技术的使用，除了运用PPT展示教学内容之外，还利用手机拍摄学生的操作解答，即时传送到电子白板上展示，供学生交流使用;调用电子计算器计算230;让小组成员合用电脑阅读等比数列前n项和公式的其他证明方法，进而展开讨论。而Z教师（课例2）只运用了PPT演示教学内容。
但遗憾的是，Y教师没有充分利用好这些技术。如，在问题情境和例题解答这两个环节中，Y教师都只选择了一位学生的正确解答，利用手机拍摄并传送到电子白板上展示，没有选择和呈现不同水平层次的学生的不同解答，导致生成的丰富资源没有得到充分的利用，技术的优越性没有得到充分的体现。又如，小组成员共用电脑阅读证明方法的材料这个环节过于形式化，不如给每位学生发一份纸质的材料，阅读更方便，还可以圈画。
技术形式的多样化有助于提高教学效益，但需要挖掘技术的使用价值，注重其实效性，不能为技术而技术。
教学环节课例1（Y教师）课例2（Z教师）互动交流时间学生表达时间互动交流时间学生表达时间问题情境7分37秒1分46秒1分44秒17秒公式推导4分19秒31秒20分18秒53秒例题解答11分29秒1分34秒9分33秒1分21秒总计23分25秒3分51秒31分35秒2分31秒2.交流手段。
通过对两节课各环节互动时间和学生表达时间的统计（见表1），可以看出两位教师用于互动交流的时间都很多，均超过了一半的课堂教学时间。两位教师主要采用“师个问答”的互动形式;当学生思维出现障碍或一时回答不出时，两位教师则会转向“师班问答”或“小组讨论”，但是小组讨论的次数相当少。
值得注意的是，尽管互动交流时间占比课堂教学时间很大，但是，学生表达时间占比互动交流时间很小。为什么会出现这种现象？经过分析，两位教师在互动交流前留给学生独立思考和操作的時间都很少，大部分学生没有完全进入思考和操作阶段就被叫停，导致两位教师在互动交流中不得不通过大量的提问、启发引导或解释说明，让学生顺着教师想要的思路和答案回答，甚至代替学生回答。 例如，课例2中有这样一个互动交流片段——
（学生猜想首项为1、公比为2的等比数列的前n项和。）
师2n-1，你是怎么想的？
生一个个列出来。
师一个个列出来找规律，是不是？非常好！等一下我们也会用到这个思想。那么，从特殊的情况中找规律，比如，n取1的时候，这边就是一个1，对不对？n取2的时候，1+2=3，对不对？n取3的时候，1+2+4=7。那么，它的前1项和是1，前2项和是3，前3项和是7，1、3、7有什么规律啊？
这里，当学生回答出“一个个列出来”后，教师没有让学生自己表述如何“一个个列出来”，也没有追问学生“你是怎样一个个列出来的”。相反，教师有点欣喜若狂，抢过学生的话，大肆发挥了一通，代替学生进行了回答。显然，教师非常想要的答案就是先把n=1、2、3、4等特殊情况的结果算出来，再通过观察猜测一般情况的结果。
又如，课例1中有这样一个互动交流片段——
（学生讲述例1的解题思路。）
师可以。那这个时候，除了这个公式，还要结合什么公式啊？（稍停）是不是结合通项公式？好！那我们再来看一看这种题目对我们的提示。（PPT同步呈现）在等比数列的通项公式与前n项和公式中，共含有a1、q、n、an、Sn五个量，那么，我们可以利用方程组的思想。这样一个思想在等差数列中用没用过？用过的吧。那么，利用方程组的思想，可以做到“知几求几”啊？
生“知三求二”。
师原因是两个等式，五个未知数，是不是啊？那知道了三个，剩下的两个是不是可以利用方程组的思想去求解啊？大家一定要注意这样一个关系。好，现在来看一下例2。
这里也出现了教师代替学生表述的现象：教师在提问“还要结合什么公式”后，不给学生思考的时间和回答的机会，就自己回答了;学生说出“知三求二”后，教师没有让学生解释为什么，就急忙自己解释了。
在整个课堂互动交流中，两位教师的提问都相当多，但有思维含量和挑战性的问题不多，都是通过挤牙膏式地问答，让学生顺着自己想要的思路走;而且，都是选择“学优生”回答，尽量确保得到正确答案，均未充分利用互动交流，暴露“学困生”的困惑思维，并加以分析、讨论。这样的教学存在主导过度和资源单一的问题，与“学生主体”“面向全体”的课改精神不合。
3.价值手段。
两位教师在价值手段的运用上，尤其是在评价反馈方面，有明显的差异。例如，在针对问题情境的互动交流中，Y教师基本上没有对学生的思路和解答进行表扬或批评等评价反馈，而是客观地指出这个方法能不能解决问题，不能的话应该采用何种方法等;Z教师则会运用“大家的反应很快”“很好，他没有把它事先加起来”“非常好”“不怕错，大胆说”等话语给予学生激励性评价反馈，来帮助学生建立良好的学习情感和态度。可见，Z教师更加关注学生情感、态度和价值观的引导。
（二）学生学习活动的体验效果
1.表述活动。
表述是学生个体构建数学模型的一种重要活动体验。两节课都缺乏让学生把实际问题表述成数学问题的过程体验。例如，出示问题情境后，Y教师直接让学生思考如何帮助猪八戒决策是否与孙悟空合作;Z教师也直接让学生计算4天后和n天后棍子被截取了多长。这样，“学困生”可能因为不知道是解决一个什么样的数学问题而浪费一些教师给予的思考时间。此外，Z教师设计了较多有背景的实际问题，但出示问题后，都直接让学生回答“你是怎么想的”，而不是问“这是一个什么样的数学问题”。可见，两位教师都没有较好的发展学生数学抽象和数学模型素养的意识。
2.操作活动。
这里的操作是指学生进行思考以及运用算法和程序性知识进行计算等活动，最终目的是对数学知识进行概念性的深度理解。通过统计（见表2），可以看出两位教师给予学生独立思考和操作的时间基本接近，大约占课堂教学时间的20%——其中包括了互动交流中教師停顿、留白给学生思考的短暂时间的累积。
教学
环节课例1（Y教师）课例2（Z教师）问题
情境出示问题后，让学生独立思考、操作20秒;在互动交流中，给予3分45秒的时间让学生用加减消元法求首项为1、公比为2的等比数列前30项和出示问题后，让学生独立思考、操作46秒，然后进入互动交流公式
推导给予29秒的时间让学生思考、操作公式的推导;在互动交流中，累计给予10秒的时间让学生思考未给时间让学生思考、操作公式的推导;在互动交流中，累计给予1分9秒的时间让学生思考例题
解答让学生独立思考、操作4分41秒;在互动交流中，累计给予1分20秒的时间让学生思考让学生独立思考、操作4分50秒;在互动交流中，累计给予2分52秒的时间让学生思考总计10分45秒9分37秒具体地，Y教师出示问题情境后，一些学生还没有把这个实际问题转化为数学问题，就被要求互动交流了;Z教师出示问题情境后，很多学生还只是思考、操作完第一问，就被要求互动交流了。可见，两节课中学生在问题情境环节的思考、操作体验基本上是走形式，这导致教师在互动交流中用一连串小问题来引导学生的思维顺着自己的意愿走。此外，两位教师（尤其是Z教师）所给的三道例题都不简单，大部分学生在所给的思考、操作时间内只完成了第1道例题，较好一点的学生才开始尝试第2道例题。可见，两节课中学生在例题解答环节的思考、操作体验基本上也是走形式，这也导致教师在互动交流中大量地启发引导，甚至代替思考。因此，两节课让学生经历数学实践活动的过程体验和感悟、反思都不充分，发展数学核心素养的落实都不到位。
3.推理活动。
数学推理活动包含提出猜想、收集证据、建立支持观点的论点等一系列行为。这里特别针对探索等比数列前n项和公式的推理活动。
课例1中，Y教师让学生类比等差数列求和，思考能否利用首项加末项再乘以项数、除以2，求等比数列的前30项和。一位学生做了如下推理：之前我们使用这个公式是因为首项与末项的和是中间项（和）的两倍，但在等比数列中首项与末项的和跟第二项与倒数第二项的和不一样，所以此处不能使用这个公式。遗憾的是，这里，Y教师没有引导学生认识到利用倒序相加法求等差数列的前n项和的本质原因是等差数列的通项特征，进而引导学生类比思考等比数列的通项特征是什么，以及如何抓住这一本质进行方法的探究。当另一位学生提出用消元的方法推导时，Y教师又急忙给出了等式两边乘以2，前后两式相减的方法，而没有追问学生“你所指的消元是什么？如何实现这种消元？为什么”。 课例2中，Z教师从首项为1、公比为12的等比数列的前4项和的求解出发，让学生类比得出首项为1、公比为12的等比数列的前n项和的结果;再把公比换成2和3，让学生根据前面的结果形式进行猜想、验证;最后，让学生对首项为a1、公比为q的等比数列的前n项和公式进行猜想、论证。遗憾的是，这里，Z教师的引导过多，没有重心下移，让学生独立思考和操作，使得效果并不理想，好几处提问都让学生感到茫然。另外，Z教师在引导学生运用错位相减法论证猜想的结果时，也没有引导学生抓住等比数列的通项特征进行分析。
可见，两位教师的教学均没有达到让学生理解知识本质的效果，在发展学生的逻辑推理素养上都有很大的改进空间。
4.问题解决活动。
问题解决被大多数人认为是学习数学的根本原因，是学生运用已有的知识和技能去解决那些答案不是显而易见的数学问题。由于两位教师给予学生的思考和操作的时间都比较少，因此，两节课中学生问题解决的体验和表现都不如人意。
关于问题情境，课例1后，随机抽取的30份学生演算操作纸中，21份不在解决“孙悟空和猪八戒”的金融问题，而在推导首项为a1、公比为q的等比数列的前n项和公式（可能是因为还没有弄清楚是什么样的数学问题，以及预习过课本）;1份先推導公式，后代入计算;另外8份是在解决公比为2的等比数列的前30项和的数学问题，但其中有3份弄错了项数，表述成求31项的和，还有2份是教师讲解后修正的（与笔者在现场看到的情形基本一致），因此只有3份列式正确。课例2后，随机抽取的9份演算操作纸中，6份没有写任何字（可能进行了心算操作）;余下的3份都只写了如何求4天后木棍被截取的长度，1份写的是“1×12×12×12×12”，1份写的是“12、14、18”，还有1份先写了“1×124”，在师生问答结束后改成了“1-124”。
关于例题解答，课例1中，大部分学生解答了第1个直接运用等比数列求和公式的问题[例1（1）]，极少数学生写出了后面2个问题[例1（2）与例2]的部分过程，教师就叫停了，并且没有请跟不上的学生呈现他们的思维状态，而是请“优学生”讲解正确的做法。课例2中，由于例题的难度更高，学生呈现出的问题解决效果更差;而且，教师也忽视了“中等生”和“学困生”的思维状态，而选择呈现了“优等生”的解答进行互动交流。
三、核心素养视角下数学教学实施存在的问题及改进建议
上述同课异构的比较分析，折射出一线教师对落实发展数学核心素养的教学实施在认识上可能存在的问题：（1）认为技术形式的革新就意味着学习本质的变化;（2）认为创设了问题情境就实现了数学实践活动的真实经历;（3）认为开展了互动交流就体现了“以生为本”的理念。以及，在行为上可能存在的问题：（1）没有重心下移的开放、发展意识，过度关注如何按照预设完成教学，而不太关注学生真实、丰富的生成;（2）无视学生的差异，尤其是忽略中等偏下学生的思维表达;（3）忽视对数学本质的分析。这些都会导致学生在课堂上思考和操作活动有形无实，推理活动不够深入等。
要解决上述问题，最根本的是，教师要“目中有人”，持有“学生立场”和“差异发展”的教学观。这需要真正地转变教学观念，从预设、封闭、控制形态的教学走向生成、开放、发展形态的教学，真正地解放学生。教师要意识到教学的推进需要基于学生的认识和思维：既要能很好地体现预设的目标和落实设计的活动（内容），也要能根据学生的实际灵活地调整教学的策略。
核心素养视角下数学教学实施的实质是充分运用技术、交流和价值等手段，让学生真实体验数学表述、操作、推理和问题解决的实践活动，真正经历知识的建构、内化和迁移等过程;有效利用学生生成的资源，有序推进学生学习的进程，让学生把握数学本质，感悟数学思想。
*本文系江苏省研究生教育教学改革课题项目“后现代视域下的研究生数学教育课程教学变革研究——生长式自本课程教学理论和实践探索”（编号：JGLX18_058）和扬州大学创新创业教育改革项目“数学教育教学实践创新型教材研发”（编号：yzucx2016-1B）的阶段性研究成果。
参考文献：
[1] 陈算荣，陈建祥.核心素养视角下数学教学设计之“魂魄”——基于《等比数列的前n项和》同课异构的比较与评价[J].教育研究与评论（课堂观察），2019（1）.
[2] David K.Pugalee.Constructing a Model of Mathematical Literacy[J].The Clearing House，1999（1）.
[3] 吴宝莹，陈敏.数学核心素养的培养——从教学过程的维度[J].教育研究与评论（中学教育教学），2015（4）.
[4] 王尚志.努力提升数学教师的“数学素养”[J].中学数学教学参考，2015（7）.
[5] 章建跃.数学核心素养如何落实在课堂？[J].中小学数学，2016（3）.
[6] 黄友初.我国数学素养研究分析[J].课程·教材·教法，2015（8）.
[7] 史宁中.高中数学课程标准修订中的关键问题[J].数学教育学报，2018（1）.
关键词：核心素养教学实施等比数列的前n项和
笔者曾在《核心素养视角下数学教学设计之“魂魄”》一文中尝试通过相关文献的宏观理论分析与研究，探索核心素养视角下数学教学设计的“魂”（精神、理念）应该是什么，如何指导“魄”（实体、行为）;并且对一次主题为“研究核心素养的课堂表达，促进数学教育的方式转型”的教研活动中两节《等比数列的前n项和》同课异构的教学设计进行微观实践的比较与评价，探索核心素养视角下数学教学设计的“魄”可以是什么，如何体现“魂”。
核心素养的落地不仅需要体现在教学设计中，而且需要体现在教学实施中。下面，尝试通过相关文献的宏观理论分析与研究，探索核心素养视角下数学教学实施的基本维度和重要观念;并且继续对上述教研活动中同样的两节同课异构教学实施进行微观实践的比较与评价，探索核心素养视角下数学教学实施的具体表现和实际效果。
一、核心素养视角下数学教学实施的理论框架
对于数学素养的研究，西方国家早于我国，但是没有核心素养的提法。关于落实发展数学素养的课堂教学，美国的David K.Pugalee教授在大量实证研究的基础上构建了一个可操作性模型。这个模型由两个同心圆构成，里面的小圆阐述了教师在教学过程中可使用“技术”（technology）、“交流”（communication）、“价值”（value）三个“使能器”，来促进学生实现知识的内化;外面的大圆描述了学生在学习过程中要经历“表述”（representing）、“操作”（manipulating）、“推理”（reasoning）、“问题解决”（problem solving）四种活动体验。
在《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“《标准》”）颁布前，我国学者对落实发展数学核心素养的课堂教学已有比较广泛的探讨，并形成了较为一致的观点：课堂教学要体现学生个体经历与数学有关的实践活动，并通过体验、感悟和反思等系列学习活动，实现知识的内化，使之最终成为自己的一种品质。在《标准》颁布后，史宁中教授指出，落实发展数学核心素养的教学过程应该体现：把握学生认知数学知识本质的过程;在合适的教学情境中提出合适的数学问题;在启发学生独立思考的前提下鼓励学生相互交流;让学生在知识和技能的掌握过程中理解数学本质;让学生感悟数学基本思想，逐步发展数学核心素养。
可见，在课堂教学中落实发展数学核心素养，需要教师把握数学内容的本质，运用适切的方法，实施有效的教学，让学生真实地参与各种数学实践活动。David K.Pugalee教授的数学素养发展模型与我国很多学者的落实发展数学核心素养的课堂教学观点是一致的，且更为具体化。
二、核心素养视角下数学教学实施的实践情况
我们将运用上述数学素养发展模型，对此次活动中两节课的课堂实录、课堂观察记录以及学生演算操作纸进行比较和评价，从技术、交流、价值三个方面考察教师的教学行为，从表述、操作、推理和问题解决四个方面考察学生的学习行为。为了表述方便，下面分别称此次活动中两位授课教师为Y教师和Z教师，对应的两节课为课例1和课例2。
（一）教师“使能器”的使用效果
1.技术手段。
Y教师（课例1）注重现代信息技术的使用，除了运用PPT展示教学内容之外，还利用手机拍摄学生的操作解答，即时传送到电子白板上展示，供学生交流使用;调用电子计算器计算230;让小组成员合用电脑阅读等比数列前n项和公式的其他证明方法，进而展开讨论。而Z教师（课例2）只运用了PPT演示教学内容。
但遗憾的是，Y教师没有充分利用好这些技术。如，在问题情境和例题解答这两个环节中，Y教师都只选择了一位学生的正确解答，利用手机拍摄并传送到电子白板上展示，没有选择和呈现不同水平层次的学生的不同解答，导致生成的丰富资源没有得到充分的利用，技术的优越性没有得到充分的体现。又如，小组成员共用电脑阅读证明方法的材料这个环节过于形式化，不如给每位学生发一份纸质的材料，阅读更方便，还可以圈画。
技术形式的多样化有助于提高教学效益，但需要挖掘技术的使用价值，注重其实效性，不能为技术而技术。
教学环节课例1（Y教师）课例2（Z教师）互动交流时间学生表达时间互动交流时间学生表达时间问题情境7分37秒1分46秒1分44秒17秒公式推导4分19秒31秒20分18秒53秒例题解答11分29秒1分34秒9分33秒1分21秒总计23分25秒3分51秒31分35秒2分31秒2.交流手段。
通过对两节课各环节互动时间和学生表达时间的统计（见表1），可以看出两位教师用于互动交流的时间都很多，均超过了一半的课堂教学时间。两位教师主要采用“师个问答”的互动形式;当学生思维出现障碍或一时回答不出时，两位教师则会转向“师班问答”或“小组讨论”，但是小组讨论的次数相当少。
值得注意的是，尽管互动交流时间占比课堂教学时间很大，但是，学生表达时间占比互动交流时间很小。为什么会出现这种现象？经过分析，两位教师在互动交流前留给学生独立思考和操作的時间都很少，大部分学生没有完全进入思考和操作阶段就被叫停，导致两位教师在互动交流中不得不通过大量的提问、启发引导或解释说明，让学生顺着教师想要的思路和答案回答，甚至代替学生回答。 例如，课例2中有这样一个互动交流片段——
（学生猜想首项为1、公比为2的等比数列的前n项和。）
师2n-1，你是怎么想的？
生一个个列出来。
师一个个列出来找规律，是不是？非常好！等一下我们也会用到这个思想。那么，从特殊的情况中找规律，比如，n取1的时候，这边就是一个1，对不对？n取2的时候，1+2=3，对不对？n取3的时候，1+2+4=7。那么，它的前1项和是1，前2项和是3，前3项和是7，1、3、7有什么规律啊？
这里，当学生回答出“一个个列出来”后，教师没有让学生自己表述如何“一个个列出来”，也没有追问学生“你是怎样一个个列出来的”。相反，教师有点欣喜若狂，抢过学生的话，大肆发挥了一通，代替学生进行了回答。显然，教师非常想要的答案就是先把n=1、2、3、4等特殊情况的结果算出来，再通过观察猜测一般情况的结果。
又如，课例1中有这样一个互动交流片段——
（学生讲述例1的解题思路。）
师可以。那这个时候，除了这个公式，还要结合什么公式啊？（稍停）是不是结合通项公式？好！那我们再来看一看这种题目对我们的提示。（PPT同步呈现）在等比数列的通项公式与前n项和公式中，共含有a1、q、n、an、Sn五个量，那么，我们可以利用方程组的思想。这样一个思想在等差数列中用没用过？用过的吧。那么，利用方程组的思想，可以做到“知几求几”啊？
生“知三求二”。
师原因是两个等式，五个未知数，是不是啊？那知道了三个，剩下的两个是不是可以利用方程组的思想去求解啊？大家一定要注意这样一个关系。好，现在来看一下例2。
这里也出现了教师代替学生表述的现象：教师在提问“还要结合什么公式”后，不给学生思考的时间和回答的机会，就自己回答了;学生说出“知三求二”后，教师没有让学生解释为什么，就急忙自己解释了。
在整个课堂互动交流中，两位教师的提问都相当多，但有思维含量和挑战性的问题不多，都是通过挤牙膏式地问答，让学生顺着自己想要的思路走;而且，都是选择“学优生”回答，尽量确保得到正确答案，均未充分利用互动交流，暴露“学困生”的困惑思维，并加以分析、讨论。这样的教学存在主导过度和资源单一的问题，与“学生主体”“面向全体”的课改精神不合。
3.价值手段。
两位教师在价值手段的运用上，尤其是在评价反馈方面，有明显的差异。例如，在针对问题情境的互动交流中，Y教师基本上没有对学生的思路和解答进行表扬或批评等评价反馈，而是客观地指出这个方法能不能解决问题，不能的话应该采用何种方法等;Z教师则会运用“大家的反应很快”“很好，他没有把它事先加起来”“非常好”“不怕错，大胆说”等话语给予学生激励性评价反馈，来帮助学生建立良好的学习情感和态度。可见，Z教师更加关注学生情感、态度和价值观的引导。
（二）学生学习活动的体验效果
1.表述活动。
表述是学生个体构建数学模型的一种重要活动体验。两节课都缺乏让学生把实际问题表述成数学问题的过程体验。例如，出示问题情境后，Y教师直接让学生思考如何帮助猪八戒决策是否与孙悟空合作;Z教师也直接让学生计算4天后和n天后棍子被截取了多长。这样，“学困生”可能因为不知道是解决一个什么样的数学问题而浪费一些教师给予的思考时间。此外，Z教师设计了较多有背景的实际问题，但出示问题后，都直接让学生回答“你是怎么想的”，而不是问“这是一个什么样的数学问题”。可见，两位教师都没有较好的发展学生数学抽象和数学模型素养的意识。
2.操作活动。
这里的操作是指学生进行思考以及运用算法和程序性知识进行计算等活动，最终目的是对数学知识进行概念性的深度理解。通过统计（见表2），可以看出两位教师给予学生独立思考和操作的时间基本接近，大约占课堂教学时间的20%——其中包括了互动交流中教師停顿、留白给学生思考的短暂时间的累积。
教学
环节课例1（Y教师）课例2（Z教师）问题
情境出示问题后，让学生独立思考、操作20秒;在互动交流中，给予3分45秒的时间让学生用加减消元法求首项为1、公比为2的等比数列前30项和出示问题后，让学生独立思考、操作46秒，然后进入互动交流公式
推导给予29秒的时间让学生思考、操作公式的推导;在互动交流中，累计给予10秒的时间让学生思考未给时间让学生思考、操作公式的推导;在互动交流中，累计给予1分9秒的时间让学生思考例题
解答让学生独立思考、操作4分41秒;在互动交流中，累计给予1分20秒的时间让学生思考让学生独立思考、操作4分50秒;在互动交流中，累计给予2分52秒的时间让学生思考总计10分45秒9分37秒具体地，Y教师出示问题情境后，一些学生还没有把这个实际问题转化为数学问题，就被要求互动交流了;Z教师出示问题情境后，很多学生还只是思考、操作完第一问，就被要求互动交流了。可见，两节课中学生在问题情境环节的思考、操作体验基本上是走形式，这导致教师在互动交流中用一连串小问题来引导学生的思维顺着自己的意愿走。此外，两位教师（尤其是Z教师）所给的三道例题都不简单，大部分学生在所给的思考、操作时间内只完成了第1道例题，较好一点的学生才开始尝试第2道例题。可见，两节课中学生在例题解答环节的思考、操作体验基本上也是走形式，这也导致教师在互动交流中大量地启发引导，甚至代替思考。因此，两节课让学生经历数学实践活动的过程体验和感悟、反思都不充分，发展数学核心素养的落实都不到位。
3.推理活动。
数学推理活动包含提出猜想、收集证据、建立支持观点的论点等一系列行为。这里特别针对探索等比数列前n项和公式的推理活动。
课例1中，Y教师让学生类比等差数列求和，思考能否利用首项加末项再乘以项数、除以2，求等比数列的前30项和。一位学生做了如下推理：之前我们使用这个公式是因为首项与末项的和是中间项（和）的两倍，但在等比数列中首项与末项的和跟第二项与倒数第二项的和不一样，所以此处不能使用这个公式。遗憾的是，这里，Y教师没有引导学生认识到利用倒序相加法求等差数列的前n项和的本质原因是等差数列的通项特征，进而引导学生类比思考等比数列的通项特征是什么，以及如何抓住这一本质进行方法的探究。当另一位学生提出用消元的方法推导时，Y教师又急忙给出了等式两边乘以2，前后两式相减的方法，而没有追问学生“你所指的消元是什么？如何实现这种消元？为什么”。 课例2中，Z教师从首项为1、公比为12的等比数列的前4项和的求解出发，让学生类比得出首项为1、公比为12的等比数列的前n项和的结果;再把公比换成2和3，让学生根据前面的结果形式进行猜想、验证;最后，让学生对首项为a1、公比为q的等比数列的前n项和公式进行猜想、论证。遗憾的是，这里，Z教师的引导过多，没有重心下移，让学生独立思考和操作，使得效果并不理想，好几处提问都让学生感到茫然。另外，Z教师在引导学生运用错位相减法论证猜想的结果时，也没有引导学生抓住等比数列的通项特征进行分析。
可见，两位教师的教学均没有达到让学生理解知识本质的效果，在发展学生的逻辑推理素养上都有很大的改进空间。
4.问题解决活动。
问题解决被大多数人认为是学习数学的根本原因，是学生运用已有的知识和技能去解决那些答案不是显而易见的数学问题。由于两位教师给予学生的思考和操作的时间都比较少，因此，两节课中学生问题解决的体验和表现都不如人意。
关于问题情境，课例1后，随机抽取的30份学生演算操作纸中，21份不在解决“孙悟空和猪八戒”的金融问题，而在推导首项为a1、公比为q的等比数列的前n项和公式（可能是因为还没有弄清楚是什么样的数学问题，以及预习过课本）;1份先推導公式，后代入计算;另外8份是在解决公比为2的等比数列的前30项和的数学问题，但其中有3份弄错了项数，表述成求31项的和，还有2份是教师讲解后修正的（与笔者在现场看到的情形基本一致），因此只有3份列式正确。课例2后，随机抽取的9份演算操作纸中，6份没有写任何字（可能进行了心算操作）;余下的3份都只写了如何求4天后木棍被截取的长度，1份写的是“1×12×12×12×12”，1份写的是“12、14、18”，还有1份先写了“1×124”，在师生问答结束后改成了“1-124”。
关于例题解答，课例1中，大部分学生解答了第1个直接运用等比数列求和公式的问题[例1（1）]，极少数学生写出了后面2个问题[例1（2）与例2]的部分过程，教师就叫停了，并且没有请跟不上的学生呈现他们的思维状态，而是请“优学生”讲解正确的做法。课例2中，由于例题的难度更高，学生呈现出的问题解决效果更差;而且，教师也忽视了“中等生”和“学困生”的思维状态，而选择呈现了“优等生”的解答进行互动交流。
三、核心素养视角下数学教学实施存在的问题及改进建议
上述同课异构的比较分析，折射出一线教师对落实发展数学核心素养的教学实施在认识上可能存在的问题：（1）认为技术形式的革新就意味着学习本质的变化;（2）认为创设了问题情境就实现了数学实践活动的真实经历;（3）认为开展了互动交流就体现了“以生为本”的理念。以及，在行为上可能存在的问题：（1）没有重心下移的开放、发展意识，过度关注如何按照预设完成教学，而不太关注学生真实、丰富的生成;（2）无视学生的差异，尤其是忽略中等偏下学生的思维表达;（3）忽视对数学本质的分析。这些都会导致学生在课堂上思考和操作活动有形无实，推理活动不够深入等。
要解决上述问题，最根本的是，教师要“目中有人”，持有“学生立场”和“差异发展”的教学观。这需要真正地转变教学观念，从预设、封闭、控制形态的教学走向生成、开放、发展形态的教学，真正地解放学生。教师要意识到教学的推进需要基于学生的认识和思维：既要能很好地体现预设的目标和落实设计的活动（内容），也要能根据学生的实际灵活地调整教学的策略。
核心素养视角下数学教学实施的实质是充分运用技术、交流和价值等手段，让学生真实体验数学表述、操作、推理和问题解决的实践活动，真正经历知识的建构、内化和迁移等过程;有效利用学生生成的资源，有序推进学生学习的进程，让学生把握数学本质，感悟数学思想。
*本文系江苏省研究生教育教学改革课题项目“后现代视域下的研究生数学教育课程教学变革研究——生长式自本课程教学理论和实践探索”（编号：JGLX18_058）和扬州大学创新创业教育改革项目“数学教育教学实践创新型教材研发”（编号：yzucx2016-1B）的阶段性研究成果。
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