在日常生活中存在着许多两个量之间具有反比例关系的例子.反比例函数与一次函数、不等式、简单的几何知识的综合以及与相关物理知识的综合方面有着广泛的应用,举例分析,供同学们参考.
　　 例1如图1所示,A为反比例函数图像上的一点,AB垂直于x轴,垂足为B.若△AOB的面积为3,则反比例函数的解析式是什么?
　　 分析:因为点A在反比例函数第二象限的图像上,所以,由三角形面积公式可求得k,从而求出反比例函数解析式.
　　 解:∵函数图像分布在第二、四象限,∴k<0.
　　 设A点坐标为(x,y),则S△AOB= |xy|=3,
　　 ∴k=xy=-6,
　　 ∴反比例函数的解析式为y=- .
　　 例2如图2所示,一次函数的图像与反比例函数的图像交于M、N两点.
　　 (1)求反比例函数和一次函数的解析式;
　　 (2)根据图像,写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围.
　　 分析:求一次函数的解析式必须有两个点的坐标.由于M、N都在反比例函数图像上,由反比例函数定义得k=(-1)×(-4)=2m,从而求出M点的坐标.再由待定系数法求出一次函数的解析式.根据数形结合的思想,求出反比例的图像在一次函数图像上方时x的取值范围.
　　 解:(1)∵M、N在反比例函数y= 上,
　　 ∴k=(-1)×(-4)=4,即y= ,
　　 ∴2m=4,m=2,即点M的坐标为(2,2).
　　 设一次函数的解析式为y=ax+b,
　　 则2a+b=2-a+b=-4,解得a=2b=-2.
　　 故一次函数的解析式为y=2x-2;
　　 (2)由图像可知,当x<-1或0　　 例3 一人站在平放在湿地上的木板上,当人和木板对湿地的压力一定时,随着木板面积S(m2)的变化,人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化?如果人和木板对湿地地面的压力为600N,回答下列问题:
　　 (1)用含S的代数式表示p.p是S的反比例函数吗?为什么?
　　 (2)当木板面积为0.2m2时,压强是多少?
　　 (3)如果要求压强不超过6000Pa,木板面积至少要多大?
　　 (4)画出相应的函数图像.
　　 分析:根据两个变量之间关系确定两个变量之间的函数关系式,首先要判断它属于哪一类函数,然后根据实际意义并注意自变量的取值范围,进而作出函数的正确的图像.
　　 解:随着木板面积S(m2)变小(大),压强p(Pa)将变大(小).
　　 (1)p= ,所以p是S的反比例函数,符合反比例函数的定义;
　　 (2)p= =3000(Pa),所以面积为0.2m2时,压强是3000Pa;
　　 (3)若压强p= ≤6000,解得S≥0.1(m2),故木板面积至少要0.1m2;
　　 (4)函数图像如图3所示.
　　例4要求取消市场上使用杆秤的呼声越来越高.原因在于,一些不法商贩在卖货时将秤砣挖空,或更换较小秤砣,使砣变轻,从而欺骗顾客.
　　 (1)如图4所示,对于同一物体,哪个用了较轻的秤砣?
　　 (2)在称同一物体时,秤砣到支点的距离y与所用秤砣质量x之间满足关系.
　　 (3)当秤砣变轻时,称得的物体变重,这正好符合哪个函数的哪些性质?
　　 分析:设重物的质量为G(定值),重物的受力点到支点的距离为l(定值),图4①、图4②中y1、y2分别表示秤砣的受力点到支点的距离,根据杠杆原理得:物体的质量(G)与阻力臂(l)的乘积等于秤砣的受力点到支点的距离(y1或y2)与秤砣质量(x)的乘积.
　　 解:(1)∵Gl为定值,xy=Gl,且y1>y2,
　　 ∴x1　　 (2)∵xy=Gl,
　　 ∴y与x满足反比例函数关系;
　　 (3)符合反比例函数y= (x>0)“在第一象限内,y随x的增大而减小”的性质.
　　 练一练:
　　 1.如图5所示,A、C是函数y=- 图像上关于原点O对称的任意两点.直线MN过A、C两点,过C向x轴作垂线,垂足为B,则三角形ABC的面积为 .
　　 2.下列各种情况中,x与y构成反比例关系的是哪些?请指出.
　　 (1)速度一定,汽车行驶时间为x小时,行驶路程为y千米.
　　 (2)路程一定,汽车平均速度为x千米/时,所需时间为y小时.
　　 (3)物体的质量和到支点的距离保持不变,钩码质量是x千克,钩码到支点的距离为y厘米.
　　 (4)杯底直径不变,注入水的高度为x厘米,水的质量为y千克.
　　 (5)注入水的体积一定,玻璃杯底面积为x厘米2,注入水的高度为y厘米.
　　 (6)注入水的体积一定,玻璃杯底面直径为x厘米,注入水的高度为y厘米.
　　 (7)秤盘到吊环的距离一定,秤砣质量一定,秤砣到吊环的距离为x厘米,秤盘中物体质量为y千克.