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【摘要】本文前一部分利率期限结构的文献综述，后一部分是Wishart模型的推导过程。
本文使用的定价模型是二维Wishart模型是一种矩阵形式的随机微分过程，模型中的参数和状态变量都是多维矩阵，本文只讨论二维矩阵的形式。在用Wishart给区间累计债券做定价的过程中，本文设定的Wishart过程矩量母函数形式是十分重要的运算环节，在具体计算表达式的推导中多次使用傅里叶变换和快速傅里叶变换（FFT）的方法。
【关键词】Wishart模型 利率期限结构模型 傅里叶变换
一、文献综述
（一）传统利率期限结构的经典理论
所谓利率模型，是指对债券收益率关于离债券到期时间的依赖关系的一种数学描述，这一关系被称为利率期限结构。上世纪70年代以前，利率期限结构的研究主要集中在定性的研究，核心是研究何种力量决定了期限结构的形状变化，其中包括预期理论、流动性偏好理论和市场分割理论等。
预期理论认为，长期债券的即期利率是短期债券的预期利率的函数，长期利率与短期利率之间的关系取决于现期短期利率与未来预期短期利率之间的关系。流动性偏好理论认为，远期利率应该是预期的未來利率与流动性风险补偿的累加。市场分割理论认为，由于市场是分割开来的，是低效率的，所以投资者的证券买卖的行为不能有效进行，所以机构的借贷活动或者投融资行为总是有其特殊的期限模式。
（二）经典单因子模型的最初构建
按照对利率期限结构建模的过程来区分，可以将其大致分为两种类型，第一类是根据市场均衡条件推导出的均衡模型，第二类是通过相关债券之间必须满足的无套利条件建立的无套利模型。
均衡模型包括许多严格的假定条件，并且要求考虑个人偏好，模型的动态路径是瞬时短期利率，模型的参数相对稳定，不同的时间具有一定的连贯性。模型可以应用于债券价格、利率期限结构的预测。主要包括Merton模型、Vasicek模型、CIR模型等。
无套利模型假定条件宽松，不需考虑个人偏好，属于无偏好模型，模型的动态路径是瞬时短期利率、瞬时远期利率和债券的价格，要求债券的模型定价符合债券的市场定价。模型的参数特征是参数需要随市场而进行调整，不固定。该类模型适用于衍生证券的交易。主要包括Ho-Lee模型、Hull-White模型、HJM模型（Heath-Jarrow-Morton）等。
（三）多因子期限结构模型的发展
凭借着前人的模型研究，近年来经济学家们逐渐将之前的模型进行改进，尝试用多因子模型来研究利率期限结构。多因子模型的特点是包括了影响期限结构变化的尽可能多的因素，因此其与实际更接近。多因子模型假定利率期限结构的动态过程是由几个因子共同推动的。这些多因子可以是宏观经济的变量，也可以是收益率曲线本身的性状，如收益率曲线斜度、曲度、利率波动等。
郎恩斯塔夫和斯瓦兹在1992年提出了郎恩斯塔夫和斯瓦兹双因子模型（Longstaff-Schwarts model），而布瑞安和斯瓦兹双因子模型是在利用无套利的约束条件下的一个以长短期利率为为状态变量的双因子利率期限结构模型。切恩（Chen）和巴尔杜茨（Balduzzi）在1996年研究的三因子模型是在前人的基础上的一个改进和提升。Brace，Gatarek和Musiela（1997）提出了LMM模型。他们假定远期LIBOR服从对数正态分布，得到伦敦同业拆借远期利率的变化模型（LMM 模型），利用对数正态LMM可以直接对利率上限与下限进行界定。
（四）仿射期限结构模型的发展
利率期限结构需要解释利率的历史变化特性和其风险中性属性。风险中性分布常常用来决定利率期限结构的形式。相对比即期利率分布，利率的历史分布可以用来预测利率未来的期限结构、衍生品将来的价格和债券资产的在险价值（VaR）。仿射期限结构模型（Affine Term Structure Model）可以很好的解释利率的期限结构。潜在状态变量的仿射函数可以用来确定债券的收益率。Duffie and Kan在1996年开始最早做这方面的研究。他们研究带有线性漂移和波动率的连续时间多维分布的仿射函数，其中包含了单因子和多因子的Vasicek模型、CIR模型和Chen and Scott（1992）的多因子模型，还有Longstaff-Schwartz（1992）的多因子模型。Duffie等（2003）在原有基础上，得出了仿射期限结构模型的一个统一的表达式，即连续时间过程下基于Laplace变换的指数型仿射结构模型。这类模型也是包含了CIR模型和Ornstein-Uhlenbeck模型。之后，Duffie的模型又向二次方期限结构函数的多维Ornstein-Uhlenbeck模型发展。Dai and Singleton（2003）和Cheng and Scaillet（2007）得出二次期限结构模型（Quadratic term Structure Model）是通过状态变量的堆叠得到的仿射期限结构模型。Cheridito（2007）得出了扩展形式的仿射模型，可以更好地拟合实际数据。
近来，国际学术界中有许多学者提出了用Wishart模型来模拟状态变量的动态相关结构。Wishart过程是一种仿射的、多变量的、含有对称正定矩阵的随机过程。其风险因素被假定为正定矩阵的连续时间仿射过程。Wishart模型最早由Bru在1991年引入金融工程。国外在Wishart模型上有过许多深入的研究，对此做研究的学者及文献有Gourieroux&Sufana（2003）、Donati-Martin，Doumerc and Yor（2004）、Gourieroux（2006）、Buraschi，Porchia and Trojani（2006）、Da Fonseca等（2007）、Da Fonseca等（2008）、Buraschi等（2008）、Cuchiero等（2009）、Gourieroux等（2009）、Gourieroux and Sufana（2010）、Carl Chiarella等（2013）。此外还有许多学者也做了大量研究，在此不加列举。 Gourieroux（2006）的文献主要对Wishart过程做了连续时间变化方面的研究，而Gourieroux等（2009）则主要做了离散时间的Wishart过程的研究。Singleton（2006）提出了特征函数的估计方法，使之运用到模型的参数估计中。Buraschi（2008）等人在研究中提高了Wishart模型的灵活性来拟合数据，得出了许多收益率曲线分析特性，如债券超额收益率预期、收益率的波动性和相关性、远期波动率结构等。Buraschi的Wishart模型也是均衡模型的一种，尽管在均衡状态下的市场价格风险规范较为简单，但仍然可以模拟不同特征的收益率曲线。Jose Da Fonseca（2012）等提出了Wishart模型是Heston模型的多变量改进。他提出，波动性矩阵是在Wishart动态变化以及有平方根过程的均值回复的条件下建立的。在估计参数方面，Chacko and Viceira（2003）和Buraschi（2008）均是使用了GMM方法来估计参数的，Carrasco（2007）提出了一种建立在特征方程上的矩条件估计法来估计参数。Cheridito（2007）则是用了似然函数的方法来估计的。Jang and Yoon（2010）也做了类似的工作来估算模型参数以及状态变量的值，但我们的方法与Jang and Yoon（2010）的方法有所不同，我们通过扩展卡尔曼滤波方法的最大似然估计同时估计了参数和状态变量的值，而Jang and Yoon（2010）的模型的参数是固定的，作者只是改变了状态变量的值，这导致了定价时产生了差异。状态变量的价值其实是由整个估计过程得出的，如果改变了他们就等于是无视了状态变量可以有的最优化结果。我们的模型同时估计了参数和状态变量，使得状态变量的估计值在变化中得到最优解，所以更加动态地贴近实际市场数据。如果我们设估计的参数为固定值，而改变状态变量的值，就会得到不同的利率曲线。换句话说，状态变量是不宜人为设定的。Jang and Yoon（2010）论文中的参数是借鉴于其他文献的，但是作者并没有同时借鉴状态变量的值，所以在Jang and Yoon（2010）的论文中，参数值和状态变量的值是没有直接联系的，那么这对于模型定价是不利的。在我们这篇论文中，我们用中国银行间固定利率国债收益率数据来估计模型参数，同时也估计了状态变量x的值，所以状态变量是在最大似然估计法得到模型参数之后得出的最优解。所以在对债券定价时我们的模型具有更好的精确性。
二、Wishart模型基本形式和运算
Wishart过程最先是由Bru在1991年引入金融工程学的。Wishart过程的基本形式如下，该过程是一个矩阵形式的随机微分方程
■
其中xt是一个n×n维的正半定矩阵，因为xt是正半定，那么■的存在就有意义。m，σ均是n×n维的矩阵，{Bt；t≥0}是n×n维矩阵形式的布朗运动。矩阵ω是对称矩阵，ω=βσσT且满足β>n-1，这样才能保证xt的正定性。
短期利率rt被假定为与Wishart因子xt有线性相关性，其表达式中δ0是标量，δ1是常数对称矩阵，tr[.]表示矩阵的迹。
我们上面给出的Wishart过程是在现实世界中的模型，然而市场价格是有风险的，所以我们用λt来表示市场价格的风险，其中λ0和λ1都是n×n维的矩阵，这种表示方式我们可以在Cheridito等（2007）的文献中找到依据。
并且ω-βσσT需要是半正定，β=2，3...这样xt在风险中性条件下才是严格为正的。关于这个规定我们在Cuchiero等（2009）的文献中可以找到依据。以上就是Wishart模型在现实世界和风险中性世界中的具体形式。其中公式作为关键的一步把Wishart过程中的状态变量xt代入了利率r的表达式，这是模型定价的第一步。
Bru（1991）指出Wishart过程是仿射的，仿射函数是一种 多维到多维的映射关系。在状态变量中的矩量母函数是指数型仿射的。下面我们用Wishart过程给债券做定价，我们先定义零息债券价格如下
■
其中c是一维函数，a是矩阵函数。我们定义Wishart过程的矩量母函数为
■
其中，θ1，θ2，θ3都是实对称矩阵，v∈R，初看vθ3像是多余的，但是我们在后面的计算中会发现加上vθ3会更方便于计算。最后，零息债券的价格可以由下式给出
■
即在矩量母函数Φ（t，T，θ1，θ2，vθ3）中，我们设θ1=-δ1，θ2=0，vθ3=0，我们联系公式，会发现这样的设定正满足了最初给出的零息债券的价格公式。
三、Wishart模型与经典CIR模型的比较
Chiarella等（2011）的研究的主要内容是在Buraschi（2008）的基础上比较了三种模型，关于Buraschi（2008）提出的模型rt=tr[δ1xt]，其實是将我们公式去掉了截距项δ0，这样会使得rt的值有可能在数据拟合的过程中产生负值。我们的论文中只比较二维的CIR模型和Wishart模型。在Wishart模型中，令n=1，可以得到它的表达式为
■
这也就是一维CIR过程的形式，所以我们得出一维CIR模型是1×1维的Wishart模型。更深一步，如果在n×n维的Wishart模型中，矩阵m，σ都是对角矩阵，并且布朗运动Bt也是对角矩阵，那么由该方程式得出的xt也必定是对角矩阵，在xt这个矩阵中的每一个对角上的元素都是一个一维的CIR过程。且每个对角线上的xi过程相互之间是独立的，其中的mi和σi分别是矩阵m和σ对角线上的元素。值得注意的是，多变量的对角过程比一般的多重独立一维CIR模型更加严格，在中漂移系数项βσi2与其方差σi2有线性关系，然而在一个多重独立的一维CIR过程中，每一个xi有其不同的βi。 根据以上的论述，我们要研究的二维CIR模型的对角线上含有两个独立一维CIR过程，所以它也可以看做是Wishart过程的一个特例。
在Wishart过程当中，ω-βσσT需要是半正定，β=2，3...，由波动率σ和长期价值ω来确定过程的正定性。矩阵δ1也是正半定矩阵，δ0在估算的时候有可能出现负值，最后，不失一般性，我们规定δ111=δ221=1（主要为了方便后续的模型参数估计），详见Chiarella等（2011）。
Wishart框架下的二维CIR模型（Two-dimensional Cox-Ingersol-Ross，简称TCIR），这个模型是在Wishart过程的框架下面的，换句话说就是TCIR模型是一个特殊的Wishart模型，是把一般Wishart模型中的状态变量xt里的对角线上的元素设为特定的一维CIR过程。其一维CIR过程分别作为特殊Wishart过程的状态变量对角线上的元素，短期利率公式同上。其中δ1是一个对角矩阵，并且对于Wishart过程来说，所有的参数都是对角的。证明过程参见Benabid（2009）。
作为变量（vt，∫t0vudu）的矩量母函数。如果在公式中矩阵（ω，m，σ）和在公式中的矩阵（θ1，θ2）是对角的（对于一个矩阵xt，第i个对角线上的元素写作xii，那么对于一个矩阵xk，它的对角线上第i个元素就写作）。
对于TCIR模型来说，δ0被发现可能会等于负数，也就是说该分布可以使短期利率为负值。对于Wishart模型来说，为了不失一般性，使δ111=δ221=1（便于后续参数估计）。
参考文献
[1]周荣喜，王晓光.基于多因子仿射利率期限结构模型的国债定价[J].中国管理科学，2013，（4）：27-29.
[2]周生宝.仿射利率期限结构：理论和应用[D].大连：东北财经大学，2013.
[3]吴盈盈.国内结构性理财产品定价及收益研究[D].北京：首都經贸大学，2014.
[4]龚厚文.Wishart自回归模型的贝叶斯算法研究[D].长沙：湖南师范大学，2014.
[5]韩深.Wishart过程与仿射利率模型[D].济南：山东大学，2012.
作者简介：王硕，男，就读于浙江财经大学金融学，硕士，研究方向：金融工程。
本文使用的定价模型是二维Wishart模型是一种矩阵形式的随机微分过程，模型中的参数和状态变量都是多维矩阵，本文只讨论二维矩阵的形式。在用Wishart给区间累计债券做定价的过程中，本文设定的Wishart过程矩量母函数形式是十分重要的运算环节，在具体计算表达式的推导中多次使用傅里叶变换和快速傅里叶变换（FFT）的方法。
【关键词】Wishart模型 利率期限结构模型 傅里叶变换
一、文献综述
（一）传统利率期限结构的经典理论
所谓利率模型，是指对债券收益率关于离债券到期时间的依赖关系的一种数学描述，这一关系被称为利率期限结构。上世纪70年代以前，利率期限结构的研究主要集中在定性的研究，核心是研究何种力量决定了期限结构的形状变化，其中包括预期理论、流动性偏好理论和市场分割理论等。
预期理论认为，长期债券的即期利率是短期债券的预期利率的函数，长期利率与短期利率之间的关系取决于现期短期利率与未来预期短期利率之间的关系。流动性偏好理论认为，远期利率应该是预期的未來利率与流动性风险补偿的累加。市场分割理论认为，由于市场是分割开来的，是低效率的，所以投资者的证券买卖的行为不能有效进行，所以机构的借贷活动或者投融资行为总是有其特殊的期限模式。
（二）经典单因子模型的最初构建
按照对利率期限结构建模的过程来区分，可以将其大致分为两种类型，第一类是根据市场均衡条件推导出的均衡模型，第二类是通过相关债券之间必须满足的无套利条件建立的无套利模型。
均衡模型包括许多严格的假定条件，并且要求考虑个人偏好，模型的动态路径是瞬时短期利率，模型的参数相对稳定，不同的时间具有一定的连贯性。模型可以应用于债券价格、利率期限结构的预测。主要包括Merton模型、Vasicek模型、CIR模型等。
无套利模型假定条件宽松，不需考虑个人偏好，属于无偏好模型，模型的动态路径是瞬时短期利率、瞬时远期利率和债券的价格，要求债券的模型定价符合债券的市场定价。模型的参数特征是参数需要随市场而进行调整，不固定。该类模型适用于衍生证券的交易。主要包括Ho-Lee模型、Hull-White模型、HJM模型（Heath-Jarrow-Morton）等。
（三）多因子期限结构模型的发展
凭借着前人的模型研究，近年来经济学家们逐渐将之前的模型进行改进，尝试用多因子模型来研究利率期限结构。多因子模型的特点是包括了影响期限结构变化的尽可能多的因素，因此其与实际更接近。多因子模型假定利率期限结构的动态过程是由几个因子共同推动的。这些多因子可以是宏观经济的变量，也可以是收益率曲线本身的性状，如收益率曲线斜度、曲度、利率波动等。
郎恩斯塔夫和斯瓦兹在1992年提出了郎恩斯塔夫和斯瓦兹双因子模型（Longstaff-Schwarts model），而布瑞安和斯瓦兹双因子模型是在利用无套利的约束条件下的一个以长短期利率为为状态变量的双因子利率期限结构模型。切恩（Chen）和巴尔杜茨（Balduzzi）在1996年研究的三因子模型是在前人的基础上的一个改进和提升。Brace，Gatarek和Musiela（1997）提出了LMM模型。他们假定远期LIBOR服从对数正态分布，得到伦敦同业拆借远期利率的变化模型（LMM 模型），利用对数正态LMM可以直接对利率上限与下限进行界定。
（四）仿射期限结构模型的发展
利率期限结构需要解释利率的历史变化特性和其风险中性属性。风险中性分布常常用来决定利率期限结构的形式。相对比即期利率分布，利率的历史分布可以用来预测利率未来的期限结构、衍生品将来的价格和债券资产的在险价值（VaR）。仿射期限结构模型（Affine Term Structure Model）可以很好的解释利率的期限结构。潜在状态变量的仿射函数可以用来确定债券的收益率。Duffie and Kan在1996年开始最早做这方面的研究。他们研究带有线性漂移和波动率的连续时间多维分布的仿射函数，其中包含了单因子和多因子的Vasicek模型、CIR模型和Chen and Scott（1992）的多因子模型，还有Longstaff-Schwartz（1992）的多因子模型。Duffie等（2003）在原有基础上，得出了仿射期限结构模型的一个统一的表达式，即连续时间过程下基于Laplace变换的指数型仿射结构模型。这类模型也是包含了CIR模型和Ornstein-Uhlenbeck模型。之后，Duffie的模型又向二次方期限结构函数的多维Ornstein-Uhlenbeck模型发展。Dai and Singleton（2003）和Cheng and Scaillet（2007）得出二次期限结构模型（Quadratic term Structure Model）是通过状态变量的堆叠得到的仿射期限结构模型。Cheridito（2007）得出了扩展形式的仿射模型，可以更好地拟合实际数据。
近来，国际学术界中有许多学者提出了用Wishart模型来模拟状态变量的动态相关结构。Wishart过程是一种仿射的、多变量的、含有对称正定矩阵的随机过程。其风险因素被假定为正定矩阵的连续时间仿射过程。Wishart模型最早由Bru在1991年引入金融工程。国外在Wishart模型上有过许多深入的研究，对此做研究的学者及文献有Gourieroux&Sufana（2003）、Donati-Martin，Doumerc and Yor（2004）、Gourieroux（2006）、Buraschi，Porchia and Trojani（2006）、Da Fonseca等（2007）、Da Fonseca等（2008）、Buraschi等（2008）、Cuchiero等（2009）、Gourieroux等（2009）、Gourieroux and Sufana（2010）、Carl Chiarella等（2013）。此外还有许多学者也做了大量研究，在此不加列举。 Gourieroux（2006）的文献主要对Wishart过程做了连续时间变化方面的研究，而Gourieroux等（2009）则主要做了离散时间的Wishart过程的研究。Singleton（2006）提出了特征函数的估计方法，使之运用到模型的参数估计中。Buraschi（2008）等人在研究中提高了Wishart模型的灵活性来拟合数据，得出了许多收益率曲线分析特性，如债券超额收益率预期、收益率的波动性和相关性、远期波动率结构等。Buraschi的Wishart模型也是均衡模型的一种，尽管在均衡状态下的市场价格风险规范较为简单，但仍然可以模拟不同特征的收益率曲线。Jose Da Fonseca（2012）等提出了Wishart模型是Heston模型的多变量改进。他提出，波动性矩阵是在Wishart动态变化以及有平方根过程的均值回复的条件下建立的。在估计参数方面，Chacko and Viceira（2003）和Buraschi（2008）均是使用了GMM方法来估计参数的，Carrasco（2007）提出了一种建立在特征方程上的矩条件估计法来估计参数。Cheridito（2007）则是用了似然函数的方法来估计的。Jang and Yoon（2010）也做了类似的工作来估算模型参数以及状态变量的值，但我们的方法与Jang and Yoon（2010）的方法有所不同，我们通过扩展卡尔曼滤波方法的最大似然估计同时估计了参数和状态变量的值，而Jang and Yoon（2010）的模型的参数是固定的，作者只是改变了状态变量的值，这导致了定价时产生了差异。状态变量的价值其实是由整个估计过程得出的，如果改变了他们就等于是无视了状态变量可以有的最优化结果。我们的模型同时估计了参数和状态变量，使得状态变量的估计值在变化中得到最优解，所以更加动态地贴近实际市场数据。如果我们设估计的参数为固定值，而改变状态变量的值，就会得到不同的利率曲线。换句话说，状态变量是不宜人为设定的。Jang and Yoon（2010）论文中的参数是借鉴于其他文献的，但是作者并没有同时借鉴状态变量的值，所以在Jang and Yoon（2010）的论文中，参数值和状态变量的值是没有直接联系的，那么这对于模型定价是不利的。在我们这篇论文中，我们用中国银行间固定利率国债收益率数据来估计模型参数，同时也估计了状态变量x的值，所以状态变量是在最大似然估计法得到模型参数之后得出的最优解。所以在对债券定价时我们的模型具有更好的精确性。
二、Wishart模型基本形式和运算
Wishart过程最先是由Bru在1991年引入金融工程学的。Wishart过程的基本形式如下，该过程是一个矩阵形式的随机微分方程
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其中xt是一个n×n维的正半定矩阵，因为xt是正半定，那么■的存在就有意义。m，σ均是n×n维的矩阵，{Bt；t≥0}是n×n维矩阵形式的布朗运动。矩阵ω是对称矩阵，ω=βσσT且满足β>n-1，这样才能保证xt的正定性。
短期利率rt被假定为与Wishart因子xt有线性相关性，其表达式中δ0是标量，δ1是常数对称矩阵，tr[.]表示矩阵的迹。
我们上面给出的Wishart过程是在现实世界中的模型，然而市场价格是有风险的，所以我们用λt来表示市场价格的风险，其中λ0和λ1都是n×n维的矩阵，这种表示方式我们可以在Cheridito等（2007）的文献中找到依据。
并且ω-βσσT需要是半正定，β=2，3...这样xt在风险中性条件下才是严格为正的。关于这个规定我们在Cuchiero等（2009）的文献中可以找到依据。以上就是Wishart模型在现实世界和风险中性世界中的具体形式。其中公式作为关键的一步把Wishart过程中的状态变量xt代入了利率r的表达式，这是模型定价的第一步。
Bru（1991）指出Wishart过程是仿射的，仿射函数是一种 多维到多维的映射关系。在状态变量中的矩量母函数是指数型仿射的。下面我们用Wishart过程给债券做定价，我们先定义零息债券价格如下
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其中c是一维函数，a是矩阵函数。我们定义Wishart过程的矩量母函数为
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其中，θ1，θ2，θ3都是实对称矩阵，v∈R，初看vθ3像是多余的，但是我们在后面的计算中会发现加上vθ3会更方便于计算。最后，零息债券的价格可以由下式给出
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即在矩量母函数Φ（t，T，θ1，θ2，vθ3）中，我们设θ1=-δ1，θ2=0，vθ3=0，我们联系公式，会发现这样的设定正满足了最初给出的零息债券的价格公式。
三、Wishart模型与经典CIR模型的比较
Chiarella等（2011）的研究的主要内容是在Buraschi（2008）的基础上比较了三种模型，关于Buraschi（2008）提出的模型rt=tr[δ1xt]，其實是将我们公式去掉了截距项δ0，这样会使得rt的值有可能在数据拟合的过程中产生负值。我们的论文中只比较二维的CIR模型和Wishart模型。在Wishart模型中，令n=1，可以得到它的表达式为
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这也就是一维CIR过程的形式，所以我们得出一维CIR模型是1×1维的Wishart模型。更深一步，如果在n×n维的Wishart模型中，矩阵m，σ都是对角矩阵，并且布朗运动Bt也是对角矩阵，那么由该方程式得出的xt也必定是对角矩阵，在xt这个矩阵中的每一个对角上的元素都是一个一维的CIR过程。且每个对角线上的xi过程相互之间是独立的，其中的mi和σi分别是矩阵m和σ对角线上的元素。值得注意的是，多变量的对角过程比一般的多重独立一维CIR模型更加严格，在中漂移系数项βσi2与其方差σi2有线性关系，然而在一个多重独立的一维CIR过程中，每一个xi有其不同的βi。 根据以上的论述，我们要研究的二维CIR模型的对角线上含有两个独立一维CIR过程，所以它也可以看做是Wishart过程的一个特例。
在Wishart过程当中，ω-βσσT需要是半正定，β=2，3...，由波动率σ和长期价值ω来确定过程的正定性。矩阵δ1也是正半定矩阵，δ0在估算的时候有可能出现负值，最后，不失一般性，我们规定δ111=δ221=1（主要为了方便后续的模型参数估计），详见Chiarella等（2011）。
Wishart框架下的二维CIR模型（Two-dimensional Cox-Ingersol-Ross，简称TCIR），这个模型是在Wishart过程的框架下面的，换句话说就是TCIR模型是一个特殊的Wishart模型，是把一般Wishart模型中的状态变量xt里的对角线上的元素设为特定的一维CIR过程。其一维CIR过程分别作为特殊Wishart过程的状态变量对角线上的元素，短期利率公式同上。其中δ1是一个对角矩阵，并且对于Wishart过程来说，所有的参数都是对角的。证明过程参见Benabid（2009）。
作为变量（vt，∫t0vudu）的矩量母函数。如果在公式中矩阵（ω，m，σ）和在公式中的矩阵（θ1，θ2）是对角的（对于一个矩阵xt，第i个对角线上的元素写作xii，那么对于一个矩阵xk，它的对角线上第i个元素就写作）。
对于TCIR模型来说，δ0被发现可能会等于负数，也就是说该分布可以使短期利率为负值。对于Wishart模型来说，为了不失一般性，使δ111=δ221=1（便于后续参数估计）。
参考文献
[1]周荣喜，王晓光.基于多因子仿射利率期限结构模型的国债定价[J].中国管理科学，2013，（4）：27-29.
[2]周生宝.仿射利率期限结构：理论和应用[D].大连：东北财经大学，2013.
[3]吴盈盈.国内结构性理财产品定价及收益研究[D].北京：首都經贸大学，2014.
[4]龚厚文.Wishart自回归模型的贝叶斯算法研究[D].长沙：湖南师范大学，2014.
[5]韩深.Wishart过程与仿射利率模型[D].济南：山东大学，2012.
作者简介：王硕，男，就读于浙江财经大学金融学，硕士，研究方向：金融工程。