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摘要：本文主要从数与式、解方程、几何和函数的四个方面，通过典型例题的浅析，阐明了分类讨论思想在初中数学解题中的若干应用。最后对如何提高初中生分类讨论思想应用水平提出若干建议，旨在帮助学生能够更好的认识和理解分类讨论思想，并将分类讨论思想运用到实际的解题当中去。
关键词：分类讨论思想;初中数学;解题能力
中图分类号：G4 文献标识码：A
引言：数学思想是数学的灵魂，是学习数学这个学科的核心关键所在 ，也是培养中学生思维能力和创新意识的有效方法。分类讨论思想在数学思想中占有重要的地位，古往今来，它的方法及其应用的研究广受学者的关注，在科学研究、竞技竞赛、图书管理、教育教学等领域得到广泛的应用，具有很强的理论研究价值和实用价值. 在当今不断深化教育改革背景中，分类讨论思想是新改革中数学考察的重要思想内容，应在数学这个学科中加强对学生的培养。
一、分类讨论思想
（一）分类讨论思想的概念
分类思想的应用非常广泛，不仅仅是在研究数学问题的时候用到分类讨论思想，在研究物理、化学乃至自然科学的奥妙中，都因为其本身的复杂性，不能一蹴而就的解决问题，那么就需要用到分类讨论思想，才可以将结果更加清晰、完整、严谨的呈现出来，那到底什么是分类讨论思想呢？我们在研究数学问题时，出现多种可能的情况，它的结果不是唯一确定的，没有办法用统一的方法去解决的，那么我们往往就要将这个问题分成若干个子类，转化成几个小问题逐一来解决，在综合各个小问题的所有结果，从而使这个问题得到解决的数学思想我们称它为分类讨论思想[1]。
（二）分类讨论思想的标准
分类讨论思想的标准就是在各种各样不同的问题中从不同的角度去进行分类解决问题，按照某一个可以实施的标准进行分类，将一个复杂性很强问题分成几个小问题逐一的进行讨论，这一个可以实施的标准就是分类讨论思想的标准。
要解决需要使用分类讨论思想数学问题成败的关键是分类标准的运用是否正确，进行分类时，分类一定要准确、合理、科学、严谨、做到应分尽分、不遗漏任意一点，从而使问题的解决做到尽善尽美[2]。
二、分类讨论思想在初中数学解题教学中的应用
在中考中，考查数与式分类的题目一般以选择题或填空题出现，虽然所占分值不高，考察内容也相对简单。但其在初中数学的学习中也是不容忽视。在初中阶段，这是学生第一次接触分类讨论的内容，学生所掌握的分类技巧或多或少会影响到后续的学习，应当引起教师们在教学中的重视[3]。下面，通过例题来展示分类讨论思想在数与式中的具体应用，旨在提高学生分类讨论意识和能力。
（一）分类讨论思想在解几何问题的应用
例1.
（1）在直角三角形中有a、b两边分别为3cm和4cm，则此三角形的周长是多少？
（2）在等三角形中，已知三角形的一个角为50°，则这个三角形的顶角多少度？
分析：在（1）中，在直角三角形中，已知三角形的两边求三角形的周长，那么只需要运用勾股定理求出第三条边即可得到三角形的周长，只是这里我们不知道已知的两边是否都是直角边，还是一条是直角边一条是斜边，因此需要分情况来解答.在（2）中，由于没有确定哪个叫是顶角，因此题目所给的已知角可能是顶角也可能不是顶角，因此需要分情况来讨论.
解：设三角形另一边为c边，
（1）若a、b都是直角边，
由勾股定可知c=，= =5cm.
∴三角形的周长为3+4+5=12cm.
若a是直角边、b是斜边，
由勾股定理可得c=， ==cm.
∴三角形的周长为（3+4+）cm.
综上所述三角形的周长可能为12cm或（3+4+）cm.
（2）若已知角是等腰三角形顶角
则顶角为50°.
若已知角是等腰三角形的底角
那么顶角=180°-2×50°= 80°.
综上所述等腰三角形的顶角为50°或80°.
总评：在解决集合问题的时候，有时候边角等问题存在很多的不确定的因素，需要对其中的问题进行具体分析，每种情况考虑具到，不漏掉一种可能，不然我们进行边角求解的时候可能就得不到最准确的结果，从而使求解不完美。
（二）分类讨论思想在不等式中的应用
初中数学中函数知识起着启蒙的作用，在中考中所占比重也是很大的，在客观题和主观题上均有考查。其中导数在研究函数问题上起着重大作用，分类讨论的思想也在其中得到广泛的应用[4]。例如，求解函数的最值、函数的解析式、函数的性质以及与其它函数或几何有关的综合问题等等。通过分析典型例题，提高学生的分类能力和思维能力，增强学生在函数题目中运用分类讨论的意识。下面，通过列举求解函数的值、函数与几何相结合的情况来具体说明。
例2.解不等式|x-1|+|x+3|>4;
分析：在此不等式中有两个绝对值，因为不能确定绝对值里面的对象取正、取负还是取零，存在很大不确定性，因此我们需要对绝对值分情况来进行讨论即在|x-1|中，x可能取x=1、x<1、x>1，由此可见这个问题应该分成x>-3、-3≤x≤1、x>1三种情况来解决这个问题.
解：由题意得
当x>-3时，原不等式可化为：（1-x）+（x+3）>4，化简得：4>4，
∴此不等式无解.
当-3≤x≤1时，原不等式可化为：（1-x）+（x+3）>5，化简得：4>5，
∴此不等式无解.
当x>1时，原不等式可化为：（x-1）+（x+3）>5，
解得：x>.
因此，原不等式的解集为{x|x>}.
结束语
在分析分類讨论思想在初中数学解题中的几类应用时，深刻体会到分类讨论思想在初中数学解题中的不足之处和广泛性，从数与式、解方程、几何和函数这四大方面列举经典例题进行剖析，将分类讨论的基本原则、归纳形式和常见类型在具体题目中体现出来，指出学生在分类讨论中容易忽视和遗漏的内容，规范学生的答题过程，从而全面提高学生的数学素养。同时，从几个方面提出提高初中生分类讨论思想水平的具体建议。
参考文献
[1]唐爱民.初中数学分类讨论思想在解题中的应用研究[J].学习与科普，2019（27）：36.
[2]何生东.试论初中数学教学中数学思想方法的渗透[J].科学咨询（教育科研），2019（12）：217.
[3]操斌.循环渐进 整合突破——以让学生领悟分类讨论思想为例[J].中学教学参考，2019（7）：60-63.
[4]单小红. 浅谈分类讨论思想在中学数学中的应用[J].才智，2020（16）：81-81.
关键词：分类讨论思想;初中数学;解题能力
中图分类号：G4 文献标识码：A
引言：数学思想是数学的灵魂，是学习数学这个学科的核心关键所在 ，也是培养中学生思维能力和创新意识的有效方法。分类讨论思想在数学思想中占有重要的地位，古往今来，它的方法及其应用的研究广受学者的关注，在科学研究、竞技竞赛、图书管理、教育教学等领域得到广泛的应用，具有很强的理论研究价值和实用价值. 在当今不断深化教育改革背景中，分类讨论思想是新改革中数学考察的重要思想内容，应在数学这个学科中加强对学生的培养。
一、分类讨论思想
（一）分类讨论思想的概念
分类思想的应用非常广泛，不仅仅是在研究数学问题的时候用到分类讨论思想，在研究物理、化学乃至自然科学的奥妙中，都因为其本身的复杂性，不能一蹴而就的解决问题，那么就需要用到分类讨论思想，才可以将结果更加清晰、完整、严谨的呈现出来，那到底什么是分类讨论思想呢？我们在研究数学问题时，出现多种可能的情况，它的结果不是唯一确定的，没有办法用统一的方法去解决的，那么我们往往就要将这个问题分成若干个子类，转化成几个小问题逐一来解决，在综合各个小问题的所有结果，从而使这个问题得到解决的数学思想我们称它为分类讨论思想[1]。
（二）分类讨论思想的标准
分类讨论思想的标准就是在各种各样不同的问题中从不同的角度去进行分类解决问题，按照某一个可以实施的标准进行分类，将一个复杂性很强问题分成几个小问题逐一的进行讨论，这一个可以实施的标准就是分类讨论思想的标准。
要解决需要使用分类讨论思想数学问题成败的关键是分类标准的运用是否正确，进行分类时，分类一定要准确、合理、科学、严谨、做到应分尽分、不遗漏任意一点，从而使问题的解决做到尽善尽美[2]。
二、分类讨论思想在初中数学解题教学中的应用
在中考中，考查数与式分类的题目一般以选择题或填空题出现，虽然所占分值不高，考察内容也相对简单。但其在初中数学的学习中也是不容忽视。在初中阶段，这是学生第一次接触分类讨论的内容，学生所掌握的分类技巧或多或少会影响到后续的学习，应当引起教师们在教学中的重视[3]。下面，通过例题来展示分类讨论思想在数与式中的具体应用，旨在提高学生分类讨论意识和能力。
（一）分类讨论思想在解几何问题的应用
例1.
（1）在直角三角形中有a、b两边分别为3cm和4cm，则此三角形的周长是多少？
（2）在等三角形中，已知三角形的一个角为50°，则这个三角形的顶角多少度？
分析：在（1）中，在直角三角形中，已知三角形的两边求三角形的周长，那么只需要运用勾股定理求出第三条边即可得到三角形的周长，只是这里我们不知道已知的两边是否都是直角边，还是一条是直角边一条是斜边，因此需要分情况来解答.在（2）中，由于没有确定哪个叫是顶角，因此题目所给的已知角可能是顶角也可能不是顶角，因此需要分情况来讨论.
解：设三角形另一边为c边，
（1）若a、b都是直角边，
由勾股定可知c=，= =5cm.
∴三角形的周长为3+4+5=12cm.
若a是直角边、b是斜边，
由勾股定理可得c=， ==cm.
∴三角形的周长为（3+4+）cm.
综上所述三角形的周长可能为12cm或（3+4+）cm.
（2）若已知角是等腰三角形顶角
则顶角为50°.
若已知角是等腰三角形的底角
那么顶角=180°-2×50°= 80°.
综上所述等腰三角形的顶角为50°或80°.
总评：在解决集合问题的时候，有时候边角等问题存在很多的不确定的因素，需要对其中的问题进行具体分析，每种情况考虑具到，不漏掉一种可能，不然我们进行边角求解的时候可能就得不到最准确的结果，从而使求解不完美。
（二）分类讨论思想在不等式中的应用
初中数学中函数知识起着启蒙的作用，在中考中所占比重也是很大的，在客观题和主观题上均有考查。其中导数在研究函数问题上起着重大作用，分类讨论的思想也在其中得到广泛的应用[4]。例如，求解函数的最值、函数的解析式、函数的性质以及与其它函数或几何有关的综合问题等等。通过分析典型例题，提高学生的分类能力和思维能力，增强学生在函数题目中运用分类讨论的意识。下面，通过列举求解函数的值、函数与几何相结合的情况来具体说明。
例2.解不等式|x-1|+|x+3|>4;
分析：在此不等式中有两个绝对值，因为不能确定绝对值里面的对象取正、取负还是取零，存在很大不确定性，因此我们需要对绝对值分情况来进行讨论即在|x-1|中，x可能取x=1、x<1、x>1，由此可见这个问题应该分成x>-3、-3≤x≤1、x>1三种情况来解决这个问题.
解：由题意得
当x>-3时，原不等式可化为：（1-x）+（x+3）>4，化简得：4>4，
∴此不等式无解.
当-3≤x≤1时，原不等式可化为：（1-x）+（x+3）>5，化简得：4>5，
∴此不等式无解.
当x>1时，原不等式可化为：（x-1）+（x+3）>5，
解得：x>.
因此，原不等式的解集为{x|x>}.
结束语
在分析分類讨论思想在初中数学解题中的几类应用时，深刻体会到分类讨论思想在初中数学解题中的不足之处和广泛性，从数与式、解方程、几何和函数这四大方面列举经典例题进行剖析，将分类讨论的基本原则、归纳形式和常见类型在具体题目中体现出来，指出学生在分类讨论中容易忽视和遗漏的内容，规范学生的答题过程，从而全面提高学生的数学素养。同时，从几个方面提出提高初中生分类讨论思想水平的具体建议。
参考文献
[1]唐爱民.初中数学分类讨论思想在解题中的应用研究[J].学习与科普，2019（27）：36.
[2]何生东.试论初中数学教学中数学思想方法的渗透[J].科学咨询（教育科研），2019（12）：217.
[3]操斌.循环渐进 整合突破——以让学生领悟分类讨论思想为例[J].中学教学参考，2019（7）：60-63.
[4]单小红. 浅谈分类讨论思想在中学数学中的应用[J].才智，2020（16）：81-81.