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【摘 要】为了解斜面模型非完全弹性碰撞能量的损失情况，本研究以一道斜面模型物理题目为研究对象，利用动量定理对其能量损失情况进行分析与定量计算.研究发现：（1）从光滑斜面下滑的物体与粗糙水平地面碰撞的瞬间，竖直方向和水平方向均有能量损失，为非完全弹性碰撞.（2）斜面倾角的临界值为.当时，碰撞的能量损失为100%;当时，碰撞的能量损失为.
【关键词】斜面模型;非完全弹性碰撞;动量定理;能量损失
碰撞在物理学中表现为两粒子或物体间在短暂时间内很强的相互作用，是物理学研究的重要对象.在斜面模型题目中，碰撞问题触目皆是，如果此时不预设能量守恒即无能量损失的条件，则斜面模型会发生非完全弹性碰撞，必有能量损失.对于这种碰撞问题，利用动量定理来分析与定量计算其能量的损失情况，具有重要意义.
1 题目呈现
如图1所示，倾角为θ的斜面体固定在水平地面上，斜面体高为H，质量为m的滑块P（可视为质点）从斜面最高点A由静止开始沿斜面滑下，一段时间后到达斜面最低点B.求：（g取10 m/s2）
这是一道典型的斜面模型题目，通过对该题目的解答，给大家提供一种运用动量定理计算斜面模型非完全弹性碰撞能量损失的方案.
2 常见的错误解法
滑块到达斜面底端的速度为，方向沿斜面向下，该速度在水平方向的分量为，竖直方向的分量为，当滑块在斜面底端与水平地面连接处碰撞发生时，竖直方向的速度由减小到0，能量损失
3 错解剖析
其一，该题目未说明滑块P在斜面体与水平地面连接处碰撞时无能量损失，则要考虑滑块与水平地面发生碰撞时的能量损失，即该碰撞应为非完全弹性碰撞，而不应简单的把该情况视为完全弹性碰撞.
其二，滑块P与水平地面发生非完全弹性碰撞产生能量损失，竖直方向上的分速度在弹性形变力的作用下损失为零，而任何力总在一段时间内作用，所以在这段时间内，水平方向的分速度也在水平地面摩擦力的作用下减小.
因此，上述解法一的错误之处在于：未考虑滑块在斜面与水平地面连接处碰撞时的能量损失，即认为水平方向运动的初速度为斜面底端的末速度.上述解法二的错误之处在于：虽然考虑了碰撞时滑块竖直方向的能量损失，但未考虑水平方向的能量损失，即认为水平方向运动的初速度为.
4 题目分析
把滑块看成质点，滑块由斜面体顶端沿斜面体斜面滑下，滑块与斜面之间无摩擦力，则滑块由斜面顶端滑下的过程中机械能守恒.滑块滑到斜面体底端时，滑块的速度方向平行于斜面向下，如图2.
此时，滑块的速度可分解为水平向右的速度与竖直向下的速度，如图3.
滑块与水平地面发生非完全弹性碰撞，竖直方向上的分速度和水平方向上的分速度分别会在弹性作用力与摩擦力的作用下产生损失.在竖直方向上，滑块P与水平地面间除了有相互作用的弹性力之外，尽管有其他力的作用，但相对于弹性形变力可忽略不计[2].若竖直方向的分速度减为零后，滑块水平方向上的分速度未减为零，则滑块紧接着沿水平地面减速运动，若滑塊水平方向的速度已经减为零了，则滑块将停在斜面体与水平地面的连接处.由此，该题目的解答可分为三个阶段进行：滑块在斜面上运动阶段、滑块在斜面与水平面连接处的非完全弹性碰撞阶段以及滑块在水平面运动阶段.
5 正确解法
滑块与粗糙地面撞击，会在地面的弹性作用力FN作用下减为零，而损失为零的过程中，水平方向的速度也在损失，假设损失为零的时间间隔为，损失为零的时间间隔为，如图4为滑块的受力分析.
因为，极短，在竖直方向上，mg相对于弹性作用力FN来说可忽略，则竖直方向上的作用力FN为竖直方向上的合力，而为水平方向上的合力，取竖直向下、水平向右为正方向，根据动量定理， 即质点动量的增量等于这段时间内作用于质点合力的冲量.
从以上分析可以看出，斜面模型中非完全弹性碰撞有能量损失，当其它条件相同，斜面倾角不同时，能量损失不同，滑块在水平面上停留的地方也不同.且能量损失占比均很大，不可忽略.那么，斜面倾角为何值时，由于非完全弹性碰撞，滑块恰好停留在斜面与水平面的连接处呢？即的临界值为多少呢？
6 的临界值
根据前面分析可知，在斜面与水平面的连接处，当滑块y方向的分速度与x方向的分速度恰好都同时减为0时，有此处表示的临界值，计算得.本例中，.当时，滑块将停留在斜面与水平面的连接处，此时能量损失为100%;当时，滑块将在水平面滑行一段距离后再停下来，此时能量损失为.
7 结论
通过对斜面模型非完全弹性碰撞的研究可以发现，在不预设连接处无能量损失时，若研究对象之间发生非完全弹性碰撞，且能量损失不可忽略时，就必须考虑非完全弹性碰撞所造成的能量损失.本研究主要是利用动量定理对斜面模型非完全弹性碰撞能量损失进行定量计算，提供一种计算能量损失的方案.
参考文献：
[1]王伟民，辛存良.一道高考模拟题目的错因剖析和修正[J].物理教师，2020，41（06）：93-94+97.
[2]孟宪强.物体的非完全弹性碰撞解析[J].邢台职业技术学院学报，2004（03）：29-30+55.
[3]漆安慎、杜婵英.普通物理学教程.力学[M].包景东，修订.3版.北京：高等教育出版社，2012：93-151.
【关键词】斜面模型;非完全弹性碰撞;动量定理;能量损失
碰撞在物理学中表现为两粒子或物体间在短暂时间内很强的相互作用，是物理学研究的重要对象.在斜面模型题目中，碰撞问题触目皆是，如果此时不预设能量守恒即无能量损失的条件，则斜面模型会发生非完全弹性碰撞，必有能量损失.对于这种碰撞问题，利用动量定理来分析与定量计算其能量的损失情况，具有重要意义.
1 题目呈现
如图1所示，倾角为θ的斜面体固定在水平地面上，斜面体高为H，质量为m的滑块P（可视为质点）从斜面最高点A由静止开始沿斜面滑下，一段时间后到达斜面最低点B.求：（g取10 m/s2）
这是一道典型的斜面模型题目，通过对该题目的解答，给大家提供一种运用动量定理计算斜面模型非完全弹性碰撞能量损失的方案.
2 常见的错误解法
滑块到达斜面底端的速度为，方向沿斜面向下，该速度在水平方向的分量为，竖直方向的分量为，当滑块在斜面底端与水平地面连接处碰撞发生时，竖直方向的速度由减小到0，能量损失
3 错解剖析
其一，该题目未说明滑块P在斜面体与水平地面连接处碰撞时无能量损失，则要考虑滑块与水平地面发生碰撞时的能量损失，即该碰撞应为非完全弹性碰撞，而不应简单的把该情况视为完全弹性碰撞.
其二，滑块P与水平地面发生非完全弹性碰撞产生能量损失，竖直方向上的分速度在弹性形变力的作用下损失为零，而任何力总在一段时间内作用，所以在这段时间内，水平方向的分速度也在水平地面摩擦力的作用下减小.
因此，上述解法一的错误之处在于：未考虑滑块在斜面与水平地面连接处碰撞时的能量损失，即认为水平方向运动的初速度为斜面底端的末速度.上述解法二的错误之处在于：虽然考虑了碰撞时滑块竖直方向的能量损失，但未考虑水平方向的能量损失，即认为水平方向运动的初速度为.
4 题目分析
把滑块看成质点，滑块由斜面体顶端沿斜面体斜面滑下，滑块与斜面之间无摩擦力，则滑块由斜面顶端滑下的过程中机械能守恒.滑块滑到斜面体底端时，滑块的速度方向平行于斜面向下，如图2.
此时，滑块的速度可分解为水平向右的速度与竖直向下的速度，如图3.
滑块与水平地面发生非完全弹性碰撞，竖直方向上的分速度和水平方向上的分速度分别会在弹性作用力与摩擦力的作用下产生损失.在竖直方向上，滑块P与水平地面间除了有相互作用的弹性力之外，尽管有其他力的作用，但相对于弹性形变力可忽略不计[2].若竖直方向的分速度减为零后，滑块水平方向上的分速度未减为零，则滑块紧接着沿水平地面减速运动，若滑塊水平方向的速度已经减为零了，则滑块将停在斜面体与水平地面的连接处.由此，该题目的解答可分为三个阶段进行：滑块在斜面上运动阶段、滑块在斜面与水平面连接处的非完全弹性碰撞阶段以及滑块在水平面运动阶段.
5 正确解法
滑块与粗糙地面撞击，会在地面的弹性作用力FN作用下减为零，而损失为零的过程中，水平方向的速度也在损失，假设损失为零的时间间隔为，损失为零的时间间隔为，如图4为滑块的受力分析.
因为，极短，在竖直方向上，mg相对于弹性作用力FN来说可忽略，则竖直方向上的作用力FN为竖直方向上的合力，而为水平方向上的合力，取竖直向下、水平向右为正方向，根据动量定理， 即质点动量的增量等于这段时间内作用于质点合力的冲量.
从以上分析可以看出，斜面模型中非完全弹性碰撞有能量损失，当其它条件相同，斜面倾角不同时，能量损失不同，滑块在水平面上停留的地方也不同.且能量损失占比均很大，不可忽略.那么，斜面倾角为何值时，由于非完全弹性碰撞，滑块恰好停留在斜面与水平面的连接处呢？即的临界值为多少呢？
6 的临界值
根据前面分析可知，在斜面与水平面的连接处，当滑块y方向的分速度与x方向的分速度恰好都同时减为0时，有此处表示的临界值，计算得.本例中，.当时，滑块将停留在斜面与水平面的连接处，此时能量损失为100%;当时，滑块将在水平面滑行一段距离后再停下来，此时能量损失为.
7 结论
通过对斜面模型非完全弹性碰撞的研究可以发现，在不预设连接处无能量损失时，若研究对象之间发生非完全弹性碰撞，且能量损失不可忽略时，就必须考虑非完全弹性碰撞所造成的能量损失.本研究主要是利用动量定理对斜面模型非完全弹性碰撞能量损失进行定量计算，提供一种计算能量损失的方案.
参考文献：
[1]王伟民，辛存良.一道高考模拟题目的错因剖析和修正[J].物理教师，2020，41（06）：93-94+97.
[2]孟宪强.物体的非完全弹性碰撞解析[J].邢台职业技术学院学报，2004（03）：29-30+55.
[3]漆安慎、杜婵英.普通物理学教程.力学[M].包景东，修订.3版.北京：高等教育出版社，2012：93-151.