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摘 要：为了研究运动中耗氧量与年龄、跑15英里的时间（分）、跑步时每分钟心跳次数、每分钟心跳次数最大值等相关。这一结论是否正确，我们对31位成年人心肺功能的调查结果做回归分析。
关键词：人体 耗氧量 数据 统计分析
1、变量的选择和数据的收集
1.1、变量的选择
我们考虑对耗氧量有影响的变量有：年龄、体重、跑15英里的时间（分）、休息时每分钟心跳次数、跑步时每分钟心跳次数、每分钟心跳次数最大值。
1.2、数据的收集
考虑到以上变量的选择，我们收集了31位成年人心肺功能的调查结果做研究，数据如下所示：
2、回归分析
2.1、建立模型
通过分析收集到的数据我们对响应变量（oxygen）和预测变量（age、weight、runtime、rstpulse、runpulse、maxpulse）建立了如下线性模型：
首先，对全模型进行回归，结果如下：
从结果中可以看出，结果第一部分，模型的检验统计量F对应的p值远远小于0.0001，表明我们建立的线性模型是显著的；结果第二部分，R-Square值为0.8480，表明模型可以解释数据信息的84.8%，R2接近于l，说明估计表达式的拟合优度较好，模型的表达能力较好；结果第三部分，除rstpulse和weight变量以外所有变量对应的p值均小于0.05，说明这两个变量的作用是不显著的，而且rstpulse和weight的p值都很大。我们先对oxygen、age、weight、runtime、rstpulse、runpulse、maxpulse进行相关系数计算，相关系数度量了两个度量的线性关系的强弱，从结果可以看出耗氧量oxygen和weight的相关系数为-0.16275，相关系数为0的概率为0.3817，oxygen和rstpulse的相关系数为-0.34641，相关系数为0的概率为0.0563，显然，oxygen和weight、rstpulse的相关性都不是很大；而oxygen和runtime的相关系数为-0.86219，存在较强的负相关，相关系数为0的概率为0.0001；而runpulse和maxpulse的相关系数为0.92975，相关系数为0的概率为0.0001，存在较强的共线性。这可以从散点图矩阵中看出变量runpulse和maxpulse之间存在较强的共线性；而耗氧量oxygen和变量runtime有较强的负相关，这与相关系数计算的结果是一致的。
2.2、修正的线性模型
首先我们去掉weight、rstpulse这两个变量进行线性回归，从结果中可以看出，模型检验F统计量对应的p值<0.0001，远远小于0.05，表明我们建立的模型是显著的；R-Square值为0.8368，表明模型可以解释数据信息的83.68%，R2接近于l，说明估计表达式的拟合优度和模型的表达能力较好；maxpulse变量的p值为0.0533，很接近于0.05，我们不能把此变量剔除出模型；而其他变量的p值都小于<0.05，也就是说，其他的变量很显著，这时模型拟合的结果较好。下面我们去掉截距项作回归，从结果中可以看出，MSE的值为18.87051，而在保留截距项作回归得到的结果中MSE的值为5.34346；两者的MSE的值差异很大，我们不能接受剔除截距项的模型。
2.3、利用Cp、AIC、Adjrsq和MSE四个准则选择变量
经过上面分析，我们认为耗氧量只与age、runtime、runpulse、maxpulse有关，而与weight、rstpulse关系不是很大，但这样的认识只是人为的，还是很粗糙，不一定很准确，我们通过Cp、MSE、AIC、和Adjrsq准则来选择模型的变量。
先用Cp、AIC准则选择变量，我们可以看出子集{age、runtime、runpulse、maxpulse}对应的Cp最小，而子集{age、runtime、runpulse、maxpulse}和{age、weight、runtime、runpulse、maxpulse}对应的AIC值相差不大，我们有理由接受子集{age、runtime、runpulse、maxpulse}作为模型中的变量。
下面用Adjrsq、MSE准则选择变量，我们可以看出子集{age、weight、runtime、runpulse、maxpulse}对应的Adjrsq最大，而子集{age、weight、runtime、runpulse、maxpulse}和{age、runtime、runpulse、maxpulse}对应的Adjrsq值相差不大，而且对应的R-Square的值也相差不大。
综合以上分析考虑，我们完全有理由接受修正的线性模型。
2.4、逐步回归
除了通过计算所有可能自己回归寻求最优子集回归的方法外，还有一些不计算所有可能子集回归的变量选择算法，我们用逐步回归法对初始模型进行变量选择。考虑截距项时得到的模型结果优于不考虑截距项时的结果。
综上三种方法，不论是自己修正模型后得到的变量，还是基于Cp、AIC、Adjrsq和MSE四个准则选择的变量和逐步回归得到的变量，都得到同一个模型，即oxygen与age、runtime、runpulse、maxpulse之间的线性模型为：
oxygen=98.1479-0.1977*age-2.7676*
runtime-0.3481*runpulse+0.2705*maxpulse
2.5、复共线性
接下来对逐步回归模型选择结果进行复相关分析，看这些变量之间有无复共线性，结果表明：k=2.52559/0.0598=42.2339
<<100，说明几乎没有复共线性，故最小二乘估计结果很好，无需再进行有偏估计（岭估计或主成分估计）。
综上，我们得到oxygen与age、runtime、runpulse、maxpulse之間的线性模型为：
oxygen=98.1479-0.1977*age-2.7676*
runtime-0.3481*runpulse+0.2705*maxpulse
关键词：人体 耗氧量 数据 统计分析
1、变量的选择和数据的收集
1.1、变量的选择
我们考虑对耗氧量有影响的变量有：年龄、体重、跑15英里的时间（分）、休息时每分钟心跳次数、跑步时每分钟心跳次数、每分钟心跳次数最大值。
1.2、数据的收集
考虑到以上变量的选择，我们收集了31位成年人心肺功能的调查结果做研究，数据如下所示：
2、回归分析
2.1、建立模型
通过分析收集到的数据我们对响应变量（oxygen）和预测变量（age、weight、runtime、rstpulse、runpulse、maxpulse）建立了如下线性模型：
首先，对全模型进行回归，结果如下：
从结果中可以看出，结果第一部分，模型的检验统计量F对应的p值远远小于0.0001，表明我们建立的线性模型是显著的；结果第二部分，R-Square值为0.8480，表明模型可以解释数据信息的84.8%，R2接近于l，说明估计表达式的拟合优度较好，模型的表达能力较好；结果第三部分，除rstpulse和weight变量以外所有变量对应的p值均小于0.05，说明这两个变量的作用是不显著的，而且rstpulse和weight的p值都很大。我们先对oxygen、age、weight、runtime、rstpulse、runpulse、maxpulse进行相关系数计算，相关系数度量了两个度量的线性关系的强弱，从结果可以看出耗氧量oxygen和weight的相关系数为-0.16275，相关系数为0的概率为0.3817，oxygen和rstpulse的相关系数为-0.34641，相关系数为0的概率为0.0563，显然，oxygen和weight、rstpulse的相关性都不是很大；而oxygen和runtime的相关系数为-0.86219，存在较强的负相关，相关系数为0的概率为0.0001；而runpulse和maxpulse的相关系数为0.92975，相关系数为0的概率为0.0001，存在较强的共线性。这可以从散点图矩阵中看出变量runpulse和maxpulse之间存在较强的共线性；而耗氧量oxygen和变量runtime有较强的负相关，这与相关系数计算的结果是一致的。
2.2、修正的线性模型
首先我们去掉weight、rstpulse这两个变量进行线性回归，从结果中可以看出，模型检验F统计量对应的p值<0.0001，远远小于0.05，表明我们建立的模型是显著的；R-Square值为0.8368，表明模型可以解释数据信息的83.68%，R2接近于l，说明估计表达式的拟合优度和模型的表达能力较好；maxpulse变量的p值为0.0533，很接近于0.05，我们不能把此变量剔除出模型；而其他变量的p值都小于<0.05，也就是说，其他的变量很显著，这时模型拟合的结果较好。下面我们去掉截距项作回归，从结果中可以看出，MSE的值为18.87051，而在保留截距项作回归得到的结果中MSE的值为5.34346；两者的MSE的值差异很大，我们不能接受剔除截距项的模型。
2.3、利用Cp、AIC、Adjrsq和MSE四个准则选择变量
经过上面分析，我们认为耗氧量只与age、runtime、runpulse、maxpulse有关，而与weight、rstpulse关系不是很大，但这样的认识只是人为的，还是很粗糙，不一定很准确，我们通过Cp、MSE、AIC、和Adjrsq准则来选择模型的变量。
先用Cp、AIC准则选择变量，我们可以看出子集{age、runtime、runpulse、maxpulse}对应的Cp最小，而子集{age、runtime、runpulse、maxpulse}和{age、weight、runtime、runpulse、maxpulse}对应的AIC值相差不大，我们有理由接受子集{age、runtime、runpulse、maxpulse}作为模型中的变量。
下面用Adjrsq、MSE准则选择变量，我们可以看出子集{age、weight、runtime、runpulse、maxpulse}对应的Adjrsq最大，而子集{age、weight、runtime、runpulse、maxpulse}和{age、runtime、runpulse、maxpulse}对应的Adjrsq值相差不大，而且对应的R-Square的值也相差不大。
综合以上分析考虑，我们完全有理由接受修正的线性模型。
2.4、逐步回归
除了通过计算所有可能自己回归寻求最优子集回归的方法外，还有一些不计算所有可能子集回归的变量选择算法，我们用逐步回归法对初始模型进行变量选择。考虑截距项时得到的模型结果优于不考虑截距项时的结果。
综上三种方法，不论是自己修正模型后得到的变量，还是基于Cp、AIC、Adjrsq和MSE四个准则选择的变量和逐步回归得到的变量，都得到同一个模型，即oxygen与age、runtime、runpulse、maxpulse之间的线性模型为：
oxygen=98.1479-0.1977*age-2.7676*
runtime-0.3481*runpulse+0.2705*maxpulse
2.5、复共线性
接下来对逐步回归模型选择结果进行复相关分析，看这些变量之间有无复共线性，结果表明：k=2.52559/0.0598=42.2339
<<100，说明几乎没有复共线性，故最小二乘估计结果很好，无需再进行有偏估计（岭估计或主成分估计）。
综上，我们得到oxygen与age、runtime、runpulse、maxpulse之間的线性模型为：
oxygen=98.1479-0.1977*age-2.7676*
runtime-0.3481*runpulse+0.2705*maxpulse