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摘 要：本文以平面与平面垂直的判定为例，阐述微课的设计过程以及在新课教学中的应用模式.通过设置问题情境及精心编制问题串，落实直观想象素养培养，最后给出结合微课进行新课教学实践的教学建议.
关键词：微课;面面垂直;直观想象
引言：本文所述微课程，指的是从学生学情出发，根据学习需要和教学目标，针对某一知识主题或某一数学思想方法，通过一条清晰的主线将问题串联起来进而解决学习中真问题、实问题的“小切口”专题，微课程是构建相对完整知识结构的微型专题学习资源，包含学习任务单、微课视频、在线微检测等.
1.“平面与平面垂直的判定”微课设计
1.1学习内容与学习目标分析
[内容与内容解析]
内容：平面与平面垂直的判定
内容解析：本课选自人教A版高中数学必修2第二章2.3.2平面与平面垂直的判定一节，该节课是在前面已经学习直线与平面垂直的判定定理基础上，通过直观感知、操作确认、类比转化、推理论证进行学习，促进直观想象与逻辑推理素养发展。
教学重点：平面与平面垂直的判定.
[目标与目标解析]
目标：正确理解并掌握“二面角”、“二面角的平面角”以及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念;掌握平面与平面垂直的判定定理.
目标解析：利用实例直观感知“二面角”概念的形成过程;类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及平面与平面垂直的判定定理.通过揭示概念的形成、发展和应用过程，领会教学存在于现实生活周围，培养观察、提出、分析、解决问题的能力.
[教学问题诊断分析]
教学诊断：学生虽然已经经历了一段立体几何的学习，对立体几何问题有了初步的认识.但是由于定义定理掌握的不扎实，二面角问题本身的复杂性，学生学习起来难度很大.尤其是如何去做二面角的平面角，求二面角的大小，这些问题必将是学生的难点.
教学难点：如何度量二面角的大小
1.2学习资源及学习活动设计
（1）创设情境
以十大建筑奇迹之一的中央电视台总部大楼引入.中央电视台总部大楼（主楼）为两栋分别为52层234米高和44层194米高的塔楼组成.两座塔楼都双向内倾斜6度，在163米以上由”L”形悬臂结构连为一体，建筑外表面的玻璃幕墙由强烈的不规则几何图案组成.如何理解“两座塔楼都双向内倾斜6度”？
设计意图：以实际情境引入课题，吸引学生学习兴趣.
（2）探究新知——二面角及其平面角
思考1直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线.平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫什么名称？
思考2在平面几何中“角”是如何定义的？
设计意图：由以上两个问题类比得到二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedralangle），这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
问题：你能画出下列各图所体现的二面角吗？
设计意图：引出二面角的画法与表示方法，以表格的形式直观的展示不同的画法及表示法.
思考3我们常说：“把门开大一些”，是指哪个角大一些？
设计意图：用平面化的思想来定义两个平面所成的角，即用“平面角”来度量“二面角”，进而得到二面角的平面角的定义：
在二面角的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别做垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
思考4你能归纳出二面角的平面角的特征吗？
①点在棱上②线在面内③线与棱垂直
设计意图：以问题串夯实概念理解
（3）探究新知——平面与平面垂直的定义
思考5为了让一面墙砌得稳固，不易倒塌，墙面所在的平面与地面应该满足怎样的位置关系呢？
设计意图：引入面面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
思考6如果墙面发生倾斜，墙就容易倒塌，所以砌墙时，不能让墙面倾斜.我们怎样用所学知识去描述“墙面不倾斜”这一事实呢？
①在实际生活中，建筑工人用一端系有铅锤的线来检查墙面与地面是否垂直，即若垂直地面的铅锤线紧贴墙面，则确定墙面与地面垂直，否则不垂直.
②紧贴墙面的线？这句话的实质意义是什么？
③由此实际问题如何抽象为数学问题呢？
若平面过另一平面的垂线，则这两个平面互相垂直.
设计意图：从生活经验引入，贴近学生实际，便于知识理解.
补充知识：以比萨斜塔和全国重点文物保护单位河北定县开元寺料敌塔即我国古代最高的砖石塔引入面面垂直的定义，90度的二面角铸就了平面刚性的形象，古人正是靠精准90度的工匠精神，创造了中国建筑的辉煌，匠心筑梦，新时代的一带一路，更需要我们用这种精神去延续辉煌.
设计意图：进行德育渗透.
（4）探究新知——平面与平面垂直的判定定理
以酒店旋转门或教室门为例，因为门框木柱与地面垂直，所以经过木柱的门无论转到什么位置都有门面垂直于地面，请同学给出面面垂直的判定定理.
文字语言 图形语言 符号语言
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
本质：线⊥面面⊥面
关键：在一个平面内找另一个平面的垂线
设计意图：由学生进行归纳表达，用表格形式直观展示对比，训练三种语言的相互转化能力
（5）課堂小结 设计意图：用结构图形式小结，直观的回顾、反思、归纳提高自我整合知识的能力
1.3录制微课，制作微视频，上传到微信公众号发布学习资源
微课设计说明：本设计从学生的学习起点出发，以学生为中心，注重微专题的资源多样性原则，内容趣味性原则，精心创设情境激发学习兴趣，设置问题串引起学生主动思考，通过信息技术直观形象展示数学概念定理动态演变过程，有效的让学生自主学习.
2.结合微课开展教学实践
具体到实际教学应用，微课主要应用模式如下：
本节课借助微课开展教学，包括课前预习以及课堂教学。课前预习时，教师让学生阅读书本，观看微课明确二面角的概念及平面与平面垂直的定义及判定方法，并完成学习任务单.经过微课的预习，学生能在一定程度掌握二面角的概念，但二面角的画法及度量是理解的难点，另学生能直观感知平面与平面垂直的判定，但在利用定义证明该定理方面还存在困难，且微课内容没有涉及定理的应用，课堂上应加强训练。
在课堂教学中，教师采用“五步教学法”：“知识提炼——作业点评——探究讨论——释疑点评——小结反思”五个步骤进行.教学方法以学生“自评互评，有序生成”为主线，引导学生主动参与知识提炼，探究讨论.教学手段用微课为载体引导学生进行课前预习，自主思考，课上以学生探究讨论和听教师讲解的模式学习.课前布置好学习任务单，要求学生对課上要学习的内容做到心中有数.课堂展示不仅是对预习任务的检查，更能让学生发现知识盲区，提高学习的积极性和主动性.
3.微课的设计和教学实践反思
借助微视频和学习任务单让学生先学后教，课堂上展示学生预习成果，充分调动学生学习积极性，借助几何图霸软件形象直观演示立几图形动态变化过程有效突破教学难点，就借助微课开展教学反思如下：
（1）在微课的设计中应从学生的认知水平出发，教学时充分发挥调动学生的主动性.学生的自主学习能力是可以培养的，只要给学生足够的时间，适当给予引导，学生通过自己的努力和小组协作，能够大胆猜想和归纳出相关数学性质。新课教学时，在符号语言和图形语言的书写中，有些学生还不够规范，教师应注意课堂板书示范.在课堂内外，信任学生，让学生在宽松的气氛中，引导学生去经历“直观感知—大胆猜想—操作确认—思辨论证—结果应用”的过程.让学生在课堂上掌握文化知识的同时又学到了思想方法，提高探究能力，增强合作意识.通过小组协作领悟概念及定理形成过程，促进学生直观想象素养的培养，提高课堂效益.
（2）在新授课教学时应强调直观感知，引导学生多画图，形成空间观念.教学中应合理利用教学技术手段帮忙学生认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系;通过对空间几何图形的观察、操作和推理，使学生了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法.在利用信息技术的同时，新授课要注意作图能力的培养，为后面识图用图打好基础.
（3）针对学生基础比较薄弱的学生，可以考虑录制例题的微课供学生课后自主学习巩固.比如借助几何图霸录制较难的动态翻折问题，课件的动态演示，有效的展示的动态过程的图形变化，直观高效.教师借助恰当的微课资源，呈现数学知识和教学环节，帮助学生直观感知，加深学生的“形象记忆”，提高学习效率.在使用几何图霸等信息技术投影、展示的同时注重结合理性分析，揭示直观现象背后的本质.
（本文系福建省教育科学“十三五”规划2018年度课题《基于数学直观想象素养培养的微课程建设研究》（立项批准号：FJJKXB18-353）的研究成果之一）
福建省教育科学“十三五”规划2017年度课题《高中生数学直观想象评价的实证研究》（立项批准号：Fjjgzx17-19）
参考文献
[1]吕增锋.基于“学历案”的数学微专题设计[J].中学数学，2019（7）：11-13.
[2]李宽珍.数学微专题教学的特征、策略及方法[J].教学月刊·中学版（教学参考），2016（9）：3-7.
关键词：微课;面面垂直;直观想象
引言：本文所述微课程，指的是从学生学情出发，根据学习需要和教学目标，针对某一知识主题或某一数学思想方法，通过一条清晰的主线将问题串联起来进而解决学习中真问题、实问题的“小切口”专题，微课程是构建相对完整知识结构的微型专题学习资源，包含学习任务单、微课视频、在线微检测等.
1.“平面与平面垂直的判定”微课设计
1.1学习内容与学习目标分析
[内容与内容解析]
内容：平面与平面垂直的判定
内容解析：本课选自人教A版高中数学必修2第二章2.3.2平面与平面垂直的判定一节，该节课是在前面已经学习直线与平面垂直的判定定理基础上，通过直观感知、操作确认、类比转化、推理论证进行学习，促进直观想象与逻辑推理素养发展。
教学重点：平面与平面垂直的判定.
[目标与目标解析]
目标：正确理解并掌握“二面角”、“二面角的平面角”以及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念;掌握平面与平面垂直的判定定理.
目标解析：利用实例直观感知“二面角”概念的形成过程;类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及平面与平面垂直的判定定理.通过揭示概念的形成、发展和应用过程，领会教学存在于现实生活周围，培养观察、提出、分析、解决问题的能力.
[教学问题诊断分析]
教学诊断：学生虽然已经经历了一段立体几何的学习，对立体几何问题有了初步的认识.但是由于定义定理掌握的不扎实，二面角问题本身的复杂性，学生学习起来难度很大.尤其是如何去做二面角的平面角，求二面角的大小，这些问题必将是学生的难点.
教学难点：如何度量二面角的大小
1.2学习资源及学习活动设计
（1）创设情境
以十大建筑奇迹之一的中央电视台总部大楼引入.中央电视台总部大楼（主楼）为两栋分别为52层234米高和44层194米高的塔楼组成.两座塔楼都双向内倾斜6度，在163米以上由”L”形悬臂结构连为一体，建筑外表面的玻璃幕墙由强烈的不规则几何图案组成.如何理解“两座塔楼都双向内倾斜6度”？
设计意图：以实际情境引入课题，吸引学生学习兴趣.
（2）探究新知——二面角及其平面角
思考1直线上的一点将直线分割成两部分，每一部分都叫做射线.平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫什么名称？
思考2在平面几何中“角”是如何定义的？
设计意图：由以上两个问题类比得到二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedralangle），这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
问题：你能画出下列各图所体现的二面角吗？
设计意图：引出二面角的画法与表示方法，以表格的形式直观的展示不同的画法及表示法.
思考3我们常说：“把门开大一些”，是指哪个角大一些？
设计意图：用平面化的思想来定义两个平面所成的角，即用“平面角”来度量“二面角”，进而得到二面角的平面角的定义：
在二面角的棱上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别做垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
思考4你能归纳出二面角的平面角的特征吗？
①点在棱上②线在面内③线与棱垂直
设计意图：以问题串夯实概念理解
（3）探究新知——平面与平面垂直的定义
思考5为了让一面墙砌得稳固，不易倒塌，墙面所在的平面与地面应该满足怎样的位置关系呢？
设计意图：引入面面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
思考6如果墙面发生倾斜，墙就容易倒塌，所以砌墙时，不能让墙面倾斜.我们怎样用所学知识去描述“墙面不倾斜”这一事实呢？
①在实际生活中，建筑工人用一端系有铅锤的线来检查墙面与地面是否垂直，即若垂直地面的铅锤线紧贴墙面，则确定墙面与地面垂直，否则不垂直.
②紧贴墙面的线？这句话的实质意义是什么？
③由此实际问题如何抽象为数学问题呢？
若平面过另一平面的垂线，则这两个平面互相垂直.
设计意图：从生活经验引入，贴近学生实际，便于知识理解.
补充知识：以比萨斜塔和全国重点文物保护单位河北定县开元寺料敌塔即我国古代最高的砖石塔引入面面垂直的定义，90度的二面角铸就了平面刚性的形象，古人正是靠精准90度的工匠精神，创造了中国建筑的辉煌，匠心筑梦，新时代的一带一路，更需要我们用这种精神去延续辉煌.
设计意图：进行德育渗透.
（4）探究新知——平面与平面垂直的判定定理
以酒店旋转门或教室门为例，因为门框木柱与地面垂直，所以经过木柱的门无论转到什么位置都有门面垂直于地面，请同学给出面面垂直的判定定理.
文字语言 图形语言 符号语言
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
本质：线⊥面面⊥面
关键：在一个平面内找另一个平面的垂线
设计意图：由学生进行归纳表达，用表格形式直观展示对比，训练三种语言的相互转化能力
（5）課堂小结 设计意图：用结构图形式小结，直观的回顾、反思、归纳提高自我整合知识的能力
1.3录制微课，制作微视频，上传到微信公众号发布学习资源
微课设计说明：本设计从学生的学习起点出发，以学生为中心，注重微专题的资源多样性原则，内容趣味性原则，精心创设情境激发学习兴趣，设置问题串引起学生主动思考，通过信息技术直观形象展示数学概念定理动态演变过程，有效的让学生自主学习.
2.结合微课开展教学实践
具体到实际教学应用，微课主要应用模式如下：
本节课借助微课开展教学，包括课前预习以及课堂教学。课前预习时，教师让学生阅读书本，观看微课明确二面角的概念及平面与平面垂直的定义及判定方法，并完成学习任务单.经过微课的预习，学生能在一定程度掌握二面角的概念，但二面角的画法及度量是理解的难点，另学生能直观感知平面与平面垂直的判定，但在利用定义证明该定理方面还存在困难，且微课内容没有涉及定理的应用，课堂上应加强训练。
在课堂教学中，教师采用“五步教学法”：“知识提炼——作业点评——探究讨论——释疑点评——小结反思”五个步骤进行.教学方法以学生“自评互评，有序生成”为主线，引导学生主动参与知识提炼，探究讨论.教学手段用微课为载体引导学生进行课前预习，自主思考，课上以学生探究讨论和听教师讲解的模式学习.课前布置好学习任务单，要求学生对課上要学习的内容做到心中有数.课堂展示不仅是对预习任务的检查，更能让学生发现知识盲区，提高学习的积极性和主动性.
3.微课的设计和教学实践反思
借助微视频和学习任务单让学生先学后教，课堂上展示学生预习成果，充分调动学生学习积极性，借助几何图霸软件形象直观演示立几图形动态变化过程有效突破教学难点，就借助微课开展教学反思如下：
（1）在微课的设计中应从学生的认知水平出发，教学时充分发挥调动学生的主动性.学生的自主学习能力是可以培养的，只要给学生足够的时间，适当给予引导，学生通过自己的努力和小组协作，能够大胆猜想和归纳出相关数学性质。新课教学时，在符号语言和图形语言的书写中，有些学生还不够规范，教师应注意课堂板书示范.在课堂内外，信任学生，让学生在宽松的气氛中，引导学生去经历“直观感知—大胆猜想—操作确认—思辨论证—结果应用”的过程.让学生在课堂上掌握文化知识的同时又学到了思想方法，提高探究能力，增强合作意识.通过小组协作领悟概念及定理形成过程，促进学生直观想象素养的培养，提高课堂效益.
（2）在新授课教学时应强调直观感知，引导学生多画图，形成空间观念.教学中应合理利用教学技术手段帮忙学生认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系;通过对空间几何图形的观察、操作和推理，使学生了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法.在利用信息技术的同时，新授课要注意作图能力的培养，为后面识图用图打好基础.
（3）针对学生基础比较薄弱的学生，可以考虑录制例题的微课供学生课后自主学习巩固.比如借助几何图霸录制较难的动态翻折问题，课件的动态演示，有效的展示的动态过程的图形变化，直观高效.教师借助恰当的微课资源，呈现数学知识和教学环节，帮助学生直观感知，加深学生的“形象记忆”，提高学习效率.在使用几何图霸等信息技术投影、展示的同时注重结合理性分析，揭示直观现象背后的本质.
（本文系福建省教育科学“十三五”规划2018年度课题《基于数学直观想象素养培养的微课程建设研究》（立项批准号：FJJKXB18-353）的研究成果之一）
福建省教育科学“十三五”规划2017年度课题《高中生数学直观想象评价的实证研究》（立项批准号：Fjjgzx17-19）
参考文献
[1]吕增锋.基于“学历案”的数学微专题设计[J].中学数学，2019（7）：11-13.
[2]李宽珍.数学微专题教学的特征、策略及方法[J].教学月刊·中学版（教学参考），2016（9）：3-7.