[摘要] 当风险资产的损失为离散随机变量时，用概率方程、反分布函数和分布最小值给出的风险价值VaR定义不满足存在惟一性，而用概率下确界、概率最小值、分布下确界和分布右极限最小值给出的VaR定义则对任意随机变量都能满足存在惟一性。
　　[关键词] 风险价值 随机变量 概率 下确界 存在惟一性
　　
　　VaR是Value at risk简称，通常译为风险价值，亦译为在险价值、受险价值、险值等，现已经成为金融风险管理的国际标准。菲利普·乔瑞将VaR定义为：在正常的市场环境下，在一定的置信水平和期间内，衡量(风险资产)最大预期损失的方法。
　　一、三种已知定义及存在缺陷
　　已知VaR的数学定义多采用含有概率的方程形式给出，也有用概率分布函数的最小值或反函数等形式给出的，现分别予以讨论。
　　定义1(概率方程定义):设随机变量X是风险资产在某期间内的损失(或负收益)，α∈(0,1)，则称满足方程:
　　P(X≥x)＝α(1)
　　x为该资产在此期间内的置信度为α的VaR，记作VaR1。
　　定义2(反分布函数定义):设Ｘ、α如定义1，且X的分布函数为F(x)，则定义VaR为:
　　VaR2= F-1(1-α)
　　定义3(分布最小值定义):设同定义2，则定义VaR为:
　　VaR3=min{ x｜F(x)≥1-α}
　　然而，上述三种定义的存在惟一性却不一定能得到保证，下面给出一个反例。
　　例1:设X为离散随机变量，分布律为P(X=xi) , (xi　　(1)VaR1对几乎所有的α都不存在，仅对至多可数个α存在还不惟一。
　　(2)VaR2对所有的α都不存在。
　　(3)VaR3对所有的α视分布函数的不同定义形式或都不存在或都存在惟一。
　　证明:(1)由于P(X≥x) =是关于x的单调非增且左连续的阶梯函数，故其值域是区间[0,1]上某个可数集的非空子集，因此方程(1)只对至多可数个α有解。对不可数个使方程(1)无解的α，其对应的VaR1自然不存在。对至多可数个使方程(1)有解的每个α，即存在ξ使P(X≥ξ)=α，由阶梯函数性质可知，存在一个包含ξ的区间(xk,xk+1]，使区间内所有的x都满足方程(1)，即此α对应的VaR1有无穷多个，因而不惟一。
　　(2)因为F(x)是阶梯函数，故F(x)的每一个函数值都有无穷多个原象，因此F(x)没有反函数，从而F-1(1-α) 对所有的α都无意义，当然就不存在VaR2。
　　(3)若F(x) = P(X＜x)，则F(x) =是关于x单调非降且左连续的阶梯函数，故对每个α，都存在惟一的xα使F(xα)＜1-α≤F(xα+0)。由F(xα)＜1-α可知VaR3＞xα，由1-α≤F(xα+0)可知xα≥VaR3，从而VaR3≥xα＞VaR3，矛盾，此矛盾表明其对应的VaR3不存在。
　　若F(x)=P(X≤x)，则F(x)=是关于x单调非降且右连续的阶梯函数。故对每个α，都存在惟一的xα使F(xα-0)＜1-α≤F(xα)，故{ x｜F(x)≥1-α}=[ xα,∞)，此时xα即为VaR3。
　　二、三种已知定义存在惟一的必要条件
　　例1:表明已知的三种定义都存在缺陷，下面给出这三种定义存在惟一的必要条件。
　　定理1(VaR1存在惟一的必要条件):若P(X≥x)关于x连续且严格单调，则VaR1对每个α都存在且惟一。
　　证明:因P(X≥x)=1＞α＞0=P(X≥x)，由连续函数的介值定理知，存在ξ∈(-∞,∞)，使P(X≥ξ)＝α，由单调性可知ξ还是惟一的，此ξ即为VaR1。
　　定理2(VaR2存在惟一的必要条件):若F(x)连续且严格单调，则VaR2对每个α都存在且惟一。
　　证明:因为F(x)为严格单调连续函数，因此F(x)存在严格单调连续反函数F-1(x)，故对任意的α，都存在惟一的xα，使xα= F-1(1-α)，此xα即为VaR2。
　　定理3(VaR3存在惟一的必要条件):若F(x)右连续，则VaR3对每个α都存在且惟一。
　　证明:对任意的α，方程或有解或无解。
　　若方程有解，即存在ξ，使F(ξ)=1-α，则解或惟一或不惟一。当解惟一时，其解即为VaR3；当解不惟一时，由于F(x)单调非降且右连续，因此解集为一个左闭区间，此区间的左端点即为VaR3。
　　若方程无解，由F(x)的单调性可知，存在惟一的xα，使F(xα-0)＜1-α＜F(xα)，此xα即为VaR3。
　　三、定义的改进
　　为了弥补上述三种定义的缺陷，下面给出能适应各种随机变量的VaR数学定义。
　　定义4(概率下确界定义):设X、α如定义1，则定义VaR为
　　VaR=inf{ x｜P(X≥x)≤α}
　　定理4(VaR存在惟一性定理) 对任意的X和α都有惟一的VaR。
　　证明:记Aα={x｜P(X≥x)≤α}，由概率论可知
　　P(X≥x)＝1＞α，故由极限性质知，存在ξ＞-∞，使P(X≥ξ)＞α，可见Aα有一个下界ξ，由下确界存在定理知，下方有界的数集Aα必有下确界xα，而下确界是惟一的，此xα即为VaR。
　　推论1:(概率最小值定义):设X、α如定义1，则：
　　VaR=min{ x｜P(X＞x)≤α}
　　证明:记xα＝VaR，则P(X≥x)。当x＞xα时，P(X＞x)=P(X≥x) P(X=x)≤P(X≥x)≤α，由于P(X＞x)关于x右连续，故P(X＞xα)=P(X＞x)≤α；当x＜xα时，令ξ=，则x＜ξ＜xα，由于P(＞x)单调非增，从而P(X＞x)≥P(X≥ξ)＞α。综合之有P(X＞x)，所以min{ x｜P(X＞x)≤α}=min[xα ,∞)＝xα=VaR。
　　推论2(分布下确界定义):设同定义2，则:
　　VaR=inf{ x｜F(x)≥1-α}
　　证明:若F(x)=P(X＜x)，因为P(X≥x)=1-P(X＜x)= 1-F(x)，从而有{ x｜P(X≥x)≤α}＝{ x｜F(x)≥1-α}，所以inf { x｜F(x)≥1-α}= inf { x｜P(X≥x)≤α}=VaR。
　　若F(x)=P(X≤x)，由推论1证明知 P(X＞x)，因此F(x)＝1-P(X＞x)，所以inf{ x｜F(x)≥1-α}=inf [VaR ,∞)＝VaR。
　　推论3(分布右极限最小值定义):设同定义2，记F(x+0)=F(t)，则:
　　VaR=min{ x｜F(x+0)≥1-α}
　　证明:记xα＝VaR，则F(x)。因F(x)单调非降，当x＞xα时，F(x+0)≥F(x)≥1-α，并且F(xα+0)≥1-α；当x＜xα时，令ξ=，则x＜ξ＜xα，故F(x+0)≤F(ξ)＜1-α，从而F(x+0)，所以min{ x｜F(x+0)≥1-α}= min[xα ,∞)=xα=VaR。
　　例2:设X如例1，则:
　　四、结论
　　由于风险资产损失的分布未必连续，因而用概率方程、反分布函数和分布最小值给出的VaR定义就不一定能滿足存在性或惟一性，故在理论上和实际应用中这三种定义都存在缺陷。用概率下确界给出的定义以及由其导出的概率最小值、分布下确界、分布右极限最小值等定义可弥补所有缺陷。
　　鉴于用概率下确界给出的定义比用分布函数给出的定义有更直观的经济学意义，所使用的数学工具也较少，而用最小值给出的定义又受到右连续的约束，适应性有所欠缺．。可见用概率下确界给出的定义具有普适性，因此可以作为VaR首选的数学定义。
　　
　　参考文献:
　　[1]菲利普·乔瑞:风险价值VAR[M].北京:中信出版社,2005
　　[2]吉林大学数学系.数学分析(中)[M].北京:人民教育出版社,1978
　　[3]复旦大学:概率论(第一册)[M].北京:人民教育出版社,1979
　　[4]胡杰郭晓辉邱亚光:VaR与CVaR在商业银行风险度量中的比较分析及应用[J].金融论坛, 2005,(7):40～44
　　[5]谷伟万建平鲁鸽:双曲分布及其在VaR模型分析中的应用[J].经济数学,2006,23(3): 274～281
　　[6]柳向东麦清溪:风险价值VAR几种算法及其比较[J].知识丛林,2005,(12):142～143
　　[7]冯香入:VaR方法原理及应用[J].合作经济与科技,2006,(5x):17～18
　　[8]武巍巍韩学意丁日佳:VaR计量模型在金融市场的运用研究[J].工业技术分析, 2006,25(8): 98～99
　　[9]李秀敏史道济:VaR的若干度量方法及其比较[J].西北农林科技大学学报(社会科学版), 2006,6(6):38～41
　　[10]王慧敏刘国光:基于极值理论的沪深股市VaR和CVaR分析[J].财贸研究,2005,(2):68～72
　　[11]包峰俞金平李胜宏:CVaR对VaR的改进与发展[J].山东师范大学学报(自然科学版),2005, 20(4):95～96
　　[12]刘小茂田立:VaR与CVaR的对比研究及实证分析[J].华中科技大学学报(自然科学版),2005,33(10): 112～114
　　[13]刘小茂马林:资产相对价值的VaR和CVaR风险[J].统计与决策,2006,(8):128～129
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。