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摘 要
一元二次方程是初中阶段学生学习的最次的方程，解一元二次方程较一元一次方程方法难、解法多很多学生一开始觉得解方程还挺简单但是多种方法都学完后反而看见方程束手无策，不知道用何种方法求解。其实学生只要看清各种解法都可以由平方根定义转化而来，各种解法也是按照“降次”和转化为一元一次方程的思想来解决，不仅可以熟练求解一元二次方程还可以举一反三求解一些高次方程、分式方程、无理方程等。
【关键词】转化思想；一元二次方程；解法；降次
求解一元二次方程教材中主要介绍了直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法，前三种解法都是根据平方根的定义演变而来，第四种因式分解法体现了解高于一次的方程的本质通用的思想方法：高次方转化为低次方，多元转化为一元来求解。本文对教材中的四种解法逐一剖析结合实例，运用“转化思想”把多种解法化归为同一解法，让我们更好的掌握解一元二次方程的解法理清解方程的思路。
一元二次方程形式多样变化多端，解法也有多种，对于学生来说可谓是解方程中的一匹“野马”，但是只要看清了抓住了解法中的“转化”这一“缰绳”那么解一元二次方程的方法会变得简单明了。
转化思想在解一元二次方程中运用的明线。
根据平方根的定义，如果x2=a（a≥0），那么x叫做a的平方根。正数a的正的平方根，记作x=±。
由此x2=2可知x就是2的平方根，因此x的值为和-。
即根据平方根的定义，得x2=2，x=±
即此一元二次方程的解為：x1=，x2 =-
教材中主要介绍了四种解方程的方法，每种解法处处运用转化来解决问题。按照教材安排的先后顺序首先是：直接开平方法
问题1 如何解以下一元二次方程：
（1）2x2=4
（2）2x2-4=0
（3）（x+1）2=2
（4）2（x+1）2=4
（5）2（x+1）2-4=0
解决问题（1）2x2=4
运用转化思想，当系数不为“1”就化为1，转化为x2=2得到x2=a（a≥0）平方根定义中的形式，解为±
（2）2x2-4=0
移项：2x=4当方程左边有常数项时，通过移项化成（1）中形式在求解
（3）（x+1）2=2，把（x+1）看作整体，以上方程便化为x2=a（a≥0）的形式，可以两边开方得x+1=±，再解两个一元一次方程得x的值。
（4）2（x+1）2=4，可以看作是（2）和（3）的结合体，只要把系数化为1，便成为（3）中形式再求解。第（5）题只要通过移项就可化为第（4）个问题来求解。
归纳总结：如果一个一元二次方程具有a（x+m）2-b=0，
的形式，a（x+m）2-b=0 移项转化为a（x+m）2=b系数化为1转化为
，平方根定义的形式，根据平方根的定义，两边开平方得
转化为两个一元一次方程再求解。如果遇到（5-2x）2=9（x+3）2只要把9（x+3）2看作非负数就化为（3）的形式。
直接开平方法就是把方程转化为（x+m）2=n，（n≥0）的形式实际上就是正数平方根的定义。（用直接开平方法解一元二次方程就是将一元二次方程的左边化为一个完全平方式，右边化为非负的整式）
配方法
问题2 如何解以下一元二次方程：
（1）x2+6x+4=0
（2）3x2+8x+1=0
我们已经知道了直接开方法，能否将“新”方程x2+6x+4 = 0转化为（x+m）2= n的“旧”形式呢？
运用配方的方法，先将常数项移到方程的右边，得
x2+6x=-4
即 x2+2·x·3=-4
在方程的兩边加上一次项系数6的一半的平方，即32后，得
x2+2·x·3+32=-4+32
（x+3）2=5
解这个方程，得： x+3=±
所以 x1=-3+ x2= ―-3
归纳总结：由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为（x+m）2= n的形式（其中m、n都是常数），如果n≥0，再通过直接开平方法求出方程的解。如第二小题如果二次项系数不为1，我们可以先化为1，第2小题先将方程两边同时除以3，将二次项系数化为1，再用配方法解之.至此，我们已经可以求解所有的一元二次方程。
公式法ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）
问题3如何解以下一元二次方程：
解一元二次方程的一般式实际上就是一元二次方程求根公式的推导过程，在整个推导的过程中也体现了转化的思想。回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程发现就是在问题2中第二小题的数字系数变成了字母系数，根据代数思想把字母当作数字来处理
因为a≠0，方程两边都除以a，得
移项，得
配方，得
即
化成了（x+m）2=n的形式（其中m、n都是常数n≥0），用问题1的方法来解得到求根公式：
，即
这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，带入求根公式直接求得方程的解。因此问题1和2中的一元二次方程求解时只需转化为一般式就可以求解。
综上三种解一元二次方程的方法都可以看作是平方根的定义演变而来，从x2=a（a≥0） 变为（x+m）2= n的形式（其中m、n都是常数n≥0）再变为a（x+m）2-b=0， 反之用配方把ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）变为（x+m）2= n的形式（其中m、n都是常数n≥0）化成x2=a（a≥0）得x=±两个一元一次方程。
转化思想在解一元二次方程中运用的暗线：
因式分解法
一元二次方程x2+（p+q）x+pq=0可化为x2+（p+q）x+pq=0根据A·B=0可得A=0，B=0，所以x=-p，x=-q
问题4如何解以下一元二次方程：x2-x=0
仔细观察方程的左边，可以发现这个等式的左边有公因式x，这时可把x提出来，左边即为两项的乘积，我们知道：两个因式的乘积等于0，则这两个因式为零，这样就把一元二次方程降为一元一次方程，此时，方程即可解。
解：x2-x=0，x（x-1）=0，于是x=0或x-3=0
∴x1=0，x2=3
如x+3-x（x+3）=0可化为（x+3）（1-x）=0，（2x-1）2-x2=0可化为（2x-1-x）（2x-1+x）=0，把高次方程通过因式分解降为两个一元一次方程来求解。
归纳总结：如果一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积，那么这样的一元二次方程就可以用因式分解法求解。利用因式分解法解一元二次方程，体现“降次”化归的思想方法
再回顾问题1 的（3）（x+1）2=2，把（x+1）看作整体，以上方程便化为x2= a（a≥0）的形式，可以两边开方得x+1=±，再解两个一元一次方程得x的值。开平方法求解方程事實上也是“降次”，把二次方程化为一次方程来求解。在推导求根公式时如出一辙把一元二次方程化为两个一元一次方程
因此求解一元二次方程还有一条转化的思路，把二次方程化为两个一次方程的积为零再求解。
事实上一些高次方程也可采用转化为底次方程的思想来求解。运用转化的思想还可以解把分式或无理方程转化为一元二次方程再转化为一元一次方程来讲解。用转化的思想还可以解一下一些“新”方程
高次转化为低次
例：解方程x4-5x2+6=0分析：这是一道一元高次方程，可通过换元进行降次，转化为会解的一元二次方程设x2=y则上式变为会解的一元二次方程y2-5y+6=0，再进一步来解。
解分式方程
，可以通过去分母转化为整式方程x2+x-2=0解得x1=-2，x2=1。通过“去分母”解方程，有可能产生增根，所以必须检验。经检验x2=1不是原方程的根，原方程的根為x=1
无理方程，可以通过方程两边平方把它转化为x+1=9，可得x=8通过“方程两边平方”解方程，有可能产生增根，所以必须检验。例如把方程两边平方，得x+6=x2，解得x1=3，x2=-1。经检验x2=-1不是原方程的根，是增根。
通过转化的思想还可以解二元二次方程组，例如
， 等高次方程组。
参考文献
[1]杨裕前，董林伟.数学九年级上册[M].南京：江苏凤凰科学技术出版社，2013.
[2]渠英.一元二次方程 [J].初中生世界：九年级，2014（39）：22-24
[3]赖宁.关于数学课程标准中一元二次方程的内容研究[D].重庆：西南大学，2002.
[4]刘东升.一元二次方程中的转化思想[J].数学学习与研究，2016（04）.
[5]程诗春.初中数学教材研究与思考[J].中学数学杂志，2010（12）：22-24.
作者单位
江苏省苏州市相城区蠡口中学 江苏省苏州市 215000
一元二次方程是初中阶段学生学习的最次的方程，解一元二次方程较一元一次方程方法难、解法多很多学生一开始觉得解方程还挺简单但是多种方法都学完后反而看见方程束手无策，不知道用何种方法求解。其实学生只要看清各种解法都可以由平方根定义转化而来，各种解法也是按照“降次”和转化为一元一次方程的思想来解决，不仅可以熟练求解一元二次方程还可以举一反三求解一些高次方程、分式方程、无理方程等。
【关键词】转化思想；一元二次方程；解法；降次
求解一元二次方程教材中主要介绍了直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法，前三种解法都是根据平方根的定义演变而来，第四种因式分解法体现了解高于一次的方程的本质通用的思想方法：高次方转化为低次方，多元转化为一元来求解。本文对教材中的四种解法逐一剖析结合实例，运用“转化思想”把多种解法化归为同一解法，让我们更好的掌握解一元二次方程的解法理清解方程的思路。
一元二次方程形式多样变化多端，解法也有多种，对于学生来说可谓是解方程中的一匹“野马”，但是只要看清了抓住了解法中的“转化”这一“缰绳”那么解一元二次方程的方法会变得简单明了。
转化思想在解一元二次方程中运用的明线。
根据平方根的定义，如果x2=a（a≥0），那么x叫做a的平方根。正数a的正的平方根，记作x=±。
由此x2=2可知x就是2的平方根，因此x的值为和-。
即根据平方根的定义，得x2=2，x=±
即此一元二次方程的解為：x1=，x2 =-
教材中主要介绍了四种解方程的方法，每种解法处处运用转化来解决问题。按照教材安排的先后顺序首先是：直接开平方法
问题1 如何解以下一元二次方程：
（1）2x2=4
（2）2x2-4=0
（3）（x+1）2=2
（4）2（x+1）2=4
（5）2（x+1）2-4=0
解决问题（1）2x2=4
运用转化思想，当系数不为“1”就化为1，转化为x2=2得到x2=a（a≥0）平方根定义中的形式，解为±
（2）2x2-4=0
移项：2x=4当方程左边有常数项时，通过移项化成（1）中形式在求解
（3）（x+1）2=2，把（x+1）看作整体，以上方程便化为x2=a（a≥0）的形式，可以两边开方得x+1=±，再解两个一元一次方程得x的值。
（4）2（x+1）2=4，可以看作是（2）和（3）的结合体，只要把系数化为1，便成为（3）中形式再求解。第（5）题只要通过移项就可化为第（4）个问题来求解。
归纳总结：如果一个一元二次方程具有a（x+m）2-b=0，
的形式，a（x+m）2-b=0 移项转化为a（x+m）2=b系数化为1转化为
，平方根定义的形式，根据平方根的定义，两边开平方得
转化为两个一元一次方程再求解。如果遇到（5-2x）2=9（x+3）2只要把9（x+3）2看作非负数就化为（3）的形式。
直接开平方法就是把方程转化为（x+m）2=n，（n≥0）的形式实际上就是正数平方根的定义。（用直接开平方法解一元二次方程就是将一元二次方程的左边化为一个完全平方式，右边化为非负的整式）
配方法
问题2 如何解以下一元二次方程：
（1）x2+6x+4=0
（2）3x2+8x+1=0
我们已经知道了直接开方法，能否将“新”方程x2+6x+4 = 0转化为（x+m）2= n的“旧”形式呢？
运用配方的方法，先将常数项移到方程的右边，得
x2+6x=-4
即 x2+2·x·3=-4
在方程的兩边加上一次项系数6的一半的平方，即32后，得
x2+2·x·3+32=-4+32
（x+3）2=5
解这个方程，得： x+3=±
所以 x1=-3+ x2= ―-3
归纳总结：由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为（x+m）2= n的形式（其中m、n都是常数），如果n≥0，再通过直接开平方法求出方程的解。如第二小题如果二次项系数不为1，我们可以先化为1，第2小题先将方程两边同时除以3，将二次项系数化为1，再用配方法解之.至此，我们已经可以求解所有的一元二次方程。
公式法ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）
问题3如何解以下一元二次方程：
解一元二次方程的一般式实际上就是一元二次方程求根公式的推导过程，在整个推导的过程中也体现了转化的思想。回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程发现就是在问题2中第二小题的数字系数变成了字母系数，根据代数思想把字母当作数字来处理
因为a≠0，方程两边都除以a，得
移项，得
配方，得
即
化成了（x+m）2=n的形式（其中m、n都是常数n≥0），用问题1的方法来解得到求根公式：
，即
这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，带入求根公式直接求得方程的解。因此问题1和2中的一元二次方程求解时只需转化为一般式就可以求解。
综上三种解一元二次方程的方法都可以看作是平方根的定义演变而来，从x2=a（a≥0） 变为（x+m）2= n的形式（其中m、n都是常数n≥0）再变为a（x+m）2-b=0， 反之用配方把ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）变为（x+m）2= n的形式（其中m、n都是常数n≥0）化成x2=a（a≥0）得x=±两个一元一次方程。
转化思想在解一元二次方程中运用的暗线：
因式分解法
一元二次方程x2+（p+q）x+pq=0可化为x2+（p+q）x+pq=0根据A·B=0可得A=0，B=0，所以x=-p，x=-q
问题4如何解以下一元二次方程：x2-x=0
仔细观察方程的左边，可以发现这个等式的左边有公因式x，这时可把x提出来，左边即为两项的乘积，我们知道：两个因式的乘积等于0，则这两个因式为零，这样就把一元二次方程降为一元一次方程，此时，方程即可解。
解：x2-x=0，x（x-1）=0，于是x=0或x-3=0
∴x1=0，x2=3
如x+3-x（x+3）=0可化为（x+3）（1-x）=0，（2x-1）2-x2=0可化为（2x-1-x）（2x-1+x）=0，把高次方程通过因式分解降为两个一元一次方程来求解。
归纳总结：如果一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积，那么这样的一元二次方程就可以用因式分解法求解。利用因式分解法解一元二次方程，体现“降次”化归的思想方法
再回顾问题1 的（3）（x+1）2=2，把（x+1）看作整体，以上方程便化为x2= a（a≥0）的形式，可以两边开方得x+1=±，再解两个一元一次方程得x的值。开平方法求解方程事實上也是“降次”，把二次方程化为一次方程来求解。在推导求根公式时如出一辙把一元二次方程化为两个一元一次方程
因此求解一元二次方程还有一条转化的思路，把二次方程化为两个一次方程的积为零再求解。
事实上一些高次方程也可采用转化为底次方程的思想来求解。运用转化的思想还可以解把分式或无理方程转化为一元二次方程再转化为一元一次方程来讲解。用转化的思想还可以解一下一些“新”方程
高次转化为低次
例：解方程x4-5x2+6=0分析：这是一道一元高次方程，可通过换元进行降次，转化为会解的一元二次方程设x2=y则上式变为会解的一元二次方程y2-5y+6=0，再进一步来解。
解分式方程
，可以通过去分母转化为整式方程x2+x-2=0解得x1=-2，x2=1。通过“去分母”解方程，有可能产生增根，所以必须检验。经检验x2=1不是原方程的根，原方程的根為x=1
无理方程，可以通过方程两边平方把它转化为x+1=9，可得x=8通过“方程两边平方”解方程，有可能产生增根，所以必须检验。例如把方程两边平方，得x+6=x2，解得x1=3，x2=-1。经检验x2=-1不是原方程的根，是增根。
通过转化的思想还可以解二元二次方程组，例如
， 等高次方程组。
参考文献
[1]杨裕前，董林伟.数学九年级上册[M].南京：江苏凤凰科学技术出版社，2013.
[2]渠英.一元二次方程 [J].初中生世界：九年级，2014（39）：22-24
[3]赖宁.关于数学课程标准中一元二次方程的内容研究[D].重庆：西南大学，2002.
[4]刘东升.一元二次方程中的转化思想[J].数学学习与研究，2016（04）.
[5]程诗春.初中数学教材研究与思考[J].中学数学杂志，2010（12）：22-24.
作者单位
江苏省苏州市相城区蠡口中学 江苏省苏州市 215000