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《钉子板上的多边形》一课是苏教版五年级上册2014年版中新增的内容. 该课题属于综合实践这一领域，是典型的规律探索类课型. 本节课通过引导学生在钉子板上围图形，数钉子的枚数，算图形的面积来探究其中隐藏的规律. 教材安排这一实践活动的价值不仅仅在于得出一个结论，更在于让学生经历规律探索的一般过程与方法，积累数学活动经验，培养学生善于发现的眼光、科学严谨的态度以及归纳概括的能力.
如何打破传统的探索规律课的教学模式，引导学生积极有效地投入到课堂的探究活动中来？笔者在多次模课及与同行教学比对的基础上，认为本课可以刷新教学呈现方式为突破口，来实现课堂教学的最优化.
一、人文浸润式地导入，营造研讨的氛围
导入环节是一堂课的课眼，它的作用不仅仅是激发学习兴趣，更应该唤起学生对于新知学习的渴望. 教师需要在解读学生的基础上来设计，要把它演变成一个磁场，牢牢吸引学生的眼球和心智.
求多边形的面积方法有很多种，本课为什么要把多边形放在钉子板上来研究？研究的背景是什么？这是学生看到课题后的直觉反应. 如果教学时开门见山，直接出示在钉子板上围成的多边形引入教学，虽然研究的目标明确，但却无法有效地激发学生探究的欲望. 循着这样的思考，进行了如下设计：
【片断】
（一）课前谈话
师：老师给大家带来了一些数学家的故事，你们想听听谁的故事？（祖冲之 陈景润 哥德巴赫 欧拉）生选择，师进行点评.
师：其实要想进一步了解数学家，不妨与他们一起思考.
（二）激趣导入
师：今天课上老师还带来了另一位数学家的故事，想听吗？
【放录音：乔治.皮克是奥地利著名的数学家，出生于1859年. 不知从什么时候开始，皮克对多边形的面积产生了浓厚的兴趣. 平时喜欢在钉子板上围大大小小、各种各样的多边形来进行研究，最终获得了重要的数学发现. 】
师：那今天我们就来当一回小皮克，通过围多边形，也来探索隐藏在其中的奥秘.
本课最终得出的规律其实就是皮克定理. 怎样赋予这个抽象的规律以生动的内涵？以上教学设计，通过课前谈话让学生了解一些熟悉的数学家的故事，让学生初步感受数学研究的魅力，为新课导入谱写好了前奏曲. 课时，循着之前的思绪，老师通过录音和图片呈现相结合的方式介绍了皮克的故事. 故事中皮克的事件正是学生心里的疑问，让学生明白之所以要把多边形放到钉子板上去研究，源于数学家皮克的关系. 在钉子板上围图形，学生也会，围着围着，会有什么有趣的发现？这是学生在听录音时不由自主思考的问题. 如此运用数学文化浸润的方式将研究主题植入学生脑海中，巧妙地唤出学生研究的欲望，于无痕中达到教学的目标.
二、逐层深入式地体验，汇聚思维的焦点
新教材提倡开放式的教学，给学生更多思维的空间. 但这个“开放”并不等同于简单的“放开”，探究也不是漫无目的地去研究. 这就需要教師贴近学生最近发展区，为学生精心设置台阶，引导学生逐步深入体验，找寻到思维探究的点.
钉子板上多边形面积变化的规律和多边形边上的钉子数及多边形内的钉子数有关，如何引导学生把目光聚焦到这上面？有位老师是这样设计的：
【片断】
师：这节课我们用这样的点子图来代替钉子板，瞧老师画的这个梯形，它的面积是多少？有什么办法知道？
生：面积计算公式、数格子.
师：如果不用面积计算公式，也不数格子，能不能知道面积呢？
下面我们来玩一个游戏.
生在点子图上画一个任意多边形，算出它的面积. 选择几名学生，拿着画的多边形在实物投影上展出.
师背对屏幕，通过询问学生所画的多边形内部的钉子数和边上的钉子数来猜多边形的面积.
生佩服并猜想：面积很有可能和边上的、形内的钉子数有关.
以上教学设计，教师首先通过直观图形的变化，让学生产生“多边形的面积可能和边上的钉子数、形内的钉子数有关”这一直觉；随后通过学生画、老师猜的神秘游戏，让学生在强烈的体验中进一步感觉：“多边形的面积很可能和边上的钉子数、形内的钉子数有关”. 如此巧妙地将学生思维的焦点逐步聚集到本课研究的两个关键要素上，让学生在这样的体验活动中积累了活动经验.
三、由扶到放式地探究，明晰思考的路径
学习的过程是学习主体与知识在不断碰撞、摩擦、调整从而达到融合的一段旅程. 因此教学中要让学生充分经历数学学习的过程，这样学生收获的不仅仅是知识，还有思考问题的经验，这些才是提高学习能力的根本. 本节课我们是这样设计探究规律的过程的：
【片断】
（一）探究多边形内有1个钉子的情况
师：我们就从内部1枚的几个简单的例子入手，算算它们的面积分别是多少？再数一数它们边上的钉子数分别又是多少呢？
师：观察这些数据，你有什么发现？（板书：观察比较 发现规律）
师：刚才几名同学都把意思表达出来了，不过文字描述挺拗口的，如果用字母式来表示它们之间的关系，感觉怎么样？（简洁，方便记忆）
师：是不是内部1枚钉子的多边形都符合这个发现呢？（板书：？）
我们还只是通过4个例子得到的结论，是否普遍适用还需要进一步验证. （板书：举例 验证）
师：课前同学们在点子图上任意画了几个多边形，同学们来找找有没有反例.
至此黑板上形成探究的四步法： 举例、观察比较、发现规律、验证.
（二）探究多边形内有2个钉子的情况
学生按4个步骤分组活动.
师反馈、板书：当a = 2时，S = n ÷ 2 1.
（三）探究多边形内有3、4、5个钉子的情况 师：（引导学生推理得出关系式，并板书）这三条都是我们的猜想. 有了猜想，就要去验证它. 你准备怎么做？
生：在图形库里找一个符合条件的多边形，数一数边上钉子数，并算一算面积，看看是否符合猜想，找找有没有反例. 生活动、交流反馈
（四）比较推理其他情况
师：当a = 100时，S = ？你又准备怎么验证？还要再画图验证吗？猜一猜皮克可能会怎么做的？
生：直接推理，S = n ÷ 2 99.
師：99从哪儿来？后面加的数与a什么关系？
师：再往下推想，a = 10000，S等于？
像这样的规律，你能写出多少个？能用一个式子来概括出所有的情况吗？（概括出皮克定理）
让学生在探索规律的过程中，获取由简单到复杂的探究问题的方法和经验，使学生获得探索规律成功的体验，是“钉子板上的多边形”这是重要的教学目标之一. 以上教学设计，我们采用由扶到放的策略，让学生在学习的过程中逐步明晰思考的路径，掌握探索规律四步法，在思维提升的同时感悟数学思想方法，获得智慧的启迪.
四、承前启后式地沟通，把握知识的脉络
在数学教学中，教师要善于把握知识之间的内在联系，在教学中合理运用类比推理，使前后知识得到沟通，帮助学生把握知识的脉络.
【片断一】
师：s = n ÷ 2这条规律是不是适用于钉子板上所有的多边形呢？
请同学们拿出课前画的多边形，任选一个自己验证一下. 生：多边形内有2枚钉子时不满足.
师：那么像他这样内部2枚钉子的多边形，面积与边上的钉子数会有怎样的关系呢？（S = n ÷ 2 1）
【片断二】
师：为什么当a = 2时要再加1呢？我们就回到钉子板上来找找原因.
师：第一个多边形内部是1枚钉子. 如果把这枚边上钉子的皮筋往下拉，原来边上的钉子就变成了内部的钉子. 当内部有2枚钉子，面积也发生了变化. 另外两个图形也来变一变. 和原来的图形比一比，你有什么发现？如果你是皮克，接着又能联想到什么？
生：边上的钉子数，中间的钉子数由1枚增加到2枚，面积增加了2个小三角，就是增加了1平方厘米；再往下拉，中间的钉子数由1枚增加到3枚，面积比内部1枚钉子的时候增加了2平方厘米. 就是当a = 3时，S = n ÷ 2 2
师：继续想，再往下拉. S和n会有怎么的关系？
生：当a = 4时，S = n ÷ 2 3
师：再往下拉呢？
生：……
在教学中“培养学生掌握类比迁移探求问题的方法，尝试拓展研究同类新问题. 并能用举反例验证规律，不断调整学生的思维. ”这也是“钉子板上的多边形”这课的教学目标之一.
以上的教学设计实际是进行了两次比对沟通：第一次沟通，老师没有人为地直接给学生布置探索多边形内有2枚钉子的情况. 而是运用验证的方法，巧妙地让学生自己发现问题，从而激发学生探索多边形内有2枚钉子的情况的欲望. 第二次沟通，是在探索完形内2个钉子的情况后，采用数形结合的方式，抓住运动前后边上的钉子数不变的情况下，形内钉子数每增加1枚，面积就增加1平方厘米这样的变化，引导学生分析、对比、想象、概括，得出了内在的变化规律，提高了数学思考的能力.
数学课堂永远是一个开放的、变化的、多彩的世界. 人文浸润式地植入、逐层深入式地体验、由扶到放式地探究、承前启后式地沟通等新颖的教学呈现方式，使我们的课堂更具生长力，更加熠熠生辉.
如何打破传统的探索规律课的教学模式，引导学生积极有效地投入到课堂的探究活动中来？笔者在多次模课及与同行教学比对的基础上，认为本课可以刷新教学呈现方式为突破口，来实现课堂教学的最优化.
一、人文浸润式地导入，营造研讨的氛围
导入环节是一堂课的课眼，它的作用不仅仅是激发学习兴趣，更应该唤起学生对于新知学习的渴望. 教师需要在解读学生的基础上来设计，要把它演变成一个磁场，牢牢吸引学生的眼球和心智.
求多边形的面积方法有很多种，本课为什么要把多边形放在钉子板上来研究？研究的背景是什么？这是学生看到课题后的直觉反应. 如果教学时开门见山，直接出示在钉子板上围成的多边形引入教学，虽然研究的目标明确，但却无法有效地激发学生探究的欲望. 循着这样的思考，进行了如下设计：
【片断】
（一）课前谈话
师：老师给大家带来了一些数学家的故事，你们想听听谁的故事？（祖冲之 陈景润 哥德巴赫 欧拉）生选择，师进行点评.
师：其实要想进一步了解数学家，不妨与他们一起思考.
（二）激趣导入
师：今天课上老师还带来了另一位数学家的故事，想听吗？
【放录音：乔治.皮克是奥地利著名的数学家，出生于1859年. 不知从什么时候开始，皮克对多边形的面积产生了浓厚的兴趣. 平时喜欢在钉子板上围大大小小、各种各样的多边形来进行研究，最终获得了重要的数学发现. 】
师：那今天我们就来当一回小皮克，通过围多边形，也来探索隐藏在其中的奥秘.
本课最终得出的规律其实就是皮克定理. 怎样赋予这个抽象的规律以生动的内涵？以上教学设计，通过课前谈话让学生了解一些熟悉的数学家的故事，让学生初步感受数学研究的魅力，为新课导入谱写好了前奏曲. 课时，循着之前的思绪，老师通过录音和图片呈现相结合的方式介绍了皮克的故事. 故事中皮克的事件正是学生心里的疑问，让学生明白之所以要把多边形放到钉子板上去研究，源于数学家皮克的关系. 在钉子板上围图形，学生也会，围着围着，会有什么有趣的发现？这是学生在听录音时不由自主思考的问题. 如此运用数学文化浸润的方式将研究主题植入学生脑海中，巧妙地唤出学生研究的欲望，于无痕中达到教学的目标.
二、逐层深入式地体验，汇聚思维的焦点
新教材提倡开放式的教学，给学生更多思维的空间. 但这个“开放”并不等同于简单的“放开”，探究也不是漫无目的地去研究. 这就需要教師贴近学生最近发展区，为学生精心设置台阶，引导学生逐步深入体验，找寻到思维探究的点.
钉子板上多边形面积变化的规律和多边形边上的钉子数及多边形内的钉子数有关，如何引导学生把目光聚焦到这上面？有位老师是这样设计的：
【片断】
师：这节课我们用这样的点子图来代替钉子板，瞧老师画的这个梯形，它的面积是多少？有什么办法知道？
生：面积计算公式、数格子.
师：如果不用面积计算公式，也不数格子，能不能知道面积呢？
下面我们来玩一个游戏.
生在点子图上画一个任意多边形，算出它的面积. 选择几名学生，拿着画的多边形在实物投影上展出.
师背对屏幕，通过询问学生所画的多边形内部的钉子数和边上的钉子数来猜多边形的面积.
生佩服并猜想：面积很有可能和边上的、形内的钉子数有关.
以上教学设计，教师首先通过直观图形的变化，让学生产生“多边形的面积可能和边上的钉子数、形内的钉子数有关”这一直觉；随后通过学生画、老师猜的神秘游戏，让学生在强烈的体验中进一步感觉：“多边形的面积很可能和边上的钉子数、形内的钉子数有关”. 如此巧妙地将学生思维的焦点逐步聚集到本课研究的两个关键要素上，让学生在这样的体验活动中积累了活动经验.
三、由扶到放式地探究，明晰思考的路径
学习的过程是学习主体与知识在不断碰撞、摩擦、调整从而达到融合的一段旅程. 因此教学中要让学生充分经历数学学习的过程，这样学生收获的不仅仅是知识，还有思考问题的经验，这些才是提高学习能力的根本. 本节课我们是这样设计探究规律的过程的：
【片断】
（一）探究多边形内有1个钉子的情况
师：我们就从内部1枚的几个简单的例子入手，算算它们的面积分别是多少？再数一数它们边上的钉子数分别又是多少呢？
师：观察这些数据，你有什么发现？（板书：观察比较 发现规律）
师：刚才几名同学都把意思表达出来了，不过文字描述挺拗口的，如果用字母式来表示它们之间的关系，感觉怎么样？（简洁，方便记忆）
师：是不是内部1枚钉子的多边形都符合这个发现呢？（板书：？）
我们还只是通过4个例子得到的结论，是否普遍适用还需要进一步验证. （板书：举例 验证）
师：课前同学们在点子图上任意画了几个多边形，同学们来找找有没有反例.
至此黑板上形成探究的四步法： 举例、观察比较、发现规律、验证.
（二）探究多边形内有2个钉子的情况
学生按4个步骤分组活动.
师反馈、板书：当a = 2时，S = n ÷ 2 1.
（三）探究多边形内有3、4、5个钉子的情况 师：（引导学生推理得出关系式，并板书）这三条都是我们的猜想. 有了猜想，就要去验证它. 你准备怎么做？
生：在图形库里找一个符合条件的多边形，数一数边上钉子数，并算一算面积，看看是否符合猜想，找找有没有反例. 生活动、交流反馈
（四）比较推理其他情况
师：当a = 100时，S = ？你又准备怎么验证？还要再画图验证吗？猜一猜皮克可能会怎么做的？
生：直接推理，S = n ÷ 2 99.
師：99从哪儿来？后面加的数与a什么关系？
师：再往下推想，a = 10000，S等于？
像这样的规律，你能写出多少个？能用一个式子来概括出所有的情况吗？（概括出皮克定理）
让学生在探索规律的过程中，获取由简单到复杂的探究问题的方法和经验，使学生获得探索规律成功的体验，是“钉子板上的多边形”这是重要的教学目标之一. 以上教学设计，我们采用由扶到放的策略，让学生在学习的过程中逐步明晰思考的路径，掌握探索规律四步法，在思维提升的同时感悟数学思想方法，获得智慧的启迪.
四、承前启后式地沟通，把握知识的脉络
在数学教学中，教师要善于把握知识之间的内在联系，在教学中合理运用类比推理，使前后知识得到沟通，帮助学生把握知识的脉络.
【片断一】
师：s = n ÷ 2这条规律是不是适用于钉子板上所有的多边形呢？
请同学们拿出课前画的多边形，任选一个自己验证一下. 生：多边形内有2枚钉子时不满足.
师：那么像他这样内部2枚钉子的多边形，面积与边上的钉子数会有怎样的关系呢？（S = n ÷ 2 1）
【片断二】
师：为什么当a = 2时要再加1呢？我们就回到钉子板上来找找原因.
师：第一个多边形内部是1枚钉子. 如果把这枚边上钉子的皮筋往下拉，原来边上的钉子就变成了内部的钉子. 当内部有2枚钉子，面积也发生了变化. 另外两个图形也来变一变. 和原来的图形比一比，你有什么发现？如果你是皮克，接着又能联想到什么？
生：边上的钉子数，中间的钉子数由1枚增加到2枚，面积增加了2个小三角，就是增加了1平方厘米；再往下拉，中间的钉子数由1枚增加到3枚，面积比内部1枚钉子的时候增加了2平方厘米. 就是当a = 3时，S = n ÷ 2 2
师：继续想，再往下拉. S和n会有怎么的关系？
生：当a = 4时，S = n ÷ 2 3
师：再往下拉呢？
生：……
在教学中“培养学生掌握类比迁移探求问题的方法，尝试拓展研究同类新问题. 并能用举反例验证规律，不断调整学生的思维. ”这也是“钉子板上的多边形”这课的教学目标之一.
以上的教学设计实际是进行了两次比对沟通：第一次沟通，老师没有人为地直接给学生布置探索多边形内有2枚钉子的情况. 而是运用验证的方法，巧妙地让学生自己发现问题，从而激发学生探索多边形内有2枚钉子的情况的欲望. 第二次沟通，是在探索完形内2个钉子的情况后，采用数形结合的方式，抓住运动前后边上的钉子数不变的情况下，形内钉子数每增加1枚，面积就增加1平方厘米这样的变化，引导学生分析、对比、想象、概括，得出了内在的变化规律，提高了数学思考的能力.
数学课堂永远是一个开放的、变化的、多彩的世界. 人文浸润式地植入、逐层深入式地体验、由扶到放式地探究、承前启后式地沟通等新颖的教学呈现方式，使我们的课堂更具生长力，更加熠熠生辉.