【摘要】考虑一类三阶非线性时滞微分方程(r2(t)r1(t)φ(x(t))x′(t))′)′+p(t)x′(t)+q(t)f(x(σ(t)))=0，t≥t0.通过构造适当的Riccati变换，并利用积分平均方法及完全平方技术，我们分别得到当p′(t)>0与p′(t)≤0时，方程的解振动或收敛于零的一些新的充分条件，推广和改进了文献［5］中的定理.
　　【关键词】非线性微分方程；三阶；Riccati变换
　　本文考虑一类三阶非线性时滞微分方程
　　(r2(t)r1(t)φ(x(t))x′(t))′)′+p(t)x′(t)+q(t)f(x(σ(t)))=0，t≥t0.(1)
　　其中,t0≥0；r1，r2∈C′(［t0,∞),(0,∞)),p∈C′(［t0,∞),(0,∞))，q∈C(［t0,∞),［0,∞))，且q(t)在任何子区间内不恒为零,σ∈C′(［t0,∞),R)且0<σ(t)≤t，σ′(t)≥0,limt→∞σ(t)=∞，并且f∈C(R,R)对所有x∈R＼{0}有f(x)/x≥M>0；φ∈C′(R，(0,∞))且存在N1，N2，使得
　　0　　方程(1)的解x(t)称为振动的,如果它有任意大的零点；否则,称为非振动的.称方程(1)是振动的,如果它的所有解都振动.
　　近年来,带有阻尼项的二阶非线性微分方程的振动理论得到很大的发展,见文［1,2］,而对于三阶非线性微分方程的振动性研究相对还比较少,可参见文［3,4,5］.在文献［1］中，Mustafa与Rogovchenko研究了二阶非线性微分方程(r(t)Ψ(x(t))x′(t))′+p(t)x′(t)+q(t)f(x(t))=0，t≥t0的解的振动性.在本文中,我们将得到方程(1)的振动或收敛于零的一些新的充分条件.
　　令x(t)是方程(1)的一个解,称x在［T,∞)上有性质V2,T≥t0，如果它满足t∈［T,∞),x(t)x′(t)>0，x(t)(r1(t)φ(x(t))x′(t))′>0，x(t)(r2(t)(r1(t)φ(x(t))x′(t))′)′≤0.
　　定义函数：
　　R1(t,T)=∫tTdsr1(s),R2(t,T)=∫tTdsr2(s)，t0≤T≤t<∞.
　　假设limt→∞R1(t,t0)=∞,(3)
　　limt→∞R2(t,t0)=∞.(4)
　　引理1 假设条件(2)成立,且
　　(r2(t)z′(t))′+p(t)N1r1(t)z(t)=0(5)
　　是非振动的.若x是(1)的非振动解,那么,存在T≥t0，使得
　　x(t)x′(t)>0，t∈［T,∞)
　　或x(t)x′(t)<0，t∈［T,∞).
　　证明 令x(t)是(1)的非振动解,不妨设为最终正解,则存在T≥t0,使当t≥T时，x(t)>0，x(σ(t))>0.令
　　y(t)=-r1(t)φ(x(t))x′(t)，则
　　(r2(t)y′(t))′+p(t)y(t)r1(t)φ(x(t))
　　=q(t)f(x(σ(t))).（6）
　　下面证明y(t)非振动.若不然y(t)是振动的,设{tk}是y(t)的零点列，使y(t)在(ti，ti+1)内无零点.先证明y(t)在(ti，ti+1)内有y(t)<0.事实上,若当t∈(ti，ti+1)时,有y(t)>0.此时,y′(ti)≥0，y′(ti+1)≤0.由（6）得
　　(r2(t)y′(t))′+p(t)y(t)N1r1(t)≥q(t)f(x(σ(t))).
　　令z是(5)的解,设z(t)>0，t≥t0.则由（5）及上式有
　　(z(t)r2(t)y′(t)-y(t)r2(t)z′(t))′≥
　　z(t)q(t)f(x(σ(t))).
　　从ti到ti+1积分，有
　　0≥z(ti+1)r2(ti+1)y′(ti+1)-z(ti)r2(ti)y′(ti)≥
　　∫i+1iz(s)q(s)f(x(σ(s)))>0.
　　矛盾.故在(ti，ti+1)内有y(t)<0，从而y′+(ti)≤0，y′-(ti)≥0，于是y′(ti)=0，且在(ti，ti+1)内,有
　　(r2(t)y′(t))′+p(t)N2r1(t)y(t)≥q(t)f(x(σ(t))).
　　又由（2）及Sturm比较定理知，
　　(r2(t)z′(t))′+p(t)N2r1(t)z(t)=0是非振动的,有
　　(r2(t)y′(t)z(t)-r2(t)z′(t)y(t))′≥
　　z(t)q(t)f(x(σ(t))).
　　从ti到ti+1积分有
　　0≥∫i+1iz(s)q(s)f(x(σ(s)))ds>0.
　　矛盾.故y(t)非振动,从而,存在T′≥T，使当t≥T′时,y(t)>0或y(t)<0.引理证毕.
　　引理2 令假设(2),(4)成立,且x是方程(1)的非振动解,使得对任意t≥T≥t0，x(t)x′(t)≥0，那么,对所有充分大的t，y有性质V2.
　　引理2的证明与［5］中引理2的证明类似,我们略去.
　　定理 假设(2),(3),(4)成立,方程(5)非振动,且
　　lim supt→∞∫tT1r1(s)∫tsp(u)r2(u)duds<∞.（7）
　　lim supt→∞∫tT1r1(s)∫ts1r2(u)(∫∞u(Mq(τ)-p′(τ))dτ)duds=∞.（8）
　　若存在ρ∈C′(［t0，∞)，(0，∞))，使得对每个T,有
　　lim supt→∞∫tTMρ(s)q(s)-r1(σ(s))(N2ρ′(s)r1(s)-ρ(s)p(s)R2(σ(s)，T))24N2ρ(s)R2(σ(s),T)σ′(s)r21(s)ds=∞.（9）
　　则方程(1)的每个解x是振动的,或满足当t→∞时,x(t)→0.
　　证明 设x是(1)的一个最终正解,则存在T≥t0,使得当t≥T时,有x(t)>0，x(σ(t))>0.由引理1,x′(t)最终定号.
　　若存在t*≥T,使当t≥t*时,x′(t)>0,那么,由引理2知,x有性质V2.故
　　r1(σ(t))φ(x(σ(t)))x′(σ(t))
　　≥∫σ(t)t1(r1(s)φ(x(s))x′(s))′ds
　　≥R2(σ(t),t1)r2(σ(t))(r1(σ(t))φ(x(σ(t)))x′(σ(t)))′
　　≥R2(σ(t),t1)r2(t)(r1(t)φ(x(t))x′(t))′.(10)
　　令ω(t)=ρ(t)r2(t)(r1(t)φ(x(t))x′(t))′x(σ(t))，t≥T，(11)
　　那么ω(t)>0.由(1)和(10)有
　　ω′(t)=ρ′(t)ρ(t)ω(t)+ρ(t)-p(t)x′(t)-q(t)f(x(σ(t)))x(σ(t))-
　　ρ(t)r2(t)(r1(t)φ(x(t))x′(t))′x′(σ(t))σ′(t)x2(σ(t))≤
　　-Mρ(t)q(t)-ω2(t)R2(σ(t)，T)σ′(t)N2ρ(t)r1(σ(t))-ω(t)ρ′(t)ρ(t)-p(t)R2(σ(t),T)N2r1(t)<
　　-Mρ(t)q(t)+r1(σ(t))(N2ρ′(t)r1(t)-ρ(t)p(t)R2(σ(s)，T))24N2ρ(t)R2(σ(t),T)σ′(t)r21(t).
　　对上式两边从T到t积分，有
　　∫tTMρ(s)q(s)-r1(σ(s))(N2ρ′(s)r1(s)-ρ(s)p(s)R2(σ(s),T))24N2ρ(s)R2(σ(s),T)σ′(s)r21(s) ds≤ω(T)，
　　与(9)矛盾.故存在t*≥T，使当t≥t*时,x′(t)<0.
　　下面证明(r1(t)φ(x(t))x′(t))′≤0不能最终成立，即对任意的T>t0，都存在t*>T，使(r1(t)φ(x(t))x′(t))′>0.若(r1(t)φ(x(t))x′(t))′≤0最终成立，则r1(t)φ(x(t))x′(t)为非增函数，从而存在t2≥t0，使当t≥t2时有x′(t)≤r2(t2)x′(t2)φ(x(t2))r1(t)φ(x(t)).再由(3)可得x(t)<0，与x(t)为最终正解矛盾.故存在点列{tn},使得limn→∞tn=∞且
　　(r1(t)φ(x(t))x′(t))′|t=tn>0.
　　如果limt→∞x(t)=λ>0，对任意s≥t*，存在n,使s∈［tn-1，tn），对方程（1）从s到tn积分，利用分部积分公式,结合条件(2)可得
　　r2(s)(r1(s)φ(x(s))x′(s))′+p(s)x(s)
　　≥r2(tn)(r1(tn)φ(x(tn))x′(tn))′+p(tn)x(tn)+
　　 ∫tnsx(u)f(x(σ(u)))x(u)q(u)-p′(u)du
　　≥λ∫∞s［Mq(u)-p′(u)］du.
　　从而还有-r1(s)φ(x(s))x′(s)≥-∫tnsp(u)x(u)r2(u)du+λ∫tns1r2(u)∫∞u［Mq(τ)-p′(τ)］dτdu.
　　由此可得：
　　x(tn)≤x(t*)+x(t*)∫tns1N1r1(s)∫tnsp(u)r2(u)duds-λ∫tns1N2r1(s)∫tns1r2(u)∫∞u［Mq(τ)-p′(τ)］dτduds.
　　由(7),(8)知,对充分大的n有x(tn)<0矛盾.故limt→∞x(t)=0.定理证毕.
　　注1：取N1=N2=1，则由定理可直接推出［5］中的定理1.
　　注2：若p′(t)≤0，则条件(8)变为:
　　lim supt→∞∫tT1r1(s)∫ts1r2(u)(∫∞uMq(τ)dτ)duds=∞，
　　定理的其他条件不变,则其结论依然成立.
　　【参考文献】
　　［1］O G Mustafa, S P Rogovchenko.Oscillation of nonlinear second order differential equations with damping term［J］.J Math Anal Appl, 2004,298:604-620.
　　［2］张全信，燕居让.一类二阶非线性阻尼微分方程的振动性［J］.系统科学与数学,2004,24(3):296-302.
　　［3］S H Saker.Oscillatory criteria of certain class of third order nonlinear delay differential equations［J］.Math Slovaca,2006,56:433-450.
　　［4］A Tiryaki,S Yanman.Oscillatory behaviour of a class of nonlinear differential equations of third order［J］.Acta Math Sci,2001,21(2):182-188.
　　［5］A Tiryaki,M F Aktas.Oscillatory criteria of a certain class of third order nonlinear delay differential equations with damping［J］.J Math Anal Appl,2007,325:54-68.
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文