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【摘要】本文主要讨论单位球上从BMOA空间到小Bloch型空间上的加权复合算子.给出了算子uCφ：BMOA→βα(Bn)是紧算子的充分必要条件.
【关键词】BMOA空间；Bloch型空间；加权复合算子；紧性
1.引 言
设Bn是n维复空间Cn中的单位球，Sn表示单位球面；H(Bn)表示单位球上全纯函数类，H(Bn，Bn)表示单位球上的全纯自映射.dV表示单位球上的规范化体积测度，dσ表示单位球面上规范化面积测度，即V(Bn)=1，σ(Sn)=1.
如果0 ‖f‖pp=sup0 则称f属于Hardy空间Hp.Bn上全纯函数f∈H2(Bn)满足条件‖f‖2BMO=|f(0)|2sup1σ(Q)∫Q|f-fQ|2dσ(ξ)<∞，则称f属于BMOA空间.其中，fQ=1σ(Q)∫Qfdσ是函数f在Q上的平均值.0<α<∞，f∈H(Bn)，且满足条件
‖f‖βα=supz∈Bn(1-|z|2)α｜f(z)|<∞，
则称f属于α-Bloch空间βα(Bn).其中f(z)=fz1(z)，…，fzn(z)表示函数r的复梯度.设u∈H(Bn)，φ∈H(Bn，Bn)，定义H(Bn)上的加权复合算子uCφ为：
uCφf(z)=u(z)f(φ(z))，f∈H(Bn).
本文中，C表示与变量无关的正常数，处在不同位置其值不必相同.
2.一些引理
引理1 ‖f‖BMO≈supz∈Bn∫Bn|f(w)|2(1-|(w)|2)•(1-|z|2)n|1-〈z,w〉|2ndV(w).
引理2 设u∈H(Bn)，φ∈H(Bn，Bn)，如果算子uCφ：BMOA→βα0(Bn)，那么uCφ是紧算子的充要条件是对于BMOA(Bn)中的任一有界序列{fn}，如果{fn}在Bn内闭一致收敛于0，则limn→∞‖uCφ(fn)‖βα=0.
引理1和引理2的证明可参阅文献［1］.
3.主要结论
定理 设u∈H(Bn)，φ∈H(Bn,Bn)，设uCφ：BMOA→βα(Bn)有界，则uCφ是紧算子的充要条件是
lim|φ(z)|→1(1-|z|2)α|u(z)|ln21-|φ(z)|2=0，（1）
lim|φ(z)|→1(1-|z|2|α1-|φ(z)|2|u(z)||Jφ(z)|=0.（2）
证明 假设uCφ是紧算子，令{zn}是Bn中的一个序列使得当n→∞时，|φ(zn)|→1.令fn(z)=1-|φ(zn)|21-〈z，φ(zn)〉，由引理1知{fn}是BMOA空间中的一个有界序列，且{fn}在Bn上内闭一致收敛于0.由于uCφ是紧算子，由引理2知‖uCφfn‖βα→0，n→∞.由范数定义知
‖uCφfn‖βα≥supz∈Bn(1-|z|2)α|(uCφfn)(z)|≥
(1-|z|2)α|u(zn)|-
(1-|zn|2)α1-|φ(zn)|2|u(zn)||φ(zn)||Jφ(zn)|.
由lim|φ(z)|→1(1-|zn|2)α|u(zn)|=0知，
lim|φ(z)|→1（1-|zn|2)α1-|φ(zn)|2|u(zn)||Jφ(zn)|=0.
对Bn中的一个序列{zn}使得当n→∞时，|φ(zn)|→1.令fn(z)=ln21-|φ(zn)|2-1ln21-〈z,φ(zn)〉2，由引理1知{fn}是BMOA空间中的一个有界序列，且{fn}在Bn上内闭一致收敛于0.
于是0←‖uCφfn‖βα≥|（1-|zn|2|α）u(zn)|•ln21-|φ(zn)|2-2(1-|zn|2)α|u(zn)||φ(zn)|Jφ(zn)||1-|φ(zn)|2.
于是lim|φ(zn)|→1(1-|zn|2)α|u(zn)|ln21-|φ(zn)|=0.
假设式（1）和式（2）成立，则对ε>0，δ∈(0,1)使得当1-δ<|φ(z)|<1时，(1-|z|2)α|u(z)|.ln21-|φ(z)|2<ε；(1-|z|2)α1-|φ(z)|2|u(z)||Jφ(z)|<ε.因此，当1-δ<|φ(z)|<1时，有(1-|z|2)α|(uCφfn)(z)|≤Cε；当|φ(z)|≤1-δ时，|fn(w)|与(1-|w|2)α|fn(w)|一致收敛于0.
由uCφ：BMOA→βα(Bn)有界，知u∈βα(Bn)且(1-|z|2)α1-|φ(z)|2|u(z)||Jφ(z)|≤C.
所以(1-|z|2)α|(uCφfn)(z)|→0，n→∞.
又由于|（uCφfn)(0)|→0(n→∞)知‖uCφfn‖βα→0，n→∞，故算子uCφ是紧算子.定理证毕.
【参考文献】
［1］Li Songying, Long Sujuan.Compact composition operators on BMOA(Bn)［J］.Science in China SeriseA：Mathematics，2009， 52(12)：2679-2687.
［2］Zhu Kehe.Spaces of Holomorphic Functions in the Unit Ball［M］.New York：Springer-Verlag，2004.
［3］R.Timoney.Bloch functions in several complex variables(I)［J］.Bull.London Math.Soc.，1980，12(4)：241-267.
［4］Ohno.S,Zhao Ruhan.Weighted composition operators on the Bloch space［J］.Bull.Austral. Math.Soc.，2001，63：177-185.
［4］李颂孝.从BMOA空间到Bloch空间的加权复合算子［J］.山西师范大学学报（自然科学版），2005，19(1)：11-13.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】BMOA空间；Bloch型空间；加权复合算子；紧性
1.引 言
设Bn是n维复空间Cn中的单位球，Sn表示单位球面；H(Bn)表示单位球上全纯函数类，H(Bn，Bn)表示单位球上的全纯自映射.dV表示单位球上的规范化体积测度，dσ表示单位球面上规范化面积测度，即V(Bn)=1，σ(Sn)=1.
如果0
‖f‖βα=supz∈Bn(1-|z|2)α｜f(z)|<∞，
则称f属于α-Bloch空间βα(Bn).其中f(z)=fz1(z)，…，fzn(z)表示函数r的复梯度.设u∈H(Bn)，φ∈H(Bn，Bn)，定义H(Bn)上的加权复合算子uCφ为：
uCφf(z)=u(z)f(φ(z))，f∈H(Bn).
本文中，C表示与变量无关的正常数，处在不同位置其值不必相同.
2.一些引理
引理1 ‖f‖BMO≈supz∈Bn∫Bn|f(w)|2(1-|(w)|2)•(1-|z|2)n|1-〈z,w〉|2ndV(w).
引理2 设u∈H(Bn)，φ∈H(Bn，Bn)，如果算子uCφ：BMOA→βα0(Bn)，那么uCφ是紧算子的充要条件是对于BMOA(Bn)中的任一有界序列{fn}，如果{fn}在Bn内闭一致收敛于0，则limn→∞‖uCφ(fn)‖βα=0.
引理1和引理2的证明可参阅文献［1］.
3.主要结论
定理 设u∈H(Bn)，φ∈H(Bn,Bn)，设uCφ：BMOA→βα(Bn)有界，则uCφ是紧算子的充要条件是
lim|φ(z)|→1(1-|z|2)α|u(z)|ln21-|φ(z)|2=0，（1）
lim|φ(z)|→1(1-|z|2|α1-|φ(z)|2|u(z)||Jφ(z)|=0.（2）
证明 假设uCφ是紧算子，令{zn}是Bn中的一个序列使得当n→∞时，|φ(zn)|→1.令fn(z)=1-|φ(zn)|21-〈z，φ(zn)〉，由引理1知{fn}是BMOA空间中的一个有界序列，且{fn}在Bn上内闭一致收敛于0.由于uCφ是紧算子，由引理2知‖uCφfn‖βα→0，n→∞.由范数定义知
‖uCφfn‖βα≥supz∈Bn(1-|z|2)α|(uCφfn)(z)|≥
(1-|z|2)α|u(zn)|-
(1-|zn|2)α1-|φ(zn)|2|u(zn)||φ(zn)||Jφ(zn)|.
由lim|φ(z)|→1(1-|zn|2)α|u(zn)|=0知，
lim|φ(z)|→1（1-|zn|2)α1-|φ(zn)|2|u(zn)||Jφ(zn)|=0.
对Bn中的一个序列{zn}使得当n→∞时，|φ(zn)|→1.令fn(z)=ln21-|φ(zn)|2-1ln21-〈z,φ(zn)〉2，由引理1知{fn}是BMOA空间中的一个有界序列，且{fn}在Bn上内闭一致收敛于0.
于是0←‖uCφfn‖βα≥|（1-|zn|2|α）u(zn)|•ln21-|φ(zn)|2-2(1-|zn|2)α|u(zn)||φ(zn)|Jφ(zn)||1-|φ(zn)|2.
于是lim|φ(zn)|→1(1-|zn|2)α|u(zn)|ln21-|φ(zn)|=0.
假设式（1）和式（2）成立，则对ε>0，δ∈(0,1)使得当1-δ<|φ(z)|<1时，(1-|z|2)α|u(z)|.ln21-|φ(z)|2<ε；(1-|z|2)α1-|φ(z)|2|u(z)||Jφ(z)|<ε.因此，当1-δ<|φ(z)|<1时，有(1-|z|2)α|(uCφfn)(z)|≤Cε；当|φ(z)|≤1-δ时，|fn(w)|与(1-|w|2)α|fn(w)|一致收敛于0.
由uCφ：BMOA→βα(Bn)有界，知u∈βα(Bn)且(1-|z|2)α1-|φ(z)|2|u(z)||Jφ(z)|≤C.
所以(1-|z|2)α|(uCφfn)(z)|→0，n→∞.
又由于|（uCφfn)(0)|→0(n→∞)知‖uCφfn‖βα→0，n→∞，故算子uCφ是紧算子.定理证毕.
【参考文献】
［1］Li Songying, Long Sujuan.Compact composition operators on BMOA(Bn)［J］.Science in China SeriseA：Mathematics，2009， 52(12)：2679-2687.
［2］Zhu Kehe.Spaces of Holomorphic Functions in the Unit Ball［M］.New York：Springer-Verlag，2004.
［3］R.Timoney.Bloch functions in several complex variables(I)［J］.Bull.London Math.Soc.，1980，12(4)：241-267.
［4］Ohno.S,Zhao Ruhan.Weighted composition operators on the Bloch space［J］.Bull.Austral. Math.Soc.，2001，63：177-185.
［4］李颂孝.从BMOA空间到Bloch空间的加权复合算子［J］.山西师范大学学报（自然科学版），2005，19(1)：11-13.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文