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2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)第24题考查了选修4—5:不等式选讲中的柯西不等式,其原题如下:
设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:
(Ⅰ)ab+bc+ca≤113; (Ⅱ)a21b+b21c+c21a≥1.
本题可以用均值定理证明,但也可用柯西不等式证明,不妨用柯西不等式来证明本题第二问.
证明:因为a,b,c均为正数,根据柯西不等式有
(a21b+b21c+c21a)(a+b+c)≥(a1a·b+b1c·c+c1a·a)=a+b+c=1,所以a21b+b21c+c21a≥1.
从解题过程看不难,但要想考生在高考考场上想到并应用柯西不等式证明此题有些难度.需要我们在平常的教学中深入研究柯西不等式的结构特征及用法,究竟如何讲授柯西不等式才适合学生接受,并能为之使用呢?我们不妨从柯西不等式的结构入手分析如何使用柯西不等式.
柯西不等式:
设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn是实数,则(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2…,n)时,等号成立.
向量形式:设α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn),则|α·β|≤|α||β|.当且仅当β=0,或存在实数k,使α=kβ时等号成立.
柯西不等式还有积分形式:设函数f (x),g(x)在[a,b]可积,则[∫baf (x)g(x)dx]2≤∫baf (x)2dx·∫bag(x)2dx,当且仅当函数f (x)=k·g(x)时等号成立.
高中阶段,主要在二维平面和三维空间讨论问题,为了解决高中教学、高考中的具体问题,我们有必要深入研究柯西不等式二维和三维形式,柯西不等式三维形式:设a1,a2,a3,b1,b2,b3是实数,则
(a21+a22+a23)(b21+b22+b23)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2,
当且仅当bi=0(i=1,2,3)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3)时,等号成立.
其二维形式:只需将每组数中三个实数变成两个实数则可.
我们发现,其结构特征:左边两项乘积,且每项是n个元素的平方和,右边是对应元素乘积和的平方亦或左边是两个向量模的平方的乘积,右边是两个向量的数量积的平方.所以只要我们抓住其结构特征,在教学中不断强化,相信会有比较好的效果.具体我们不妨看几个教学实例:
例1求函数y=5x-1+10-2x的最大值.
分析:最值问题通常有两种思路:一、函数方法,二、不等式方法.利用不等式解决最值问题,通常设法在不等式的一边得到一个常数,并寻找等号成立的条件.这个函数的解析式是两部分乘积的和,通过构造可符合我们柯西不等式右边结构特征,所以可以采用二维柯西不等式来解.
解:函数的定义域为[1,5],且y>0.
y=5×x-1+2×5-x≤52+(2)2×(x-1)2+(5-x)2=63.
当且仅当512=x-115-x时等号成立,即x=127127时函数取得最大值63.
例2已知2x+3y+4z=10,求x2+y2+z2的最小值.
分析:所求项恰好是三个元素的平方,已知项是对应项的乘积,由此可以用三维柯西不等式解题.
设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:
(Ⅰ)ab+bc+ca≤113; (Ⅱ)a21b+b21c+c21a≥1.
本题可以用均值定理证明,但也可用柯西不等式证明,不妨用柯西不等式来证明本题第二问.
证明:因为a,b,c均为正数,根据柯西不等式有
(a21b+b21c+c21a)(a+b+c)≥(a1a·b+b1c·c+c1a·a)=a+b+c=1,所以a21b+b21c+c21a≥1.
从解题过程看不难,但要想考生在高考考场上想到并应用柯西不等式证明此题有些难度.需要我们在平常的教学中深入研究柯西不等式的结构特征及用法,究竟如何讲授柯西不等式才适合学生接受,并能为之使用呢?我们不妨从柯西不等式的结构入手分析如何使用柯西不等式.
柯西不等式:
设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn是实数,则(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2…,n)时,等号成立.
向量形式:设α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn),则|α·β|≤|α||β|.当且仅当β=0,或存在实数k,使α=kβ时等号成立.
柯西不等式还有积分形式:设函数f (x),g(x)在[a,b]可积,则[∫baf (x)g(x)dx]2≤∫baf (x)2dx·∫bag(x)2dx,当且仅当函数f (x)=k·g(x)时等号成立.
高中阶段,主要在二维平面和三维空间讨论问题,为了解决高中教学、高考中的具体问题,我们有必要深入研究柯西不等式二维和三维形式,柯西不等式三维形式:设a1,a2,a3,b1,b2,b3是实数,则
(a21+a22+a23)(b21+b22+b23)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2,
当且仅当bi=0(i=1,2,3)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3)时,等号成立.
其二维形式:只需将每组数中三个实数变成两个实数则可.
我们发现,其结构特征:左边两项乘积,且每项是n个元素的平方和,右边是对应元素乘积和的平方亦或左边是两个向量模的平方的乘积,右边是两个向量的数量积的平方.所以只要我们抓住其结构特征,在教学中不断强化,相信会有比较好的效果.具体我们不妨看几个教学实例:
例1求函数y=5x-1+10-2x的最大值.
分析:最值问题通常有两种思路:一、函数方法,二、不等式方法.利用不等式解决最值问题,通常设法在不等式的一边得到一个常数,并寻找等号成立的条件.这个函数的解析式是两部分乘积的和,通过构造可符合我们柯西不等式右边结构特征,所以可以采用二维柯西不等式来解.
解:函数的定义域为[1,5],且y>0.
y=5×x-1+2×5-x≤52+(2)2×(x-1)2+(5-x)2=63.
当且仅当512=x-115-x时等号成立,即x=127127时函数取得最大值63.
例2已知2x+3y+4z=10,求x2+y2+z2的最小值.
分析:所求项恰好是三个元素的平方,已知项是对应项的乘积,由此可以用三维柯西不等式解题.