2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）第24题考查了选修4—5：不等式选讲中的柯西不等式，其原题如下：
　　设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：
　　（Ⅰ）ab+bc+ca≤113； （Ⅱ）a21b+b21c+c21a≥1.
　　本题可以用均值定理证明，但也可用柯西不等式证明，不妨用柯西不等式来证明本题第二问.
　　证明：因为a，b，c均为正数，根据柯西不等式有
　　（a21b+b21c+c21a）（a+b+c）≥（a1a·b+b1c·c+c1a·a）=a+b+c=1，所以a21b+b21c+c21a≥1.
　　从解题过程看不难，但要想考生在高考考场上想到并应用柯西不等式证明此题有些难度.需要我们在平常的教学中深入研究柯西不等式的结构特征及用法，究竟如何讲授柯西不等式才适合学生接受，并能为之使用呢？我们不妨从柯西不等式的结构入手分析如何使用柯西不等式.
　　柯西不等式：
　　设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn是实数，则（a21+a22+…+a2n）（b21+b22+…+b2n）≥（a1b1+a2b2+…+anbn）2，当且仅当bi=0（i=1，2，…，n）或存在一个数k，使得ai=kbi（i=1，2…，n）时，等号成立.
　　向量形式：设α=（a1，a2，…，an），β=（b1，b2，…，bn），则|α·β|≤|α||β|.当且仅当β=0，或存在实数k，使α=kβ时等号成立.
　　柯西不等式还有积分形式：设函数f （x），g（x）在[a，b]可积，则[∫baf （x）g（x）dx]2≤∫baf （x）2dx·∫bag（x）2dx，当且仅当函数f （x）=k·g（x）时等号成立.
　　高中阶段，主要在二维平面和三维空间讨论问题，为了解决高中教学、高考中的具体问题，我们有必要深入研究柯西不等式二维和三维形式，柯西不等式三维形式：设a1，a2，a3，b1，b2，b3是实数，则
　　（a21+a22+a23）（b21+b22+b23）≥（a1b1+a2b2+a3b3）2，
　　当且仅当bi=0（i=1，2，3）或存在一个数k，使得ai=kbi（i=1，2，3）时，等号成立.
　　其二维形式：只需将每组数中三个实数变成两个实数则可.
　　我们发现，其结构特征：左边两项乘积，且每项是n个元素的平方和，右边是对应元素乘积和的平方亦或左边是两个向量模的平方的乘积，右边是两个向量的数量积的平方.所以只要我们抓住其结构特征，在教学中不断强化，相信会有比较好的效果.具体我们不妨看几个教学实例：
　　例1求函数y=5x-1+10-2x的最大值.
　　分析：最值问题通常有两种思路：一、函数方法，二、不等式方法.利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找等号成立的条件.这个函数的解析式是两部分乘积的和，通过构造可符合我们柯西不等式右边结构特征，所以可以采用二维柯西不等式来解.
　　解：函数的定义域为[1，5]，且y>0.
　　y=5×x-1+2×5-x≤52+（2）2×（x-1）2+（5-x）2=63.
　　当且仅当512=x-115-x时等号成立，即x=127127时函数取得最大值63.
　　例2已知2x+3y+4z=10，求x2+y2+z2的最小值.
　　分析：所求项恰好是三个元素的平方，已知项是对应项的乘积，由此可以用三维柯西不等式解题.