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一、 代入法和加减法
例1 解方程组4x-3y=5,①2x-y=2 .②
解析:用代入法和加减法解二元一次方程组,就是要通过代入和加减达到消元的目的,使二元一次方程组转化为一元一次方程.
由②得,y=2x-2, ③
把③代入①得,4x-3(2x-2)=5,
解得, x=.
把x=代入③得, y=-1.
所以x=,y=-1.
点拨:代入法和加减法是解二元一次方程组的基本解法,其主要目的是消元.
二、整体换元法
例23个同学对问题“若方程组a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2的解是x=3,y=4.求方程组3a1x+2b1y=5c1,3a2x+2b2y=5c2的解”提出各自的想法,甲说:“这个题目好象条件不够,不能求解.”乙说:“它们的系数有一定的规律,可以试试.”丙说:“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5,通过换元替换的方法来解决.”
参考他们的讨论,你认为这个题目的解应该是 _________.
解析:乙、丙两人的想法给我们提供了解题思路,可以创新地将方程组变形,再利用换元替换的方法来解决.
将3a1x+2b1y=5c1,3a2x+2b2y=5c2中两个方程都除以5得,
a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2.因为方程组a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2的解是x=3,y=4.所以利用整体换元的思想可得,x=3,y=4,即x=5,y=10.
点拨:本题看似复杂很难解答,但通过仔细阅读题目即可发现问题与题设之间的联系,通过整体换元法使问题得到解决.
三、引入参数法
例3解方程组 =,①5x-4y=21. ②
解析: 本题是含有比例特征的方程组,设x=3k,则y=2k.
把x=3k,y=2k代入②得,5×3k-4×2k=21,所以k=3.
把k=3带入x=3k,y=2k.即原方程组的解是x=9,y=6.
点拨:引入参数法的实质是代入法,可以使解题变得更容易.
四、加减化简法
例4 解方程组2 006x+2 007y=2 005,①2 007x+2 006y=2 008. ②
解析:如果选用代入法或加减法,解答起来会十分麻烦.
通过观察可知,这两个方程的系数存在某种联系,我们可以采用加减化简法来求解.
①+②得,4 013x+4 013y=4 013,
化简得,x+y=1 . ③
①-②得, -x+y=-3,即x-y=3. ④
由③、④组成方程组x+y=1,x-y=3.
解这个方程组得,x=2,y=-1.
点拨:本题所使用的方法的目的并不是直接求出原方程组的解,而是把原方程组化简,得到一个较为简单的方程组,从而把复杂的问题简单化.
五、图解法
例5 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”一章里,一次方程组是由算筹布置而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的,为看图方便,我们把它改为横排,如图1、图2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x,y的系数与相应的常数项.把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来,就是3x+2y=19,x+4y=23.类似地,图2所示的算筹图我们可以表述为().
A.2x+y=11,4x+3y=27. B.2x+y=11,4x+3y=22.
C.3x+2y=19,x+4y=23. D. 2x+y=6,4x+3y=27.
解析:这是一道形式新颖的选择题,通过考查的二元一次方程组的布列问题来考查二元一次方程组的解法,只要能读懂并理解算筹图,即由3x+2y=19,x+4y=23到算筹图1的含义,从中获得正确的信息,即可得出正确答案为A.
六、阅读探究法
例6 阅读理解:图3是按照一定规律排列的方程组集合和它们解的集合的对应关系.
问题探究:若方程组集合中的方程组自上而下依次记作方程组1、方程组2、方程组3、 ……方程组n.
(1)将方程组1中的解填入解的集合中;
(2)请依据方程组和它的解的变化规律,将方程组n和它的解直接填入解的集合中;
(3)若x=10,y=-9是方程组2x+y=a,x-by=b2的解,有同学求出a=11,b=10或-1,请你判断该方程组是否符合解的集合当中的规律.
解析:(1)方程组2x+y=3,x-2y=4的解为x=2,y=-1.
(2)通过观察可知,方程组n为2x+y=2n+1,x-2ny=4n2 它的解为x=2n,y=-(2n-1).
(3)由题意得,当a=11,b=10时,原方程组为 2x+y=11,x-10y=100符合解的集合中的规律;当a=11,b=-1时,原方程组为2x+y=11,x+y=1不符合解的集合中的规律.
点拨:本题是一道考查二元一次方程组的解法的阅读理解题.同学们应通过观察发现规律,进而去验证所得到的规律是否正确,然后应用它去解决简单的问题.
例1 解方程组4x-3y=5,①2x-y=2 .②
解析:用代入法和加减法解二元一次方程组,就是要通过代入和加减达到消元的目的,使二元一次方程组转化为一元一次方程.
由②得,y=2x-2, ③
把③代入①得,4x-3(2x-2)=5,
解得, x=.
把x=代入③得, y=-1.
所以x=,y=-1.
点拨:代入法和加减法是解二元一次方程组的基本解法,其主要目的是消元.
二、整体换元法
例23个同学对问题“若方程组a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2的解是x=3,y=4.求方程组3a1x+2b1y=5c1,3a2x+2b2y=5c2的解”提出各自的想法,甲说:“这个题目好象条件不够,不能求解.”乙说:“它们的系数有一定的规律,可以试试.”丙说:“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5,通过换元替换的方法来解决.”
参考他们的讨论,你认为这个题目的解应该是 _________.
解析:乙、丙两人的想法给我们提供了解题思路,可以创新地将方程组变形,再利用换元替换的方法来解决.
将3a1x+2b1y=5c1,3a2x+2b2y=5c2中两个方程都除以5得,
a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2.因为方程组a1x+b1y=c1,a2x+b2y=c2的解是x=3,y=4.所以利用整体换元的思想可得,x=3,y=4,即x=5,y=10.
点拨:本题看似复杂很难解答,但通过仔细阅读题目即可发现问题与题设之间的联系,通过整体换元法使问题得到解决.
三、引入参数法
例3解方程组 =,①5x-4y=21. ②
解析: 本题是含有比例特征的方程组,设x=3k,则y=2k.
把x=3k,y=2k代入②得,5×3k-4×2k=21,所以k=3.
把k=3带入x=3k,y=2k.即原方程组的解是x=9,y=6.
点拨:引入参数法的实质是代入法,可以使解题变得更容易.
四、加减化简法
例4 解方程组2 006x+2 007y=2 005,①2 007x+2 006y=2 008. ②
解析:如果选用代入法或加减法,解答起来会十分麻烦.
通过观察可知,这两个方程的系数存在某种联系,我们可以采用加减化简法来求解.
①+②得,4 013x+4 013y=4 013,
化简得,x+y=1 . ③
①-②得, -x+y=-3,即x-y=3. ④
由③、④组成方程组x+y=1,x-y=3.
解这个方程组得,x=2,y=-1.
点拨:本题所使用的方法的目的并不是直接求出原方程组的解,而是把原方程组化简,得到一个较为简单的方程组,从而把复杂的问题简单化.
五、图解法
例5 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”一章里,一次方程组是由算筹布置而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的,为看图方便,我们把它改为横排,如图1、图2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x,y的系数与相应的常数项.把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来,就是3x+2y=19,x+4y=23.类似地,图2所示的算筹图我们可以表述为().
A.2x+y=11,4x+3y=27. B.2x+y=11,4x+3y=22.
C.3x+2y=19,x+4y=23. D. 2x+y=6,4x+3y=27.
解析:这是一道形式新颖的选择题,通过考查的二元一次方程组的布列问题来考查二元一次方程组的解法,只要能读懂并理解算筹图,即由3x+2y=19,x+4y=23到算筹图1的含义,从中获得正确的信息,即可得出正确答案为A.
六、阅读探究法
例6 阅读理解:图3是按照一定规律排列的方程组集合和它们解的集合的对应关系.
问题探究:若方程组集合中的方程组自上而下依次记作方程组1、方程组2、方程组3、 ……方程组n.
(1)将方程组1中的解填入解的集合中;
(2)请依据方程组和它的解的变化规律,将方程组n和它的解直接填入解的集合中;
(3)若x=10,y=-9是方程组2x+y=a,x-by=b2的解,有同学求出a=11,b=10或-1,请你判断该方程组是否符合解的集合当中的规律.
解析:(1)方程组2x+y=3,x-2y=4的解为x=2,y=-1.
(2)通过观察可知,方程组n为2x+y=2n+1,x-2ny=4n2 它的解为x=2n,y=-(2n-1).
(3)由题意得,当a=11,b=10时,原方程组为 2x+y=11,x-10y=100符合解的集合中的规律;当a=11,b=-1时,原方程组为2x+y=11,x+y=1不符合解的集合中的规律.
点拨:本题是一道考查二元一次方程组的解法的阅读理解题.同学们应通过观察发现规律,进而去验证所得到的规律是否正确,然后应用它去解决简单的问题.