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二元一次方程组具有综合性强、运算复杂、实用性广等特点,很多同学经常由于对概念理解不清、解法不明而出错,为帮助同学们学好这一内容,现将易犯的错误归类并进行剖析,以期对同学们正确解题有所帮助.
一、概念上的错误
1.对二元一次方程的定义理解不透
例1 下列方程中,是二元一次方程的是( ).
A.xy+x2=3 B. x+ =4
C. π-x=5 D.3x+2y=8
错解:A.
错因分析:错误的原因是没有理解二元一次方程的定义.A项中含未知数的项的最高次数是2,所以不是二元一次方程;B项中的不是整式(因未知数做分母),所以不是二元一次方程;C项中只含有一个未知数(π是常数),所以也不是二元一次方程.
正解:D.
点拨:二元一次方程要满足3个条件,(1)含有两个未知数;(2)含未知数的项的次数都是1;(3)是整式方程.判断一个方程是否为二元一次方程,这三个条件缺一不可.
2.对二元一次方程组解的定义理解不透
例2 二元一次方程组3x-2y=7,x+2y=5的解是().
A.x=3,y=2 B.x=1,y=2
C.x=4,y=2 D. x=3,y=1
错解:B.
错因分析: 出错的原因是对二元一次方程组的解的定义理解不清,二元一次方程组的解应满足方程组中每一个方程,而不能说满足其中一个方程的解就是方程组的解.
正解:D.
点拨:满足二元一次方程组中每一个方程的解叫做二元一次方程组的解.
二、解法上的错误
1.用代入法解二元一次方程组时出错
例3 解方程组 x-y=-5, ①3x+2y=10.②
错解:由①得,x=y-5. ③
将③代入①得,y-5-y=-5,所以原方程组无解.
错因分析:因为③是由①式变形得到的,代入消元时又代入①式,得到恒等式,因而不能求出方程组的解.由①式得到③式后应代入②式求出y值,再将y值回代,从而求出x的值.
正解:由①得,x=y-5.③
将③代入②得,3(y-5)+2y=10,解得y=5.
将y=5代入①得x=0,所以原方程组的解是x=0,y=5. 点拨:用代入法解二元一次方程组时一定要将变形后的方程代入到未变形的方程中,否则就会出现恒等式,导致无法求出原方程组的解.
2.两个方程相减消元时出错
例4 解二元一次方程组 x+2y=3, ①x-y=6.②
错解:①-②得,2y-y=3-6 ,所以y=-3.将y=-3代入①得,x+2×(-3)=3,解得x=9. 所以x=9,y=-3是方程组的解.
错因分析:①-②时,没有注意到减数的符号导致出错.
正解:①-②得,2y-(-y)=3-6,所以 3y=-3,即y=-1.将y=-1代入①得,x+2×(-1)=3,即x=5,所以x=5,y=-1.
点拨:在用加减法解方程组,将两个方程相加减时,要特别注意对应系数的符号,这是用加减法解方程组时极易被忽略的地方.
3.对方程进行变形时出错
例5 解方程组-=1, ① +=2.②
错解:去分母,将方程①乘以12,方程②乘以6,将原方程组变形为4x-3y=1,3x+2y=2,解方程组得x=,y=.
错因分析:只把方程左边的各项乘以某数,而漏乘了方程右边的常数项,错用等式的性质,这样解出的方程组的解不是原方程组的解.
正解:去分母,将方程①两边都乘以12,方程②两边都乘以6,原方程组变形为4x-3y=12,3x+2y=12,解得x=,y=.
点评:在调整方程的系数时, 必须正确理解方程的同解变形原理,避免错误的发生.
三、应用上的错误
1.单位未统一
例6 小洪买了80分和60分的邮票共17枚,花了12.2元,试问80分与60分的邮票各多少枚?
错解:设80分的邮票买了x枚,60分的邮票买了y枚,则80x+60y=12.2, ①x+y=17. ②
错因分析:方程①左边的单位是分,右边的单位是元,方程两边单位不统一.
正解:设80分的邮票买了x枚,60分的邮票买了y枚,则0.8x+0.6y=12.2, ①x+y=17. ②
解得x=10,y=7.所以80分的邮票买了10枚,60分的邮票买了7枚.
点拨:在列实际问题的方程组时,一定要把方程两边的单位统一.
2.弄错等量关系
例7 已知一立方米木材能加工椅子40把或加工桌子10张,并且两把椅子和一张桌子正好配套,现有木材60立方米,则安排多少立方米木材加工桌子,多少立方米木材加工椅子才能正好配套?
错解:设安排x立方米木材加工桌子,y立方米木材加工椅子,根据题意得x+y=60,10x=2×40y.解得x=,y=.所以用立方米木材加工桌子,立方米木材加工椅子才能正好配套.
错因分析:根据题意,两把椅子和一张桌子配套,等量关系应是,椅子数等于2倍桌子数,而错解正好把这个关系弄反了.
正解:设安排x立方米木材加工桌子,y立方米木材加工椅子,根据题意得x+y=60,40y=2×10x.解得x=40,y=60.所以用40立方米木材加工桌子,60立方米木材加工椅子才能正好配套.
点拨:列方程组解应用题时,必须认真审题,只有找出正确的等量关系,列方程组时才不会出错.
一、概念上的错误
1.对二元一次方程的定义理解不透
例1 下列方程中,是二元一次方程的是( ).
A.xy+x2=3 B. x+ =4
C. π-x=5 D.3x+2y=8
错解:A.
错因分析:错误的原因是没有理解二元一次方程的定义.A项中含未知数的项的最高次数是2,所以不是二元一次方程;B项中的不是整式(因未知数做分母),所以不是二元一次方程;C项中只含有一个未知数(π是常数),所以也不是二元一次方程.
正解:D.
点拨:二元一次方程要满足3个条件,(1)含有两个未知数;(2)含未知数的项的次数都是1;(3)是整式方程.判断一个方程是否为二元一次方程,这三个条件缺一不可.
2.对二元一次方程组解的定义理解不透
例2 二元一次方程组3x-2y=7,x+2y=5的解是().
A.x=3,y=2 B.x=1,y=2
C.x=4,y=2 D. x=3,y=1
错解:B.
错因分析: 出错的原因是对二元一次方程组的解的定义理解不清,二元一次方程组的解应满足方程组中每一个方程,而不能说满足其中一个方程的解就是方程组的解.
正解:D.
点拨:满足二元一次方程组中每一个方程的解叫做二元一次方程组的解.
二、解法上的错误
1.用代入法解二元一次方程组时出错
例3 解方程组 x-y=-5, ①3x+2y=10.②
错解:由①得,x=y-5. ③
将③代入①得,y-5-y=-5,所以原方程组无解.
错因分析:因为③是由①式变形得到的,代入消元时又代入①式,得到恒等式,因而不能求出方程组的解.由①式得到③式后应代入②式求出y值,再将y值回代,从而求出x的值.
正解:由①得,x=y-5.③
将③代入②得,3(y-5)+2y=10,解得y=5.
将y=5代入①得x=0,所以原方程组的解是x=0,y=5. 点拨:用代入法解二元一次方程组时一定要将变形后的方程代入到未变形的方程中,否则就会出现恒等式,导致无法求出原方程组的解.
2.两个方程相减消元时出错
例4 解二元一次方程组 x+2y=3, ①x-y=6.②
错解:①-②得,2y-y=3-6 ,所以y=-3.将y=-3代入①得,x+2×(-3)=3,解得x=9. 所以x=9,y=-3是方程组的解.
错因分析:①-②时,没有注意到减数的符号导致出错.
正解:①-②得,2y-(-y)=3-6,所以 3y=-3,即y=-1.将y=-1代入①得,x+2×(-1)=3,即x=5,所以x=5,y=-1.
点拨:在用加减法解方程组,将两个方程相加减时,要特别注意对应系数的符号,这是用加减法解方程组时极易被忽略的地方.
3.对方程进行变形时出错
例5 解方程组-=1, ① +=2.②
错解:去分母,将方程①乘以12,方程②乘以6,将原方程组变形为4x-3y=1,3x+2y=2,解方程组得x=,y=.
错因分析:只把方程左边的各项乘以某数,而漏乘了方程右边的常数项,错用等式的性质,这样解出的方程组的解不是原方程组的解.
正解:去分母,将方程①两边都乘以12,方程②两边都乘以6,原方程组变形为4x-3y=12,3x+2y=12,解得x=,y=.
点评:在调整方程的系数时, 必须正确理解方程的同解变形原理,避免错误的发生.
三、应用上的错误
1.单位未统一
例6 小洪买了80分和60分的邮票共17枚,花了12.2元,试问80分与60分的邮票各多少枚?
错解:设80分的邮票买了x枚,60分的邮票买了y枚,则80x+60y=12.2, ①x+y=17. ②
错因分析:方程①左边的单位是分,右边的单位是元,方程两边单位不统一.
正解:设80分的邮票买了x枚,60分的邮票买了y枚,则0.8x+0.6y=12.2, ①x+y=17. ②
解得x=10,y=7.所以80分的邮票买了10枚,60分的邮票买了7枚.
点拨:在列实际问题的方程组时,一定要把方程两边的单位统一.
2.弄错等量关系
例7 已知一立方米木材能加工椅子40把或加工桌子10张,并且两把椅子和一张桌子正好配套,现有木材60立方米,则安排多少立方米木材加工桌子,多少立方米木材加工椅子才能正好配套?
错解:设安排x立方米木材加工桌子,y立方米木材加工椅子,根据题意得x+y=60,10x=2×40y.解得x=,y=.所以用立方米木材加工桌子,立方米木材加工椅子才能正好配套.
错因分析:根据题意,两把椅子和一张桌子配套,等量关系应是,椅子数等于2倍桌子数,而错解正好把这个关系弄反了.
正解:设安排x立方米木材加工桌子,y立方米木材加工椅子,根据题意得x+y=60,40y=2×10x.解得x=40,y=60.所以用40立方米木材加工桌子,60立方米木材加工椅子才能正好配套.
点拨:列方程组解应用题时,必须认真审题,只有找出正确的等量关系,列方程组时才不会出错.