整数的奇偶性分析在数列和、积的奇偶性判定，在被2的正整数次方整除的判定中，以及一些关于赋值、染色等问题中有许多应用.本文主要就整数的奇偶性在解方程中的一些方法技巧用实例做一些介绍.
　　 例1是否存在这样的实数b和c，使得方程 x2+bx+c=0 与方程 2x2+(b+1)x+c+1=0分别有两个整数根？
　　 解：满足题目条件的实数b和c不存在.
　　 假设实数b和c满足题设条件，并设方程x2+bx+c=0的两个整数根为x1，x2
　　 则由韦达定理，有
　　 -b=x1+x2,c=x1x2
　　
　　①
　　由于x1、x2为整数，因而b、c不可能都是奇数
　　 又设x3、x4是方程2x2+(b+1)x+c+1=0的两个整数根，则由韦达定理有
　　 x3+x4=-b+12,x3x4=c+12
　　
　　②
　　因为x3、x4为整数，所以b、c均为奇数.
　　 (1)、(2)两种情况矛盾
　　 所以 满足题目条件的b、c不存在.
　　 评注:利用两个整数的和与积至少有一个是偶数的性质，结合韦达定理判定b、c的奇偶性，推出矛盾.
　　 例2求方程x3+x2y+xy2+y3=8(x2+xy+y2+1)的所有整数解.
　　 解：原方程可变形为
　　 (x2+y2)(x+y-8)=8(xy+1)
　　
　　①
　　 当 2|(x2+y2)时 ， 即x2+y2 为偶数， x2、y2 有相同的奇偶性，那么x 与y具有相同的奇偶性，则 x+y-8 是偶数；
　　 当 2|(x+y-8) 时， x+y-8是偶数.
　　 (1)若x+y-8≥6，由x2+y2≥2xy,则
　　 x2+y2≥(x+y)22≥1422>4
　　 所以 (x2+y2)(x+y-8)≥6(x2+y2)
　　 ≥2(x2+y2)+8xy>8+8xy=8(xy+1)
　　 即(x2+y2)(x+y-8)≠8(xy+1)
　　 此时方程无整数解.
　　 (2)若x+y-8=4 ，则由①得(x-y)2=2.
　　 此时方程无整数解x+y-8=2.
　　 (3)若 x+y-8=2，则由①得
　　 x2+y2=4xy+4
　　 解得 y=8 或 y=2
　　 (4)若x+y-8=0则8xy+8=0此时方程无整数解.
　　 (5)若x+y-8=-2,则x2+y2+4xy+4=0,故x+y=6,xy=-20.此时方程无整数解.
　　 (6)若x+y-8≤-4.由x2+y2≥-2xy则(x2+y2)(x+y-8)≤-4(x2+y2)≤8xy<8xy+8=8(xy+1)
　　 即(x2+y2)(x+y-8)≠8(xy+1)
　　 此时方程无整数解
　　 x=2,x=8
　　 综上,所求方程的整数解为 y=8或y=2.
　　 评注:利用两个整数的积为偶数，则这两个数中至少有一个偶数的性质，进行分类讨论，从而求出方程的解.
　　 例3 求不定方程x4+y4+z4=2x2y2+2y2z2+2z2x2+40的整数解.
　　 解：将方程变形为
　　(x4+y4+z4+2x2y2-2y2z2-2z2x2)-4x2y2=40
　　分解因式有
　　 (x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(x-y-z)=40
　　 注意到左边四个因式的奇偶性相同.
　　 若四个因式全为奇数，则左边为奇数，而右边为偶数，矛盾；
　　 若四个因式全为偶数，则
　　 左边是16的倍数，而右边不是16的倍数，也矛盾！
　　 所以原方程无整数解.
　　 评注:若干个整数的和与差的奇偶性相同，即若干个整数间部分或全部加减符号互换不改变结果的奇偶性，该题中分解因式后的等式左边四个因式都是三个表示整数的x、y、z的和或差，那么四个因式的奇偶性相同.